stringtranslate.com

Двенадцатеричная система счисления

Двенадцатеричная система, также известная как система счисления с основанием двенадцать или дюжинная , является позиционной системой счисления, использующей двенадцать в качестве основания . В двенадцатеричной системе число двенадцать обозначается как «10», что означает 1 двенадцать и 0 единиц ; в десятичной системе это число вместо этого записывается как «12», что означает 1 десяток и 2 единицы, а строка «10» означает десять. В двенадцатеричной системе «100» означает двенадцать  в квадрате , «1000» означает двенадцать  в кубе , а «0,1» означает двенадцатую часть.

Для обозначения десяти и одиннадцати в двенадцатеричной системе счисления использовались различные символы; на этой странице используются A и B, как в шестнадцатеричной системе счисления , что делает двенадцатеричное число от нуля до двенадцати читаемым как 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10. Общества дюжин Америки и Великобритании (организации, продвигающие использование двенадцатеричной системы счисления) используют перевернутые цифры в своих опубликованных материалах:2(а превратилось в 2) для десяти и3(а превратилось в 3) для одиннадцати.

Число двенадцать, высшее высокосоставное число , является наименьшим числом с четырьмя нетривиальными множителями (2, 3, 4, 6) и наименьшим числом, включающим в качестве множителей все четыре числа (от 1 до 4) в пределах диапазона субитизации , и наименьшим избыточным числом . Все кратные обратных чисел 3-гладких чисел ( ⁠а/2 б ·3 в⁠ где a,b,c — целые числа) имеют конечное представление в двенадцатеричной системе счисления. В частности, ⁠+1/4⁠  (0,3), ⁠+1/3⁠  (0,4), ⁠+1/2⁠  (0,6), ⁠+2/3⁠  (0,8), и ⁠+3/4⁠  (0,9) все имеют короткое конечное представление в двенадцатеричной системе. Также наблюдается более высокая регулярность в таблице умножения двенадцатеричной системы. В результате двенадцатеричная система была описана как оптимальная система счисления. [1]

В этом отношении двенадцатеричная система считается лучше десятичной, которая имеет только 2 и 5 в качестве множителей, и других предлагаемых оснований, таких как восьмеричная или шестнадцатеричная . Шестидесятеричная (основание шестьдесят) в этом отношении даже лучше (обратные числа всех гладких чисел 5 заканчиваются), но ценой громоздких таблиц умножения и гораздо большего количества символов для запоминания.

Источник

В этом разделе числа указаны в десятичной системе счисления . Например, «10» означает 9+1, а «12» означает 9+3.

Жорж Ифра спекулятивно проследил происхождение двенадцатеричной системы до системы счета пальцев , основанной на костяшках четырех больших пальцев. Используя большой палец как указатель, можно досчитать до 12, касаясь каждой косточки пальца, начиная с самой дальней косточки на пятом пальце, и продолжая счет. В этой системе одна рука считает многократно до 12, в то время как другая показывает количество итераций, пока не наберется пять десятков, т. е. 60. Эта система все еще используется во многих регионах Азии. [2] [3]

Языки , использующие двенадцатеричные системы счисления, встречаются редко. Известно, что языки в нигерийском среднем поясе, такие как джанджи , гбири-нирагу (гуре-кахугу), пити и диалект нимбиа в Гвандаре [4] и язык чепанг в Непале [5], используют двенадцатеричные цифры.

В германских языках есть специальные слова для чисел 11 и 12, например , eleven и twenty в английском языке . Они происходят от протогерманских * ainlif и * twalif (что означает, соответственно, один слева и два слева ), что предполагает десятичное, а не двенадцатеричное происхождение. [6] [7] Однако в древнескандинавском языке использовалась гибридная десятично-двенадцатеричная система счисления, в которой слова «сто восемьдесят» означали 200, а «двести» — 240. [8] На Британских островах этот стиль счета сохранился вплоть до Средних веков как длинная сотня .

