Группа Матье М23

Спорадическая простая группа

В области современной алгебры , известной как теория групп , группа Матье M ₂₃ является спорадической простой группой порядка

   2 ⁷  · 3 ²  · 5  · 7  · 11  · 23 = 10200960

≈ 1 × 10 ⁷ .

История и свойства

M ₂₃ — одна из 26 спорадических групп, введенная Матье  (1861, 1873). Это 4-кратная транзитивная группа перестановок на 23 объектах. Множитель Шура и внешняя группа автоморфизмов — тривиальны .

Милгрэм (2000) вычислил интегральные когомологии и показал, в частности, что M ₂₃ обладает необычным свойством, заключающимся в том, что все первые 4 группы интегральных гомологий обращаются в нуль.

Обратная задача Галуа , по-видимому, не решена для M ₂₃ . Другими словами, ни один многочлен в Z[ x ] не имеет M ₂₃ в качестве своей группы Галуа . Обратная задача Галуа решена для всех других спорадических простых групп.

Построение с использованием конечных полей

Пусть F _{2 ¹¹} — конечное поле с 2 ¹¹ элементами. Его группа единиц имеет порядок 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 · 89, поэтому она имеет циклическую подгруппу C порядка 23.

Группу Матье M _{23 можно отождествить} с группой F ₂ - линейных автоморфизмов F _{2 ¹¹} , которые стабилизируют C . Точнее, действие этой группы автоморфизмов на C можно отождествить с 4-кратным транзитивным действием M ₂₃ на 23 объектах.

Представления

M ₂₃ является стабилизатором точки действия группы Матье M24 на 24 точки, что дает ей 4-транзитивное перестановочное представление на 23 точках со стабилизатором точки — группой Матье M22 .

M ₂₃ имеет 2 различных действия ранга 3 на 253 точки. Одно — это действие на неупорядоченные пары с размерами орбит 1+42+210 и точечным стабилизатором M ₂₁ .2, а другое — это действие на гептады с размерами орбит 1+112+140 и точечным стабилизатором 2 ⁴ .A ₇ .

Интегральное представление, соответствующее действию перестановки на 23 точки, распадается на тривиальное представление и 22-мерное представление. 22-мерное представление неприводимо над любым полем характеристики , отличной от 2 или 23.

Над полем порядка 2 он имеет два 11-мерных представления, ограничения соответствующих представлений группы Матье M24 .

Максимальные подгруппы

Существует 7 классов сопряженности максимальных подгрупп M ₂₃ , а именно:

• М 22 , заказ 443520
• PSL(3,4):2, порядок 40320, орбиты 21 и 2
• 2 ⁴ :A ₇ , порядок 40320, орбиты 7 и 16

Стабилизатор блока W ₂₃

• A ₈ , порядок 20160, орбиты 8 и 15
• M 11 , порядок 7920, орбиты 11 и 12
• (2 ⁴ :A ₅ ):S ₃ или M ₂₀ :S ₃ , порядок 5760, орбиты 3 и 20 (5 блоков по 4)

Одноточечный стабилизатор секстетной группы

• 23:11, приказ 253, просто транзитивный

Классы сопряженности

Ссылки

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 45, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1, МР  0075938
• Conway, John Horton (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Powell, MB; Higman, Graham (ред.), Finite simple groups , Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, МР  0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999, 267–298)
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, Р. Т.; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, МР  0827219
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Упаковки сфер, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN 978-0-387-98585-5, МР  0920369
• Кёйперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Graduate Texts in Mathematics, т. 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN 978-0-387-94599-6, МР  1409812
• Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, г-н  1707296
• Матье, Эмиль (1861), «Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les ex et sur les substitutions qui les laissent invariables», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
• Матье, Эмиль (1873), «Sur la fonction cinq fois transtive de 24 quantités», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), 18 : 25–46, JFM  05.0088.01
• Милгрэм, Р. Джеймс (2000), «Когомологии группы Матье M₂₃», Журнал теории групп , 3 (1): 7–26, doi :10.1515/jgth.2000.008, ISSN  1433-5883, MR  1736514
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам, Carus Mathematical Monographs, т. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, МР  0749038
• Витт, Эрнст (1938a), «über Steinersche Systeme», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948, ISSN  0025-5858, S2CID  123106337
• Витт, Эрнст (1938b), «Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947, S2CID  123658601

Внешние ссылки

• MathWorld: Группы Матье
• Атлас представлений конечных групп: M23