Метаплектическая группа

В математике метаплектическая группа Mp _{2 n} является двойным покрытием симплектической группы Sp _{2 n} . Она может быть определена как над действительными , так и над p -адическими числами . Конструкция охватывает в более общем случае случай произвольного локального или конечного поля и даже кольца аделей .

Метаплектическая группа имеет особенно значимое бесконечномерное линейное представление , представление Вейля . ^[1] Оно было использовано Андре Вейлем для теоретико-представительной интерпретации тета-функций и играет важную роль в теории модулярных форм полуцелого веса и тета-соответствия .

Определение

Фундаментальная группа симплектической группы Ли Sp _2n ( R ) является бесконечной циклической , поэтому она имеет единственное связное двойное накрытие, которое обозначается Mp _{2 n} ( R ) и называется метаплектической группой .

Метаплектическая группа Mp ₂ ( R ) не является матричной группой : она не имеет точных конечномерных представлений . Поэтому вопрос ее явной реализации нетривиален. Она имеет точные неприводимые бесконечномерные представления, такие как представление Вейля, описанное ниже.

Можно доказать, что если F — любое локальное поле, отличное от C , то симплектическая группа Sp _{2 n} ( F ) допускает единственное совершенное центральное расширение с ядром Z /2 Z , циклической группой порядка 2, которая называется метаплектической группой над F . Она служит алгебраической заменой топологического понятия двукратного покрытия, используемого при F = R . Подход через понятие центрального расширения полезен даже в случае действительной метаплектической группы, поскольку он позволяет описать групповую операцию через определенный коцикл .

Явная конструкция длян= 1

В случае n = 1 симплектическая группа совпадает со специальной линейной группой SL ₂ ( R ) . Эта группа биголоморфно действует на комплексную верхнюю полуплоскость дробно-линейными преобразованиями, такими как преобразование Мёбиуса ,

${\displaystyle g\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

где

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$

является действительной матрицей 2x2 с единичным определителем, а z находится в верхней полуплоскости, и это действие можно использовать для явного построения метаплектического покрытия SL ₂ ( R ).

Элементами метаплектической группы Mp ₂ ( R ) являются пары ( g , ε ), где и ε — голоморфная функция на верхней полуплоскости такая, что . Закон умножения определяется как: ${\displaystyle g\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \epsilon (z)^{2}=cz+d=j(g,z)}$

${\displaystyle (g_{1},\epsilon _{1})\cdot (g_{2},\epsilon _{2})=(g_{1}g_{2},\epsilon ),}$ где ${\displaystyle \epsilon (z)=\epsilon _{1}(g_{2}\cdot z)\epsilon _{2}(z).}$

То, что это произведение хорошо определено, следует из соотношения коцикла . Карта ${\displaystyle j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)}$

${\displaystyle (g,\epsilon )\mapsto g}$

является сюръекцией из Mp ₂ ( R ) в SL ₂ ( R ), которая не допускает непрерывного сечения. Следовательно, мы построили нетривиальное 2-кратное покрытие последней группы.

Строительство представительства Вайля

Сначала мы дадим довольно абстрактную причину, по которой существует представление Вейля. Группа Гейзенберга имеет неприводимое унитарное представление в гильбертовом пространстве , то есть, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \rho :\mathbb {H} (V)\longrightarrow U({\mathcal {H}})}$

с центром, действующим как заданная ненулевая константа. Теорема Стоуна–фон Неймана утверждает, что это представление по сути уникально: если есть другое такое представление, то существует автоморфизм ${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \psi \in U({\mathcal {H}})}$таким образом, что . ${\displaystyle \rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )}$