Исторически единицы времени во многих цивилизациях являются двенадцатеричными. Существует двенадцать знаков зодиака , двенадцать месяцев в году, а у вавилонян было двенадцать часов в сутках (хотя в какой-то момент это было изменено на 24). Традиционные китайские календари , часы и компасы основаны на двенадцати Земных Ветвях или 24 (12×2) Солнечных терминах . В императорском футе 12 дюймов,  в тройском фунте  12 тройских унций, в шиллинге 12 старых британских пенсов , в сутках 24 (12×2) часа; многие другие элементы подсчитываются дюжинами , брутто ( 144 , квадрат 12 ) или большим брутто ( 1728 , куб 12). Римляне использовали систему дробей, основанную на 12, включая унцию , которая стала как английскими словами ounce, так и inch . До перехода на десятичную систему в Ирландии и Соединенном Королевстве использовалась смешанная двенадцатерично- двадцатеричная денежная система (12 пенсов = 1 шиллингу, 20 шиллингов или 240 пенсов в фунте стерлингов или ирландском фунте ), а Карл Великий создал денежную систему, которая также имела смешанную основу из двенадцати и двадцати, остатки которой сохранились во многих местах.

Обозначения и произношения

В позиционной системе счисления с основанием n (двенадцать для двенадцатеричной системы) каждому из первых n натуральных чисел присваивается отдельный числовой символ, а затем n обозначается как «10», что означает 1 умножить на n плюс 0 единиц. Для двенадцатеричной системы стандартные числовые символы для 0–9 обычно сохраняются для нулей и девяти, но существуют многочисленные предложения о том, как записывать цифры, представляющие «десять» и «одиннадцать». [9] Более радикальные предложения не используют арабские цифры по принципу «отдельной идентичности». [9]

Произношение двенадцатеричных чисел также не имеет стандарта, но были предложены различные системы.

Трансдесятичные символы

Несколько авторов предложили использовать буквы алфавита для трансдецимальных символов. Латинские буквы, такие как ⟨ A, B ⟩ (как в шестнадцатеричной системе ) или ⟨ T, E ⟩ (инициалы Ten и Eleven ) удобны, потому что они широко доступны, и, например, могут быть напечатаны на пишущих машинках. Однако при смешивании с обычной прозой их можно спутать с буквами. В качестве альтернативы вместо них можно использовать греческие буквы, такие как ⟨ τ, ε ⟩ . [9] Фрэнк Эмерсон Эндрюс, один из первых американских сторонников двенадцатеричной системы, предложил и использовал в своей книге 1935 года « Новые числа » ⟨ X , Ɛ ⟩ (курсивная заглавная X от римской цифры десять и округлая курсивная заглавная E , похожая на открытую E ), вместе с курсивными цифрами 0–9 . [11]

Эдна Крамер в своей книге 1951 года «Основное течение математики» использовала ⟨ *, # ⟩ ( шестиконечная звездочка, решетка или октоторп). [9] Символы были выбраны потому, что они были доступны на некоторых пишущих машинках; они также есть на кнопочных телефонах . [9] Эта нотация использовалась в публикациях Dozenal Society of America (DSA) с 1974 по 2008 год. [12] [13]

С 2008 по 2015 год DSA использовала ⟨ , ⟩ , символы, придуманные Уильямом Эддисоном Двиггинсом . [9] [14]

Общество дюжин Великобритании (DSGB) предложило символы ⟨ 2,3 ⟩ . [9] Эта нотация, полученная из арабских цифр путем поворота на 180°, была введена Айзеком Питманом в 1857 году. [9] [15] В марте 2013 года было подано предложение о включении цифровых форм для десяти и одиннадцати, распространенных Dozenal Societies, в стандарт Unicode . [16] Из них британские/Питмановские формы были приняты для кодирования в качестве символов в кодовых точках U+218A ↊ TURNED DIGIT TWO и U+218B ↋ TURNED DIGIT THREE . Они были включены в Unicode 8.0 (2015). [17] [18]

После того, как цифры Питмана были добавлены в Unicode, DSA провела голосование, а затем начала публиковать PDF-контент, используя вместо этого цифры Питмана, но продолжает использовать буквы X и E на своей веб-странице. [19]

Базовая нотация

Существуют также различные предложения о том, как отличить двенадцатеричное число от десятичного. Наиболее распространенный метод, используемый в основных источниках математики для сравнения различных оснований чисел, использует нижний индекс «10» или «12», например, «54 12 = 64 10 ». Чтобы избежать двусмысленности относительно значения нижнего индекса 10, нижние индексы могут быть прописаны, «54 двенадцать = 64 десять ». В 2015 году Dozenal Society of America приняло более компактную однобуквенную аббревиатуру «z» для «do z enal» и «d» для « d ecimal», «54 z = 64 d ». [25]

