stringtranslate.com

Группа монстров

В области абстрактной алгебры , известной как теория групп , группа-монстр M (также известная как монстр Фишера–Гриса или дружелюбный великан ) является крупнейшей спорадической простой группой , имеющей порядок

   808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000
= 2 46  · 3 20  · 5 9  · 7 6  · 11 2  · 13 3  · 17  · 19  · 23  · 29  · 31  · 41  · 47  · 59  · 71
≈ 8 × 1053 .

Конечные простые группы были полностью классифицированы . Каждая такая группа принадлежит к одному из 18 счетно бесконечных семейств или является одной из 26 спорадических групп, которые не следуют такому систематическому образцу. Группа монстров содержит 20 спорадических групп (включая себя) в качестве подфакторов . Роберт Грайс , доказавший существование монстра в 1982 году, назвал эти 20 групп счастливой семьей , а оставшиеся шесть исключений — изгоями .

Трудно дать хорошее конструктивное определение монстра из-за его сложности. Мартин Гарднер написал популярный отчет о группе монстров в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в июне 1980 года . [1]

История

Монстр был предсказан Берндом Фишером (неопубликовано, около 1973 года) и Робертом Гриссом [2] как простая группа, содержащая двойное покрытие группы монстров-бэби Фишера в качестве централизатора инволюции . В течение нескольких месяцев порядок M был найден Гриссом с помощью формулы порядка Томпсона , а Фишер, Конвей , Нортон и Томпсон открыли другие группы как подфакторы, включая многие из известных спорадических групп и две новые: группу Томпсона и группу Харады–Нортона . Таблица характеров монстра, массив 194 на 194, была вычислена в 1979 году Фишером и Дональдом Ливингстоном с помощью компьютерных программ, написанных Майклом Торном. В 1970-х годах не было ясно, существует ли монстр на самом деле. Грисс [3] построил M как группу автоморфизмов алгебры Грисса , 196 884-мерной коммутативной неассоциативной алгебры над действительными числами; он впервые объявил о своей конструкции в Энн-Арборе 14 января 1980 года. В своей статье 1982 года он назвал монстра Дружелюбным Великаном, но это название не было общепринятым. Джон Конвей [4] и Жак Титс [5] [6] впоследствии упростили эту конструкцию.

Конструкция Грисса показала, что монстр существует. Томпсон [7] показал, что его единственность (как простой группы, удовлетворяющей определенным условиям, вытекающим из классификации конечных простых групп) будет следовать из существования 196 883-мерного точного представления . Доказательство существования такого представления было объявлено Нортоном [8] , хотя он никогда не публиковал подробности. Грисс, Майерфранкенфельд и Сегев дали первое полное опубликованное доказательство единственности монстра (точнее, они показали, что группа с теми же централизаторами инволюций, что и монстр, изоморфна монстру). [9]

Монстр стал кульминацией развития спорадических простых групп и может быть построен из любых двух из трех подгрупп: группы Фишера Fi 24 , маленького монстра и группы Конвея Co 1 .

Множитель Шура и внешняя группа автоморфизмов монстра тривиальны .

Представления

Минимальная степень точного комплексного представления равна 47 × 59 × 71 = 196 883, следовательно, является произведением трех наибольших простых делителей порядка M. Наименьшее точное линейное представление над любым полем имеет размерность 196 882 над полем с двумя элементами, что всего на один меньше размерности наименьшего точного комплексного представления.

Наименьшее точное представление монстра в виде перестановки находится на

   97,239,461,142,009,186,000
= 2 4 ·3 7 ·5 3 ·7 4 ·11·13 2 ·29·41·59·71 ≈ 10 20

очков.

Монстр может быть реализован как группа Галуа над рациональными числами [10] и как группа Гурвица [11] .

Монстр необычен среди простых групп тем, что не существует известного простого способа представления его элементов. Это связано не столько с его размером, сколько с отсутствием «маленьких» представлений. Например, простые группы A 100 и SL 20 (2) намного больше, но их легко вычислять, поскольку они имеют «маленькие» перестановочные или линейные представления. Переменные группы , такие как A 100 , имеют перестановочные представления, которые «малы» по сравнению с размером группы, и все конечные простые группы типа Ли , такие как SL 20 (2), имеют линейные представления, которые «малы» по сравнению с размером группы. Все спорадические группы, кроме монстра, также имеют линейные представления, достаточно малые, чтобы с ними было легко работать на компьютере (следующий по сложности случай после монстра — это монстр-бэби с представлением размерности 4370).

