Группа Пикарда

Математическая группа, встречающаяся в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий.

В математике группа Пикара окольцованного пространства X , обозначаемая Pic( X ), — это группа классов изоморфизма обратимых пучков (или линейных расслоений ) на X , причем групповая операция — тензорное произведение . Эта конструкция является глобальной версией конструкции группы классов дивизоров или группы классов идеалов и широко используется в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий .

Альтернативно, группу Пикара можно определить как группу когомологий пучка

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

Для интегральных схем группа Пикара изоморфна группе классов дивизоров Картье . Для комплексных многообразий последовательность экспоненциальных пучков дает основную информацию о группе Пикара.

Название дано в честь теорий Эмиля Пикара , в частности теорий делителей на алгебраических поверхностях .

Примеры

• Группа Пикара спектра дедекиндовой области является ее группой классов идеалов .
• Обратимые пучки на проективном пространстве P ⁿ ( k ) для поля k являются скручивающими пучками, поэтому группа Пикара P ⁿ ( k ) изоморфна Z . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}$
• Группа Пикара аффинной прямой с двумя началами над k изоморфна Z.
• Группа Пикара -мерного комплексного аффинного пространства : , действительно, экспоненциальная последовательность дает следующую длинную точную последовательность в когомологиях ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$

  ${\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

и поскольку ^[1] имеем , поскольку является стягиваемым, то и мы можем применить изоморфизм Дольбо для вычисления по лемме Дольбо–Гротендика . ${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$

схема Пикара

Построение схемной структуры на ( представимой функторной версии) группе Пикара, схемы Пикара , является важным шагом в алгебраической геометрии, в частности в теории двойственности абелевых многообразий . Она была построена Гротендиком (1962), а также описана Мамфордом (1966) и Клейманом (2005).

В случаях, наиболее важных для классической алгебраической геометрии, для неособого полного многообразия V над полем нулевой характеристики связная компонента тождества в схеме Пикара является абелевым многообразием , называемым многообразием Пикара и обозначаемым Pic ⁰ ( V ). Двойственным к многообразию Пикара является многообразие Альбанезе , а в частном случае, когда V является кривой, многообразие Пикара естественным образом изоморфно якобиеву многообразию V . Однако для полей положительной характеристики Игуса построил пример гладкой проективной поверхности S с Pic ⁰ ( S ) нередуцированным, и, следовательно, не абелевым многообразием .

Фактор Pic( V )/Pic ⁰ ( V ) является конечно-порожденной абелевой группой, обозначаемой NS( V ), группой Нерона–Севери группы V . Другими словами, группа Пикара вписывается в точную последовательность

${\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,}$

Тот факт, что ранг NS( V ) конечен, является теоремой Франческо Севери о базе ; ранг — это число Пикара V , часто обозначаемое ρ( V ). Геометрически NS( V ) описывает алгебраические классы эквивалентности дивизоров на V ; то есть, используя более сильное, нелинейное отношение эквивалентности вместо линейной эквивалентности дивизоров , классификация становится поддающейся дискретным инвариантам. Алгебраическая эквивалентность тесно связана с числовой эквивалентностью , по сути топологической классификацией по числам пересечения .

Относительная схема Пикара

Пусть f : X → S — морфизм схем . Относительный функтор Пикара (или относительная схема Пикара , если это схема) задается формулой: ^[2] для любой S -схемы T ,

${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))}$

где — базовое изменение f , а f _T ^* — откат. ${\displaystyle f_{T}:X_{T}\to T}$

Мы говорим, что L в имеет степень r, если для любой геометрической точки s → T обратный образ L вдоль s имеет степень r как обратимый пучок над волокном X _s (когда степень определена для группы Пикара X _s ). ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)}$ ${\displaystyle s^{*}L}$

Смотрите также

• Когомологии пучков
• Разнообразие чау-чау
• делитель Картье
• Голоморфное линейное расслоение
• Идеальная классная группа
• Аракелов классная группа
• Группа-стек
• категория Пикарда

Примечания

1. Когомологии пучков#Когомологии пучков с постоянными коэффициентами
2. Клейман 2005, Определение 9.2.2.

Ссылки

• Гротендик, А. (1962), В. Схемы Пикара. Теоремы существования, Семинар Бурбаки, т. 1, с. 14: год 1961/62, разоблачения 223–240, вып. 7, нет разговора. 232, стр. 143–161.
• Гротендик, А. (1962), VI. Схемы Пикара. Propriétés Generales, Séminaire Bourbaki, t. 14: год 1961/62, разоблачения 223–240, вып. 7, нет разговора. 236, стр. 221–243.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Игуса, Джун-Ичи (1955), «О некоторых проблемах абстрактной алгебраической геометрии», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 41 (11): 964–967, Bibcode : 1955PNAS...41..964I, doi : 10.1073/pnas.41.11.964 , PMC  534315 , PMID  16589782
• Клейман, Стивен Л. (2005), «Схема Пикара», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Математические обзоры, моногр., т. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K, MR  2223410
• Мамфорд, Дэвид (1966), Лекции о кривых на алгебраической поверхности , Annals of Mathematics Studies, т. 59, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6, MR  0209285, OCLC  171541070
• Мамфорд, Дэвид (1970), Абелевы многообразия , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290