Другие предлагаемые методы включают в себя курсивное написание двенадцатеричных чисел " 54 = 64", добавление "точки Хамфри" (точки с запятой вместо десятичной точки ) к двенадцатеричным числам "54;6 = 64.5", добавление к двенадцатеричным числам префикса звездочки "*54 = 64" или некоторую комбинацию этих методов. Dozenal Society of Great Britain использует префикс звездочки для двенадцатеричных целых чисел и точку Хамфри для других двенадцатеричных чисел. [25]

Произношение

Dozenal Society of America предложило произношение ten и eleven как "dek" и "el". Для названий степеней числа двенадцать существуют две известные системы.

Двенадцатеричные числа

В этой системе для дробей добавляется префикс e- . [14] [26]

По мере увеличения чисел (или уменьшения дробей) последние две морфемы последовательно заменяются на три-мо, четыре-мо, пента-мо и т. д.

Несколько цифр в этой серии произносятся по-разному: 12 — «do two»; 30 — «three do»; 100 — «gro»; BA9 — «el gro dek do nine»; B86 — «el gro eight do six»; 8BB,15A — «eight gro el do el, one gro five do dek»; ABA — «dek gro el do dek»; BBB — «el gro el do el»; 0,06 — «six egro»; и так далее. [26]

Систематическая дюжинная номенклатура (SDN)

В этой системе используется окончание «-qua» для положительных степеней числа 12 и окончание «-cia» для отрицательных степеней числа 12, а также расширение систематических названий элементов ИЮПАК (со слогами dec и lev для двух дополнительных цифр, необходимых для двенадцатеричной системы), чтобы выразить, какая степень подразумевается. [27] [28]

После hex- дальнейшие префиксы продолжаются sept-, October-, enn-, dec-, lev-, unnil-, unun-.

Пропаганда и «дознализм»

Уильям Джеймс Сидис использовал число 12 в качестве основы для своего сконструированного языка Vendergood в 1906 году, отметив, что это наименьшее число с четырьмя множителями и его распространенность в торговле. [29]

Доводы в пользу двенадцатеричной системы были подробно изложены в книге Фрэнка Эмерсона Эндрюса 1935 года « Новые числа: как принятие двенадцатеричной системы упростит математику» . Эмерсон отметил, что из-за распространенности множителей двенадцати во многих традиционных единицах веса и меры многие вычислительные преимущества, заявленные для метрической системы, могут быть реализованы либо путем принятия десятичной системы веса и меры , либо путем принятия двенадцатеричной системы счисления. [11]

Двенадцатеричный циферблат, как на логотипе Американского общества дюжин, здесь используется для обозначения музыкальных клавиш.

И Dozenal Society of America, и Dozenal Society of Great Britain продвигают широкое принятие двенадцатеричной системы. Они используют слово «dozenal» вместо «duodecimal», чтобы избежать более откровенной десятичной терминологии. Однако этимология самого слова «dozenal» также является выражением, основанным на десятичной терминологии, поскольку «dozen» является прямым производным от французского слова douzaine , которое является производным от французского слова «двенадцать», douze , произошедшего от латинского duodecim .

Математик и специалист по устному счету Александр Крейг Эйткен был ярым сторонником двенадцатеричной системы счисления:

Двенадцатеричные таблицы легко освоить, легче, чем десятеричные; и в начальном обучении они были бы намного интереснее, так как маленькие дети найдут более увлекательные вещи, которые можно делать с двенадцатью палочками или брусочками, чем с десятью. Любой, кто владеет этими таблицами, будет выполнять эти вычисления в двенадцатеричной системе более чем в полтора раза быстрее, чем в десятичной. Это мой опыт; я уверен, что еще более быстрым будет опыт других.

—  AC Aitken, «Двенадцать и десятки» в The Listener (25 января 1962 г.) [30]

Но последнее количественное преимущество, по моему собственному опыту, заключается в следующем: в разнообразных и обширных вычислениях обычного и не слишком сложного типа, проводимых в течение многих лет, я прихожу к выводу, что эффективность десятичной системы можно оценить примерно в 65 или ниже, если присвоить двенадцатеричной системе значение 100.

