Группа Фишера Fi22

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Фишера Fi ₂₂ является спорадической простой группой порядка

64,561,751,654,400

= 2 ¹⁷ · 3 ⁹ · 5 ² · 7 · 11 · 13

≈ 6 × 10¹³ .

История

Fi ₂₂ — одна из 26 спорадических групп и наименьшая из трех групп Фишера. Она была введена Берндом Фишером (1971, 1976) при исследовании групп 3-транспозиции .

Группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2, а множитель Шура имеет порядок 6.

Представления

Группа Фишера Fi ₂₂ имеет действие ранга 3 на графе из 3510 вершин, соответствующих ее 3-транспозициям, со стабилизатором точки — двойным покрытием группы PSU ₆ (2). Она также имеет два действия ранга 3 на 14080 точек, обмененных внешним автоморфизмом.

Fi ₂₂ имеет неприводимое вещественное представление размерности 78. Редукция интегральной формы этого mod 3 дает представление Fi ₂₂ над полем с 3 элементами, частное от деления которого на 1-мерное пространство фиксированных векторов является 77-мерным неприводимым представлением.

Совершенное тройное покрытие Fi ₂₂ имеет неприводимое представление размерности 27 над полем с 4 элементами. Это вытекает из того факта, что Fi ₂₂ является подгруппой ² E ₆ (2 ² ). Все обычные и модульные таблицы характеров Fi ₂₂ были вычислены. Hiss & White (1994) нашли 5-модулярную таблицу характеров, а Noeske (2007) нашли 2- и 3-модулярные таблицы характеров.

Группа автоморфизмов Fi ₂₂ централизует элемент порядка 3 в группе монстров-бэби .

Обобщенный чудовищный лунный свет

Конвей и Нортон предположили в своей статье 1979 года, что чудовищный лунный свет не ограничивается монстром, но что подобные явления могут быть обнаружены для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для Fi ₂₂ ряд Маккея-Томпсона — это , где можно установить a(0) = 10 ( OEIS : A007254 ), $T_{6A}(\tau )$

{\begin{aligned}j_{6A}(\tau )&=T_{6A}(\tau )+10\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (3\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta (6\tau )}}\right)^{3}+2^{3}\left({\tfrac {\eta (2\tau )\,\eta (6\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (3\tau )}}\right)^{3}\right)^{2}\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (2\tau )}{\eta (3\tau )\,\eta (6\tau )}}\right)^{2}+3^{2}\left({\tfrac {\eta (3\tau )\,\eta (6\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (2\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}-4\\&={\frac {1}{q}}+10+79q+352q^{2}+1431q^{3}+4160q^{4}+13015q^{5}+\dots \end{aligned}}

η ( τ ) — эта-функция Дедекинда .

Ссылки

Ашбахер, Майкл (1997), 3-транспозиционные группы, Cambridge Tracts in Mathematics, т. 124, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511759413, ISBN 978-0-521-57196-8, MR 1423599, архивировано из оригинала 2016-03-04 , извлечено 2012-06-21содержит полное доказательство теоремы Фишера.
Conway, John Horton (1973), "Построение для наименьшей группы Фишера F ₂₂ ", в Shult, и Ernest E.; Hale, Mark P.; Gagen, Terrence (ред.), Finite groups '72 (Труды Гейнсвиллской конференции по конечным группам, Университет Флориды, Гейнсвилл, Флорида, 23–24 марта 1972 г.) , North-Holland Mathematics Studies, т. 7, Амстердам: North-Holland, стр. 27–35, MR 0372016
Фишер, Бернд (1971), «Конечные группы, порожденные 3-транспозициями. I», Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, doi :10.1007/BF01404633, ISSN 0020-9910, MR 0294487Это первая часть препринта Фишера о построении его групп. Остальная часть статьи не опубликована (по состоянию на 2010 год).
Фишер, Бернд (1976), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями, Препринт, Математический институт, Университет Уорика
Хисс, Герхард; Уайт, Дональд Л. (1994), «5-модулярные характеры группы покрытия спорадической простой группы Фишера Fi ₂₂ и ее группа автоморфизмов», Communications in Algebra , 22 (9): 3591–3611, doi :10.1080/00927879408825043, ISSN 0092-7872, MR 1278807
Noeske, Felix (2007), «2- и 3-модулярные характеры спорадической простой группы Фишера Fi ₂₂ и ее покрытие», Журнал алгебры , 309 (2): 723–743, doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.020 , ISSN 0021-8693, MR 2303203
Уилсон, Роберт А. (1984), «О максимальных подгруппах группы Фишера Fi ₂₂ », Математические труды Кембриджского философского общества , 95 (2): 197–222, doi :10.1017/S0305004100061491, ISSN 0305-0041, MR 0735364
Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, ЗБЛ 1203.20012
Уилсон, Р.А. АТЛАС представлений конечных групп.

Внешние ссылки

MathWorld: Группы Фишера
Атлас представлений конечных групп: Fi22