Строительство компьютеров

Мартин Сейсен реализовал быстрый пакет Python под названием mmgroup, который претендует на звание первой реализации группы монстров, где произвольные операции могут быть эффективно выполнены. В документации указано, что умножение элементов группы занимает менее 40 миллисекунд на типичном современном ПК, что на пять порядков быстрее, чем подсчитал Роберт А. Уилсон в 2013 году. [12] [13] [14] [15] Программный пакет mmgroup был использован для поиска двух новых максимальных подгрупп группы монстров. [16]

Ранее Роберт А. Уилсон явно нашел (с помощью компьютера) две обратимые матрицы 196 882 на 196 882 (с элементами в поле порядка 2 ), которые вместе генерируют группу монстров путем умножения матриц; это на одно измерение ниже, чем 196 883-мерное представление в характеристике 0. Выполнение вычислений с этими матрицами было возможно, но слишком затратно с точки зрения времени и пространства для хранения, чтобы быть полезным, поскольку каждая такая матрица занимает более четырех с половиной гигабайт. [17]

Уилсон утверждает, что лучшим описанием монстра будет сказать: «Это группа автоморфизмов алгебры вершин монстра ». Однако это не поможет, поскольку никто не нашел «действительно простой и естественной конструкции алгебры вершин монстра». [18]

Уилсон с соавторами нашли метод выполнения вычислений с монстром, который был значительно быстрее, хотя теперь он заменен вышеупомянутой работой Сейсена. Пусть V будет 196 882-мерным векторным пространством над полем с 2 элементами. Выбрана большая подгруппа H (предпочтительно максимальная подгруппа) монстра, в которой легко выполнять вычисления. Выбранная подгруппа H — это 3 1+12 .2.Suz.2, где Suz — группа Сузуки . Элементы монстра хранятся как слова в элементах H и дополнительном генераторе T . Достаточно быстро вычислить действие одного из этих слов на вектор в V . Используя это действие, можно выполнять вычисления (например, порядок элемента монстра). Уилсон продемонстрировал векторы u и v , совместный стабилизатор которых является тривиальной группой. Так (например) можно вычислить порядок элемента g монстра, найдя наименьшее i > 0 такое, что g i u = u и g i v = v . Эта и подобные конструкции (в разных характеристиках ) были использованы для нахождения некоторых нелокальных максимальных подгрупп группы монстра.

Подчастные

Диаграмма 26 спорадических простых групп, показывающая субфакторные отношения.

Монстр содержит 20 из 26 спорадических групп в качестве подчастей. Эта диаграмма, основанная на диаграмме из книги «Симметрия и монстр» Марка Ронана , показывает, как они сочетаются друг с другом. [19] Линии обозначают включение, как подчастного, нижней группы верхней. Обведенные кружками символы обозначают группы, не входящие в более крупные спорадические группы. Для ясности избыточные включения не показаны.

Максимальные подгруппы

Монстр имеет 46 классов сопряженности максимальных подгрупп . [16] Неабелевы простые группы примерно 60 типов изоморфизма встречаются как подгруппы или как факторы подгрупп. Самая большая представленная знакопеременная группа — A 12 .

46 классов максимальных подгрупп монстра приведены в следующей таблице. Предыдущая неопубликованная работа Уилсона и др. подразумевала исключение любых почти простых подгрупп с неабелевыми простыми цоколями вида U 3 (4), L 2 (8) и L 2 (16). [20] [21] [22] Однако последнее было опровергнуто Дитрихом и др., которые нашли новую максимальную подгруппу вида U 3 (4). Те же авторы ранее нашли новую максимальную подгруппу вида L 2 (13) и подтвердили, что не существует максимальных подгрупп с цоколем L 2 (8) или L 2 (16), тем самым завершив классификацию в литературе. [16]

Обратите внимание, что таблицы максимальных подгрупп часто содержат тонкие ошибки, и в частности, по крайней мере две подгруппы в этой таблице были ошибочно исключены из некоторых предыдущих списков.