—  AC Aitken, «Дело против децимализации» (1962) [31]

В СМИ

В «Маленьких двенадцатипальцах» американского телесериала « Школьный рок!» изображено инопланетное существо с двенадцатью пальцами на руках и ногах, использующее двенадцатеричную арифметику, используя «dek» и «el» в качестве названий для десяти и одиннадцати, а также скрипт-X и скрипт-E Эндрюса для цифровых символов. [32] [33]

Двенадцатеричные системы мер

Системы измерения, предлагаемые дюжиналистами, включают:

Сравнение с другими системами счисления

В этом разделе числа указаны в десятичной системе счисления. Например, «10» означает 9+1, а «12» означает 9+3.

Dozenal Society of America утверждает, что если основание слишком мало, то для чисел требуются значительно более длинные расширения; если основание слишком велико, то для выполнения арифметических действий необходимо запомнить большую таблицу умножения. Таким образом, оно предполагает, что «основание числа должно быть между 7 или 8 и примерно 16, возможно, включая 18 и 20». [37]

Число 12 имеет шесть множителей: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 и 12 , из которых 2 и 3 являются простыми . Это наименьшее число, имеющее шесть множителей, наибольшее число, имеющее по крайней мере половину чисел ниже него в качестве делителей, и лишь немного больше 10. (Числа 18 и 20 также имеют шесть множителей, но они намного больше.) Десять, напротив, имеет только четыре множителя: 1 , 2 , 5 и 10 , из которых 2 и 5 являются простыми. [37] Шесть разделяет простые множители 2 и 3 с двенадцатью; однако, как и десять, шесть имеет только четыре множителя (1, 2, 3 и 6) вместо шести. Его соответствующая основа, шестеричная , находится ниже заявленного порога DSA.

Восьмерка и шестнадцатерка имеют только 2 в качестве простого множителя. Поэтому в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления конечными дробями являются только те, знаменатель которых является степенью двойки .

Тридцать — наименьшее число, имеющее три различных простых множителя (2, 3 и 5, первые три простых числа), и всего у него восемь множителей (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30). Шестидесятеричная система счисления фактически использовалась древними шумерами и вавилонянами , среди прочих; ее основание, шестьдесят , добавляет четыре удобных множителя 4, 12, 20 и 60 к 30, но никаких новых простых множителей. Наименьшее число, имеющее четыре различных простых множителя, — 210 ; шаблон следует изначальным числам . Однако эти числа довольно велики для использования в качестве оснований и намного превышают установленный порог DSA.

Во всех системах счисления есть сходства в представлении кратных чисел, которые на единицу меньше или больше основания.

В следующей таблице умножения числа записаны в двенадцатеричной системе. Например, «10» означает двенадцать, а «12» — четырнадцать.

Таблицы преобразования в десятичные и обратно

Для преобразования чисел между основаниями можно использовать общий алгоритм преобразования (см. соответствующий раздел в позиционной нотации ). В качестве альтернативы можно использовать таблицы преобразования цифр. Приведенные ниже таблицы можно использовать для преобразования любого двенадцатеричного числа от 0;1 до BB,BBB;B в десятичное или любого десятичного числа от 0,1 до 99,999,9 в двенадцатеричное. Чтобы использовать их, заданное число необходимо сначала разложить на сумму чисел, каждое из которых содержит только одну значимую цифру. Например:

12 345,6 = 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 + 0,6

Это разложение работает одинаково, независимо от того, в какой базе выражено число. Просто изолируйте каждую ненулевую цифру, дополнив их необходимым количеством нулей, чтобы сохранить их соответствующие разрядные значения. Если цифры в данном числе включают нули (например, 7080,9), они опускаются в разложении цифр (7080,9 = 7000 + 80 + 0,9). Затем таблицы преобразования цифр можно использовать для получения эквивалентного значения в целевой базе для каждой цифры. Если данное число находится в двенадцатеричной системе, а целевая база — десятичная, мы получаем:

(двенадцатеричное) 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 + 0;6
= (десятичное) 20 736 + 3 456 + 432 + 48 + 5 + 0,5

Поскольку слагаемые уже преобразованы в десятичные числа, для выполнения сложения и перекомпоновки числа используется обычная десятичная арифметика, в результате чего получается результат преобразования:

Двенадцатеричная система ---> Десятичная система  10 000 = 20 736 2000 = 3456 300 = 432 40 = 48 5 = 5 + 0;6 = + 0,5----------------------------- 12,345;6 = 24,677.5