и сопрягающий автоморфизм проективно уникален, т. е. с точностью до постоянной мультипликативной модуля 1. Таким образом, любой автоморфизм группы Гейзенберга, индуцирующий тождество в центре, действует на это представление — точнее, действие хорошо определено только с точностью до умножения на ненулевую константу. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Автоморфизмы группы Гейзенберга (фиксирующие ее центр) образуют симплектическую группу , поэтому на первый взгляд это, кажется, дает действие симплектической группы на . Однако действие определено только с точностью до умножения на ненулевую константу, другими словами, можно отобразить автоморфизм группы только в класс . Таким образом, мы получаем только гомоморфизм из симплектической группы в проективную унитарную группу ; другими словами, проективное представление . Затем применяется общая теория проективных представлений, чтобы дать действие некоторого центрального расширения симплектической группы на . Расчет показывает, что это центральное расширение можно считать двойным покрытием, и это двойное покрытие является метаплектической группой. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle [\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Теперь мы дадим более конкретную конструкцию в простейшем случае Mp ₂ ( R ). Тогда гильбертово пространство H является пространством всех функций L ² от действительных чисел. Группа Гейзенберга порождается переносами и умножением на функции e ^ixy от x , для y действительного. Тогда действие метаплектической группы на H порождается преобразованием Фурье и умножением на функции exp( ix ² y ) от x , для y действительного.

Обобщения

Вейль показал, как расширить теорию выше, заменив ее любой локально компактной абелевой группой G , которая по двойственности Понтрягина изоморфна своей двойственной (группе характеров). Тогда гильбертово пространство H является пространством всех функций L ^{2 на} G . (Аналог) группы Гейзенберга порождается переносами на элементы G , и умножением на элементы двойственной группы (рассматриваемой как функции из G в единичную окружность). Существует аналог симплектической группы, действующей на группу Гейзенберга, и это действие поднимается до проективного представления на H . Соответствующее центральное расширение симплектической группы называется метаплектической группой. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Вот некоторые важные примеры этой конструкции:

• G — векторное пространство над вещественными числами размерности n . Это дает метаплектическую группу, которая является двойным покрытием симплектической группы Sp _{2 n} ( R ).
• В более общем случае G может быть векторным пространством над любым локальным полем F размерности n . Это дает метаплектическую группу, которая является двойным покрытием симплектической группы Sp _{2 n} ( F ).
• G — векторное пространство над аделями числового поля (или глобального поля ). Этот случай используется в теоретико-представительном подходе к автоморфным формам .
• G — конечная группа. Соответствующая метаплектическая группа тогда также конечна, а центральное покрытие тривиально. Этот случай используется в теории тета-функций решеток, где обычно G будет дискриминантной группой четной решетки .
• Современная точка зрения на существование линейного ( не проективного) представления Вейля над конечным полем, а именно, что оно допускает каноническую реализацию гильбертова пространства, была предложена Дэвидом Кажданом . Используя понятие канонических сплетающих операторов, предложенное Джозефом Бернштейном , такая реализация была построена Гуревичем-Хадани. ^[2]

Смотрите также

• Группа Гейзенберга
• Представление осциллятора
• Метаплектическая структура
• Редукционная дуальная пара
• Группа спинов , еще одна двойная крышка
• Симплектическая группа
• Тета-функция

Примечания

1. Вейль, А. (1964). «Sur определенные группы унитарных операторов». Акта математика . 111 : 143–211. дои : 10.1007/BF02391012 .
2. Гуревич, Шамгар; Хадани, Ронни (31 мая 2007 г.). «Квантование симплектических векторных пространств над конечными полями». arXiv : 0705.4556 [math.RT].

Ссылки

• Howe, Roger; Tan, Eng-Chye (1992), Неабелев гармонический анализ. Приложения SL(2, R ) , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97768-3
• Лион, Жерар; Вернь, Мишель (1980), Представление Вейля, индекс Маслова и тета-ряды , Progress in Mathematics, т. 6, Бостон: Birkhäuser
• Вейль, Андре (1964), «Определенные группы унитарных операторов», Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012
• Гуревич, Шамгар; Хадани, Ронни (2006), "Геометрическое представление Вейля", Selecta Mathematica , Новая серия, arXiv : math/0610818 , Bibcode : 2006math.....10818G
• Гуревич, Шамгар; Хадани, Ронни (2005), Каноническое квантование симплектических векторных пространств над конечными полями , arXiv : 0705.4556

Внешние ссылки

• Вайсман, Мартин Х. (май 2023 г.). «Что такое ... метаплектическая группа?» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 70 (5): 806–811. doi : 10.1090/noti2687 .