В математике групповая схема — это тип объекта алгебраической геометрии, наделенный законом композиции. Групповые схемы возникают естественным образом как симметрии схем и обобщают алгебраические группы в том смысле, что все алгебраические группы имеют структуру групповой схемы, но групповые схемы не обязательно связны, гладки или определены над полем. Эта дополнительная общность позволяет изучать более богатые бесконечно малые структуры, а также помогает понимать вопросы арифметического значения и отвечать на них. Категория групповых схем несколько лучше ведет себя, чем категория многообразий групп , поскольку все гомоморфизмы имеют ядра и существует корректная теория деформации . Групповые схемы, не являющиеся алгебраическими группами, играют важную роль в арифметической геометрии и алгебраической топологии , поскольку они возникают в контексте представлений Галуа и задач модулей . Первоначальное развитие теории групповых схем произошло благодаря Александру Гротендику , Мишелю Рейно и Мишелю Демазюру в начале 1960-х годов.
Групповая схема — это групповой объект в категории схем , который имеет расслоенные продукты и некоторый конечный объект S. То есть это S -схема G , снабженная одним из эквивалентных наборов данных
Гомоморфизм групповых схем — это отображение схем, допускающее умножение. Это можно точно сформулировать либо сказав, что отображение f удовлетворяет уравнению f µ = µ( f × f ), либо сказав, что f является естественным преобразованием функторов из схем в группы (а не просто множества).
Левое действие групповой схемы G на схеме X — это морфизм G × S X → X , индуцирующий левое действие группы G ( T ) на множестве X ( T ) для любой S -схемы T. Правильные действия определяются аналогично. Любая групповая схема допускает естественные левые и правые действия над базовой схемой путем умножения и сопряжения . Сопряжение — это действие автоморфизмами, т. е. оно коммутирует со структурой группы, и это индуцирует линейные действия на естественно производных объектах, таких как ее алгебра Ли и алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов.
S - групповая схема G коммутативна, если группа G ( T ) является абелевой группой для всех S -схем T. Существует несколько других эквивалентных условий, таких как сопряжение, вызывающее тривиальное действие, или отображение инверсии ι, являющееся автоморфизмом групповой схемы.
Предположим, что G — групповая схема конечного типа над полем k . Пусть G 0 — компонента связности единицы, т. е. схема максимальной связной подгруппы. Тогда G является расширением конечной этальной групповой схемы с помощью G0 . G имеет единственную максимальную приведенную подсхему G red , и если k совершенно, то G red — гладкое групповое многообразие, которое является подгрупповой схемой G . Факторсхема — это спектр локального кольца конечного ранга.
Любая аффинная групповая схема представляет собой спектр коммутативной алгебры Хопфа (над базой S он задается относительным спектром OS -алгебры ) . Отображения умножения, единицы и обратные отображения групповой схемы задаются структурами коумножения, коединицы и антипода в алгебре Хопфа. Структуры единицы и умножения в алгебре Хопфа являются неотъемлемой частью базовой схемы. Для произвольной групповой схемы G кольцо глобальных сечений также имеет структуру коммутативной алгебры Хопфа, и, взяв его спектр, можно получить максимальную аффинную факторгруппу. Многообразия аффинных групп известны как линейные алгебраические группы, поскольку их можно вложить как подгруппы общих линейных групп.
Полные связные групповые схемы в некотором смысле противоположны аффинным групповым схемам, поскольку из полноты следует, что все глобальные сечения являются в точности теми, которые извлечены из базы, и, в частности, у них нет нетривиальных отображений в аффинные схемы. Любое полное многообразие групп (здесь под многообразием подразумевается приведенная и геометрически неприводимая разделенная схема конечного типа над полем) автоматически коммутативно, согласно аргументу, включающему действие сопряжения на пространствах струй тождества. Полные групповые многообразия называются абелевыми многообразиями . Это обобщает понятие абелевой схемы; групповая схема G над базой S является абелевой, если структурный морфизм из G в S правильный и гладкий с геометрически связанными слоями. Они автоматически проективны и имеют множество приложений, например, в геометрической теории полей классов и во всей алгебраической геометрии. Однако полная групповая схема над полем не обязательно должна быть коммутативной; например, любая конечная групповая схема является полной.
Групповая схема G над нетеровой схемой S конечна и плоская тогда и только тогда, когда OG — локально свободный OS S -модуль конечного ранга. Ранг является локально постоянной функцией на S и называется порядком G. Порядок постоянной групповой схемы равен порядку соответствующей группы, и, вообще говоря, порядок хорошо ведет себя относительно замены базы и конечного плоского ограничения скаляров .
Среди конечных плоских групповых схем константы (см. пример выше) образуют специальный класс, а над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики категория конечных групп эквивалентна категории постоянных конечных групповых схем. Над базами с положительной характеристикой или более арифметической структурой существуют дополнительные типы изоморфизма. Например, если 2 обратимо по базе, все групповые схемы порядка 2 постоянны, но над 2-адическими целыми числами µ 2 непостоянна, потому что специальный слой не является гладким. Существуют последовательности сильно разветвленных 2-адических колец, над которыми число типов изоморфизма групповых схем второго порядка возрастает сколь угодно велико. Более подробный анализ коммутативных конечных плоских групповых схем над p -адическими кольцами можно найти в работе Рейно о продолжениях.
Коммутативные конечные плоские групповые схемы часто встречаются в природе как схемы подгрупп абелевых и полуабелевых многообразий, а в положительной или смешанной характеристике они могут собирать много информации об окружающем многообразии. Например, p -кручение эллиптической кривой в нулевой характеристике локально изоморфно постоянной элементарной абелевой групповой схеме порядка p2 , но над Fp это конечная плоская групповая схема порядка p2 , у которой либо p связно компоненты (если кривая обыкновенная) или одну компоненту связности (если кривая суперсингулярная ) . Если мы рассмотрим семейство эллиптических кривых, p -кручение образует конечную плоскую групповую схему над параметризующим пространством, а суперсингулярное множество — это место, где слои соединяются. Это слияние компонент связности можно детально изучить, перейдя от модульной схемы к жесткому аналитическому пространству , где суперсингулярные точки заменяются дисками положительного радиуса.
Двойственность Картье - это теоретико-схемный аналог двойственности Понтрягина, переводящий конечные коммутативные групповые схемы в конечные коммутативные групповые схемы.
Конечные плоские коммутативные групповые схемы над совершенным полем k положительной характеристики p можно изучать, перенеся их геометрическую структуру в (полу)линейно-алгебраическую среду. Основным объектом является кольцо Дьедонне D = W ( k ){ F , V }/( FV − p ), которое является фактором кольца некоммутативных многочленов с коэффициентами в векторах Витта от k . F и V — операторы Фробениуса и Вершибунга , которые могут нетривиально действовать на векторах Витта. Дьёдонн и Картье построили антиэквивалентность категорий между конечными коммутативными групповыми схемами над k порядка степени «p» и модулями над D с конечной W ( k )-длиной. Функтор модуля Дьедонне в одном направлении задается гомоморфизмами в абелев пучок CW ковекторов Витта. Этот пучок более или менее двойственен пучку векторов Витта (который на самом деле может быть представлен групповой схемой), поскольку он строится путем прямого предела векторов Витта конечной длины при последовательных отображениях Вершибунга V : W n → W n +1 , а затем завершаю. Многие свойства коммутативных групповых схем можно увидеть, рассмотрев соответствующие модули Дьедонне, например, связные p -групповые схемы соответствуют D -модулям, для которых F нильпотентен, а этальные групповые схемы соответствуют модулям, для которых F является изоморфизмом.
Теория Дьедонне существует в несколько более общей ситуации, чем конечные плоские группы над полем. В диссертации Оды 1967 года была установлена связь между модулями Дьедонне и первыми когомологиями де Рама абелевых многообразий, и примерно в то же время Гротендик предположил, что должна существовать кристаллическая версия теории, которую можно было бы использовать для анализа p -делимых групп. Действия Галуа на групповых схемах передаются через эквивалентности категорий, а соответствующая теория деформации представлений Галуа использовалась в работе Уайлса по гипотезе Шимуры-Таниямы .