То есть (двенадцатеричное) 12,345;6 равно (десятеричное) 24,677.5

Если заданное число в десятичной системе счисления, а целевое основание — двенадцатеричное, метод тот же. Использование таблиц преобразования цифр:

(десятичное) 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 + 0,6
= (двенадцатеричное) 5 954 + 1,1A8 + 210 + 34 + 5 + 0; 7249

Чтобы сложить эти частичные произведения и восстановить число, сложение необходимо выполнить с использованием двенадцатеричной, а не десятичной арифметики:

 Десятичная система --> Двенадцатеричная система  10 000 = 5 954 2000 = 1,1A8 300 = 210 40 = 34 5 = 5 + 0,6 = + 0; 7249------------------------------- 12,345.6 = 7,189; 7249

То есть (десятичное) 12,345.6 равно (двенадцатеричное) 7,189; 7249.

Преобразование двенадцатеричных цифр в десятичные

Преобразование десятичных цифр в двенадцатеричные

Дроби и иррациональные числа

Дроби

Двенадцатеричные дроби для рациональных чисел с 3-гладкими знаменателями заканчиваются:

в то время как другие рациональные числа имеют повторяющиеся двенадцатеричные дроби:

Как объясняется в периодических десятичных дробях , если несократимая дробь записана в системе счисления с точкой в ​​любом основании, дробь может быть выражена точно (ограничена) тогда и только тогда, когда все простые множители ее знаменателя являются также простыми множителями основания.

Потому что в десятичной системе дроби, знаменатели которых состоят исключительно из чисел, кратных 2 и 5, заканчиваются: ⁠1/8⁠  =  ⁠1/(2×2×2)⁠ , ⁠1/20⁠  =  ⁠1/(2×2×5)⁠ , и ⁠1/500⁠  =  ⁠1/(2×2×5×5×5)⁠ можно точно выразить как 0,125, 0,05 и 0,002 соответственно. ⁠1/3⁠ и ⁠1/7⁠ , однако, повторяются (0,333... и 0,142857142857...).

Потому что в двенадцатеричной системе, ⁠1/8⁠ является точным; ⁠1/20⁠ и ⁠1/500⁠ повторяются, потому что они включают 5 как фактор; ⁠1/3⁠ является точным, и ⁠1/7⁠ повторяется, как и в десятичной системе.

Число знаменателей, дающих конечные дроби в пределах заданного числа цифр n в системе счисления с основанием b , равно числу множителей (делителей) числа , n- й степени числа b (хотя сюда входит делитель 1, который не дает дробей при использовании в качестве знаменателя). Число множителей числа дается с помощью его разложения на простые множители.

Для десятичной дроби . Количество делителей находится путем прибавления единицы к каждому показателю степени каждого простого числа и умножения полученных величин друг на друга, поэтому количество множителей равно .

Например, число 8 является множителем 10 3 (1000), поэтому и другие дроби со знаменателем 8 не могут содержать более трех цифр в конце дробной части.

Для двенадцатеричной системы, . Это имеет делители. Знаменатель образца 8 является множителем брутто (в десятичной системе), поэтому восьмые не могут нуждаться более чем в двух двенадцатеричных дробных знаках для завершения.

Поскольку и десять, и двенадцать имеют два уникальных простых множителя, число делителей для b = 10 или 12 растет квадратично с показателем степени n (другими словами, порядка ).

Повторяющиеся цифры

Dozenal Society of America утверждает, что множители 3 чаще встречаются в реальных задачах деления , чем множители 5. [37] Таким образом, в практических приложениях неприятность повторяющихся десятичных дробей встречается реже, когда используется двенадцатеричная система счисления. Сторонники двенадцатеричной системы счисления утверждают, что это особенно верно для финансовых расчетов, в которых двенадцать месяцев года часто входят в расчеты.

Однако, когда повторяющиеся дроби встречаются в двенадцатеричной системе счисления, они с меньшей вероятностью будут иметь очень короткий период, чем в десятичной системе счисления, поскольку 12 (двенадцать) находится между двумя простыми числами , 11 (одиннадцатью) и 13 (тринадцатью), тогда как десять примыкает к составному числу 9. Тем не менее, наличие более короткого или более длинного периода не устраняет главного неудобства, заключающегося в том, что для таких дробей в данной базе не получается конечного представления (поэтому округление , которое вносит неточность, необходимо для обработки их в вычислениях), и в целом с большей вероятностью придется иметь дело с бесконечными повторяющимися цифрами, когда дроби выражены в десятичной системе счисления, чем в двенадцатеричной, поскольку каждое третье последовательное число содержит в своем разложении простой множитель 3 , тогда как только каждое пятое число содержит простой множитель 5 . Все остальные простые множители, за исключением 2, не являются общими ни для десяти, ни для двенадцати, поэтому они не влияют на относительную вероятность появления повторяющихся цифр (любая несократимая дробь, содержащая любой из этих других множителей в своем знаменателе, будет повторяться в любом основании).

