Исключительная алгебра Ли

Комплексная простая алгебра Ли

В математике исключительная алгебра Ли — это сложная простая алгебра Ли, диаграмма Дынкина которой имеет исключительный (неклассический) тип. ^[1] Их ровно пять: ; их соответствующие размерности — 14, 52, 78, 133, 248. ^[2] Соответствующие диаграммы: ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2},{\mathfrak {f}}_{4},{\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {e}}_{7},{\mathfrak {e}}_{8}}$

• Г 2  :
• Ф 4  :
• Э 6  :
• Э 7  :
• Е 8  :

Напротив, простые алгебры Ли, не являющиеся исключительными, называются классическими алгебрами Ли (их бесконечно много).

Строительство

Не существует простого общепринятого способа построения исключительных алгебр Ли; на самом деле, они были обнаружены только в процессе программы классификации. Вот некоторые конструкции:

• В § 22.1-2 (Fulton & Harris 1991) дается подробное построение . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$
• Исключительные алгебры Ли могут быть реализованы как алгебры вывода соответствующих неассоциативных алгебр.
• Сначала построить , а затем найти как подалгебры. ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {e}}_{7}}$
• Титс дал унифицированную конструкцию пяти исключительных алгебр Ли. ^[4]

Ссылки

1. Фултон и Харрис 1991, Теорема 9.26.
2. Кнапп 2002, Приложение C, § 2.
3. Фултон и Харрис 1991, § 21.2.
4. Титс, Жак (1966). «Альтернативные алгебры, алгебры Иордана и алгебры исключений лжи. I. Конструкция» (PDF) . Индаг. Математика . 28 : 223–237. дои : 10.1016/S1385-7258(66)50028-2 . Проверено 9 августа 2023 г.

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Якобсон, Н. (2017) [1971]. Исключительные алгебры Ли. CRC Press. ISBN 978-1-351-44938-0.
• Кнапп, Энтони В. (21 августа 2002 г.). Группы Ли за пределами введения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4259-4.

Дальнейшее чтение

• https://www.encyclepediaofmath.org/index.php/Lie_algebra,_Exceptionional
• http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node13.html