Маккей E8наблюдение

Существуют также связи между монстром и расширенными диаграммами Дынкина , в частности, между узлами диаграммы и определенными классами сопряженности в монстре, известными как наблюдение Маккея E 8 . [26] [27] [28] Затем это расширяется до связи между расширенными диаграммами и группами 3.Fi 24 ′ , 2.B и M, где они являются (3/2/1-кратными центральными расширениями) группы Фишера , группы младенца-монстра и монстра. Это спорадические группы, связанные с централизаторами элементов типа 1A, 2A и 3A в монстре, и порядок расширения соответствует симметриям диаграммы. См. классификацию ADE: троицы для дальнейших связей ( типа соответствия Маккея ), включая (для монстра) с довольно небольшой простой группой PSL (2,11) и со 120 трикасательными плоскостями канонической секстической кривой рода 4, известной как кривая Бринга .

Самогон

Группа монстров является одним из двух основных компонентов в чудовищной гипотезе лунного света Конвея и Нортона [29] , которая связывает дискретную и недискретную математику и была окончательно доказана Ричардом Борчердсом в 1992 году.

В этой ситуации группа монстров видна как группа автоморфизмов модуля монстра , алгебры вершинных операторов , бесконечномерной алгебры, содержащей алгебру Грисса, и действует на алгебру Ли монстра , обобщенную алгебру Каца–Муди .

Многие математики, включая Конвея, считали монстра прекрасным и все еще загадочным объектом. [30] Конвей сказал о группе монстров: «Никогда не было никаких объяснений, почему он там, и он, очевидно, не просто совпадение. У него слишком много интригующих свойств, чтобы все это было просто случайностью». [31] Саймон П. Нортон , эксперт по свойствам группы монстров, сказал: «Я могу объяснить, что такое Monstrous Moonshine, одним предложением: это голос Бога». [32]

Смотрите также

Цитаты

  1. ↑ Гарднер 1980, стр. 20–33.
  2. ↑ Грисс 1976, стр. 113–118.
  3. ↑ Грисс 1982, стр. 1–102.
  4. ↑ Конвей 1985, стр. 513–540.
  5. ↑ Титс 1983, стр. 105–122.
  6. ↑ Титс 1984, стр. 491–499.
  7. ↑ Томпсон 1979, стр. 340–346.
  8. ↑ Нортон 1985, стр. 271–285.
  9. ^ Грисс, Мейерфранкенфельд и Сегев 1989, стр. 567–602.
  10. ^ Томпсон 1984, стр. 443.
  11. ^ Уилсон 2001, стр. 367–374.
  12. ^ Сейсен, Мартин. "The mmgroup API reference" . Получено 31 июля 2022 г. .
  13. ^ Сейсен, Мартин (8 марта 2022 г.). «Быстрая реализация группы Monster». arXiv : 2203.04223 [math.GR].
  14. ^ Сейсен, Мартин (13 мая 2020 г.). «Компьютерно-дружественная конструкция монстра». arXiv : 2002.10921 [math.GR].
  15. ^ Уилсон, Роберт А. (18 октября 2013 г.). «Группы монстров и черных ящиков». arXiv : 1310.5016 [math.GR].
  16. ^ abcde Дитрих, Ли и Попель 2023.
  17. ^ Борчердс 2002, стр. 1076.
  18. ^ Борчердс 2002, стр. 1077.
  19. ^ Ронан 2006.
  20. ^ Уилсон 2010, стр. 393–403.
  21. ^ ab Norton & Wilson 2013, стр. 943–962.
  22. ^ Уилсон 2016, стр. 355–364.
  23. ^ ab Holmes & Wilson 2008, стр. 2653–2667.
  24. ↑ Холмс и Уилсон 2004, стр. 141–152.
  25. ↑ Холмс и Уилсон 2002, стр. 435–447.
  26. ^ Дункан 2008.
  27. ^ Ле Брюйн 2009.
  28. ↑ Хе и Маккей 2015.
  29. ↑ Конвей и Нортон 1979, стр. 308–339.
  30. ^ Робертс 2013.
  31. ↑ Харан 2014, 7:57.
  32. ^ Мастерс 2019.

Источники

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки