Теория представлений SL2(R)

В математике основные результаты о неприводимых унитарных представлениях группы Ли SL(2, R ) принадлежат Гельфанду и Наймарку (1946), В. Баргману (1947) и Хариш-Чандре (1952).

Структура комплексифицированной алгебры Ли

Мы выбираем базис H , X , Y для комплексификации алгебры Ли группы SL(2, R ) так, чтобы iH порождала алгебру Ли компактной подгруппы Картана K (поэтому, в частности, унитарные представления расщепляются как сумма собственных пространств H ), а { H , X , Y } — sl ₂ -тройка , что означает, что они удовлетворяют соотношениям

[H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H.

Один из способов сделать это заключается в следующем:

H={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

соответствующую подгруппе K матриц

{\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}}

X={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&i\\i&-1\end{pmatrix}}

Y={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-i\\-i&-1\end{pmatrix}}

Оператор Казимира Ω определяется как

\Omega =H^{2}+1+2XY+2YX.

Он порождает центр универсальной обертывающей алгебры комплексифицированной алгебры Ли группы SL(2, R ). Элемент Казимира действует на любое неприводимое представление как умножение на некоторый комплексный скаляр µ ² . Таким образом, в случае алгебры Ли sl ₂ бесконечно малый характер неприводимого представления задается одним комплексным числом.

Центр Z группы SL(2, R ) представляет собой циклическую группу { I , − I } порядка 2, состоящую из единичной матрицы и ее отрицательной. На любом неприводимом представлении центр действует либо тривиально, либо нетривиальным характером Z , который представляет матрицу -I путем умножения на -1 в пространстве представления. Соответственно говорят о тривиальном или нетривиальном центральном характере .

Центральный характер и бесконечно малый характер неприводимого представления любой редуктивной группы Ли являются важными инвариантами представления. В случае неприводимых допустимых представлений группы SL(2, R ) оказывается, что в общем случае существует ровно одно представление с точностью до изоморфизма с заданными центральным и инфинитезимальным характерами. В исключительных случаях имеется два или три представления с заданными параметрами, все из которых определены.

Конечномерные представления

Для каждого неотрицательного целого числа n группа SL(2, R ) имеет неприводимое представление размерности n + 1, единственное с точностью до изоморфизма. Это представление можно построить в пространстве однородных многочленов степени n от двух переменных. Случай n = 0 соответствует тривиальному представлению . Неприводимое конечномерное представление некомпактной простой группы Ли размерности больше 1 никогда не является унитарным. Таким образом, эта конструкция дает только одно унитарное представление SL(2, R ), тривиальное представление.

Конечномерная теория представлений некомпактной группы SL(2, R ) эквивалентна теории представлений SU(2) , ее компактной формы, по существу потому , что их алгебры Ли имеют одинаковую комплексификацию и они «алгебраически односвязны». (Точнее, группа SU(2) односвязна и, хотя SL(2, R ) ею не является, не имеет нетривиальных алгебраических центральных расширений.) Однако в общем бесконечномерном случае не существует близких соответствие между представлениями группы и представлениями ее алгебры Ли. Фактически из теоремы Петера–Вейля следует , что все неприводимые представления компактной группы Ли SU(2) конечномерны и унитарны. Совершенно иная ситуация с SL(2, R ): она обладает бесконечномерными неприводимыми представлениями, часть из которых унитарна, а часть нет.

Представления основных серий

Основным методом построения представлений редуктивной группы Ли является метод параболической индукции . В случае группы SL(2, R ) существует с точностью до сопряженности только одна собственная параболическая подгруппа — борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц определителя 1. Индуцирующим параметром индуцированного представления главной серии является (возможно, неунитарный) характер мультипликативной группы действительных чисел, который задается выбором ε = ± 1 и комплексного числа µ. Соответствующее представление главной серии обозначается I _ε,μ . Оказывается, ε — центральный характер индуцированного представления, а комплексное число µ можно отождествить с инфинитезимальным характером посредством изоморфизма Хариш-Чандры .

Представление основной серии I _ε,μ (точнее, его модуль Хариш-Чандры из K -конечных элементов) допускает базис, состоящий из элементов w _j , где индекс j проходит через четные целые числа, если ε = 1, и нечетные целые числа, если ε=-1. Действие X , Y и H задается формулами

H(w_{j})=jw_{j}

X(w_{j})={\mu +j+1 \over 2}w_{j+2}

Y(w_{j})={\mu -j+1 \over 2}w_{j-2}

Допустимые представления

Используя тот факт, что он является собственным вектором оператора Казимира и имеет собственный вектор для H , легко следует, что любое неприводимое допустимое представление является подпредставлением параболически индуцированного представления. (Это также верно для более общих редуктивных групп Ли и известно как теорема Кассельмана о субпредставлениях .) Таким образом, неприводимые допустимые представления SL(2, R ) могут быть найдены путем разложения представлений главной серии I _ε,μ на неприводимые компоненты и определения изоморфизмы. Подытожим разложения следующим образом:

I _ε,µ приводим тогда и только тогда, когда µ целое число и ε=−(−1) ^µ . Если I _ε,μ неприводим, то он изоморфен I _ε,−μ .
I _{−1, 0} распадается как прямая сумма I _ε,0 = D ₊₀ + D ₋₀ двух неприводимых представлений, называемая пределом представлений дискретной серии. D ₊₀ имеет базис w _j для j ≥1, а D ₋₀ имеет базис w _j для j ≤−1,
Если I _ε,µ приводимо с µ>0 (так что ε=−(−1) ^µ ), то оно имеет единственное неприводимое частное, которое имеет конечную размерность µ, а ядро представляет собой сумму двух представлений дискретной серии D _{+ µ} + Д _-мк . Представление D _µ имеет базис w _{µ+ j} для j ≥1, а представление D _{− µ} имеет базис w _{− µ− j} для j ⩽−1.
Если I _ε,µ приводимо с µ<0 (поэтому ε=−(−1) ^µ ), то оно имеет единственное неприводимое подпредставление, имеющее конечную размерность -µ, а фактор представляет собой сумму двух представлений дискретной серии D _{+ ц} + Д _{- ц} .

Это дает следующий список неприводимых допустимых представлений:

Конечномерное представление размерности µ для каждого натурального числа µ с центральным символом −(−1) ^µ .
Два предела представлений дискретных серий D ₊₀ , D ₋₀ с µ=0 и нетривиальным центральным характером.
Представления дискретной серии D _µ для µ - ненулевого целого числа с центральным символом −(−1) ^µ . ^{[ сомнительно – обсудить ]}
Два семейства неприводимых представлений главной серии I _ε,μ для ε≠−(−1) ^µ (где I _ε,μ изоморфно I _ε,−μ ).

Связь с классификацией Ленглендса

Согласно классификации Ленглендса , неприводимые допустимые представления параметризуются некоторыми умеренными представлениями подгрупп Леви M параболических подгрупп P = MAN . Это работает следующим образом:

Дискретная серия, предел дискретной серии и представления I _ε,μ унитарной главной серии с мнимым µ уже умерены, поэтому в этих случаях параболическая подгруппа P сама является SL(2, R ).
Конечномерные представления и представления I _ε,μ для ℜμ>0, µ не целое число или ε≠−(−1) ^µ являются неприводимыми факторами представлений I _ε,μ главной серии для ℜμ>0, которые индуцированные умеренными представлениями параболической подгруппы P = MAN верхнетреугольных матриц, где A - положительные диагональные матрицы, а M - центр порядка 2. Для µ положительное целое число и ε = −(−1) ^µ представление основной серии имеет конечномерное представление как его неприводимое частное, а в противном случае оно уже неприводимо.

Унитарные представления

Неприводимые унитарные представления можно найти, проверив, какие из неприводимых допустимых представлений допускают инвариантную положительно определенную эрмитову форму. В результате получается следующий список унитарных представлений SL(2, R ):

Тривиальное представление (единственное конечномерное представление в этом списке).
Два предела представлений дискретных серий D _{+ 0} , D _{− 0} .
Представления дискретной серии D _k , индексированные ненулевыми целыми числами k . Они все различны.
Два семейства неприводимых представлений главной серии , состоящие из сферической главной серии I _{+, i µ,} индексированной действительными числами µ, и несферической унитарной главной серии I _{−, i µ,} индексированной ненулевыми действительными числами µ. Представление с параметром µ изоморфно представлению с параметром −µ, и между ними нет дальнейших изоморфизмов.
Представления дополнительной серии I _+,μ при 0<|μ|<1. Представление с параметром µ изоморфно представлению с параметром −µ, и между ними нет дальнейших изоморфизмов.

Из них два предела представлений дискретных серий, представления дискретных серий и два семейства представлений основных серий являются умеренными , в то время как тривиальные и дополнительные представления серий не смягчаются.