Порядок (теория групп)

В математике порядок конечной группы — это количество ее элементов. Если группа не конечна, говорят, что ее порядок бесконечен . Порядок элемента группы (также называемый длиной периода или периодом ) — это порядок подгруппы, созданной элементом. Если групповая операция обозначается как умножение , то порядок элемента $a$ группы, таким образом, представляет собой наименьшее положительное целое число $m$ такое, что $a$ $m$ $=$ $e$ , где $e$ обозначает единичный элемент группы, а $m$ $обозначает$ произведение m копий $файла$ . $_$ Если такого $m$ не существует, порядок $a$ бесконечен.

Порядок группы $G$ обозначается через $ord(G)$ или $| г |$ , а порядок элемента $a$ обозначается через $ord(a)$ или $| а |$ , вместо того , чтобы скобки обозначали сгенерированную группу. $\operatorname {ord} (\langle a\rangle ),$

Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы $H$ конечной группы $G$ порядок подгруппы делит порядок группы; то есть $| Ч |$ является делителем $|$ _ $г$ $|$ . В частности, порядок $| а |$ любого элемента является делителем $| г |$ .

Пример

Симметричная группа S3 имеет следующую таблицу умножения _.

В этой группе шесть элементов, поэтому $ord(S 3) = 6$ . По определению порядок единицы $e$ равен единице, поскольку $e 1 = e$ . Каждый из $s$ , $t$ и $w$ квадратичен к $e$ , поэтому эти элементы группы имеют второй порядок: $| s | = | т | = | ш | = 2$ . Наконец, $u$ и $v$ имеют порядок 3, поскольку $u 3 = vu = e$ и $v 3 = uv = e$ .

Порядок и структура

Порядок группы G и порядки ее элементов дают много информации о структуре группы. Грубо говоря, чем сложнее факторизация | G |, тем сложнее структура G .

Для | г | = 1, группа тривиальна . В любой ^группе только единичный элемент a = e имеет ord( a) = 1. Если каждый неединичный элемент в G равен своему обратному (так что a2 = e ), то ord( a ) = 2; это означает, что G абелева , поскольку . Обратное неверно; например, (аддитивная) циклическая группа Z ₆ целых чисел по модулю 6 абелева, но число 2 имеет порядок 3: $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$

2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}

Связь между двумя понятиями порядка следующая: если мы напишем

\langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}

для подгруппы , порожденной a , то

\operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).

Для любого целого числа k мы имеем

a ^k = e тогда и только тогда, когда ord( a ) делит k .

В общем, порядок любой подгруппы G делит порядок G . Точнее: если H — подгруппа группы G , то

ord( G ) / ord( H ) = [ G : H ], где [ G : H ] называется индексом H в G , целое число. Это теорема Лагранжа . (Однако это верно только тогда, когда G имеет конечный порядок. Если ord( G ) = ∞, частное ord( G ) / ord( H ) не имеет смысла.)

Как непосредственное следствие вышесказанного, мы видим, что порядок каждого элемента группы делит порядок группы. Например, в показанной выше симметричной группе, где ord(S ₃ ) = 6, возможные порядки элементов — 1, 2, 3 или 6.

Следующее частичное обратное верно для конечных групп : если d делит порядок группы G и d — простое число , то в G существует элемент порядка d (это иногда называют теоремой Коши ). Утверждение не верно для составных порядков, например, в четырехгруппе Клейна нет элемента четвертого порядка). Это можно показать индуктивным доказательством . ^[1] Следствия теоремы включают в себя: порядок группы G является степенью простого числа p тогда и только тогда, когда ord( a ) является некоторой степенью p для каждого a в G. ^[2]

Если а имеет бесконечный порядок, то все ненулевые степени а также имеют бесконечный порядок . Если a имеет конечный порядок, мы имеем следующую формулу для порядка степеней a :

ord( a ^k ) = ord( a ) / НОД (ord( a ), k ) ^[3]

для каждого целого числа k . В частности, a и обратный ему a ⁻¹ имеют одинаковый порядок.

В любой группе

\operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)

Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения ab с порядками a и b . Фактически, возможно, что и a , и b имеют конечный порядок, в то время как ab имеет бесконечный порядок, или что и a , и b имеют бесконечный порядок, в то время как ab имеет конечный порядок. Примером первого является a ( x ) = 2− x , b ( x ) = 1 − x с ab ( x ) = x −1 в группе . Примером последнего является a ( x ) = x +1, b ( x ) = x −1 с ab ( x ) = x . Если ab = ba , мы можем, по крайней мере, сказать, что ord( ab ) делит lcm (ord( a ), ord( b )). Как следствие, можно доказать, что в конечной абелевой группе, если m обозначает максимальный из всех порядков элементов группы, то порядок каждого элемента делит m . $Sym(\mathbb {Z} )$

Подсчет по порядку элементов

Предположим, что G — конечная группа порядка n , а d — делитель n . Количество элементов порядка d в G кратно φ( d ) (возможно, нулю), где φ — функция Эйлера , дающая количество натуральных чисел, не превышающих d и взаимно простых с ним. Например, в случае S3 _φ (3) = 2, и у нас есть ровно два элемента порядка 3. Теорема не дает никакой полезной информации об элементах порядка 2, поскольку φ(2) = 1, и является только ограниченной полезности для составного d , такого как d = 6, поскольку φ(6) = 2, и в S ₃ имеются нулевые элементы порядка 6 .

По отношению к гомоморфизмам

Групповые гомоморфизмы имеют тенденцию уменьшать порядки элементов: если f : G → H — гомоморфизм, а a — элемент G конечного порядка, то ord( f ( a )) делит ord( a ). Если f инъективен , то ord( f ( a )) = ord( a ). Это часто можно использовать для доказательства того, что между двумя явно заданными группами не существует гомоморфизмов или инъективных гомоморфизмов. (Например, не может быть нетривиального гомоморфизма h : S ₃ → Z ₅ , поскольку каждое число, кроме нуля в Z ₅ , имеет порядок 5, который не делит порядки 1, 2 и 3 элементов в S ₃ .) A Дальнейшее следствие состоит в том, что сопряженные элементы имеют одинаковый порядок.

Уравнение класса

Важным результатом о порядках является уравнение класса ; он связывает порядок конечной группы G с порядком ее центра Z( G ) и размерами ее нетривиальных классов сопряженности :

|G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;

где d _i — размеры нетривиальных классов сопряженности; это собственные делители | г | больше единицы, а также равны индексам централизаторов в G представителей нетривиальных классов сопряженности. Например, центр S ₃ — это просто тривиальная группа с единственным элементом e , а уравнение имеет вид |S ₃ | = 1+2+3.

Смотрите также

Торсионная подгруппа

Примечания

^ Конрад, Кейт. «Доказательство теоремы Коши» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 23 ноября 2018 г. Проверено 14 мая 2011 г.
^ Конрад, Кейт. «Следствия теоремы Коши» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 12 июля 2018 г. Проверено 14 мая 2011 г.
^ Черт возьми, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра , ISBN 978-0471433347 , стр. 57.