Кроме того, простой множитель 2 появляется дважды в разложении двенадцати, тогда как в разложении десяти он появляется только один раз; это означает, что большинство дробей, знаменатели которых являются степенями двойки, будут иметь более короткое и удобное конечное представление в двенадцатеричной системе, чем в десятичной:

Длина двенадцатеричного периода 1/ n равна (в десятичной системе счисления)

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (последовательность A246004 в OEIS )

Длина двенадцатеричного периода числа 1/( n- го простого числа) равна (в десятичной системе счисления)

0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114, 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ... (последовательность A246489 в OEIS )

Наименьшее простое число с двенадцатеричным периодом n (в десятичной системе)

11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 29043636306420266077, 85403261, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ... (последовательность A252170 в OEIS )​

Иррациональные числа

Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и двенадцатеричную) не заканчиваются и не повторяются . В следующей таблице приведены первые цифры для некоторых важных алгебраических и трансцендентных чисел как в десятичной, так и в двенадцатеричной системе.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Дворски, Джордж (18 января 2013 г.). «Почему мы должны перейти на двенадцатиричную систему счисления». Gizmodo . Получено 21 декабря 2013 г.
  2. ^ Питтман, Ричард (1990). «Происхождение месопотамских двенадцатеричных и шестидесятеричных систем счета». Philippine Journal of Linguistics . 21 (1): 97.
  3. ^ Ифра, Жорж (2000) [1-е французское издание, 1981]. Всеобщая история чисел: от доисторических времен до изобретения компьютера . Wiley. ISBN 0-471-39340-1.Перевод с французского: Дэвид Беллос, Э. Ф. Хардинг, Софи Вуд и Яна Монка.
  4. ^ Matsushita, Shuji (октябрь 1998 г.). «Десятичная против двенадцатеричной: взаимодействие двух систем исчисления». www3.aa.tufs.ac.jp . Архивировано из оригинала 5 октября 2008 г. . Получено 29 мая 2011 г. .
  5. ^ Мазодон, Мартина (2002). «Принципы строительства номеров на тибето-бирманских языках». У Франсуа, Жак (ред.). Многообразие (PDF) . Левен: Питерс. стр. 91–119. ISBN 90-429-1295-2. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-28 . Получено 2014-03-27 .
  6. ^ фон Менгден, Фердинанд (2006). «Особенности древнеанглийской системы счисления». В Николаусе Ритте; Герберте Шендле; Кристиане Далтон-Пуффер; Дитере Кастовски (ред.). Средневековый английский и его наследие: структура, значение и механизмы изменения . Исследования по английскому средневековому языку и литературе. Т. 16. Франкфурт: Peter Lang. С. 125–145.
  7. ^ фон Менгден, Фердинанд (2010). Количественные числительные: древнеанглийский язык с кросс-лингвистической точки зрения . Топики английской лингвистики. Т. 67. Берлин; Нью-Йорк: De Gruyter Mouton. С. 159–161.
  8. ^ Гордон, Э. В. (1957). Введение в древнескандинавский язык . Оксфорд: Clarendon Press. С. 292–293.
  9. ^ abcdefghijklm Де Влигер, Майкл (2010). "Обзор символики" (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 4X [58] (2).
  10. ^ Пакин, Скотт (2021) [2007]. «Полный список символов LATEX». Полная сеть архивов TEX (14.0 ред.).
    Рей, Фукуи (2004) [2002]. "tipa – Шрифты и макросы для фонетических символов IPA". Комплексная сеть архивов TEX (1.3 ред.).
    Перевернутые цифры 2 и 3, используемые в пакете TIPA, впервые были введены в Принципах Международной фонетической ассоциации , Университетский колледж Лондона, 1949 год.
  11. ^ abc Эндрюс, Фрэнк Эмерсон (1935). Новые числа: как принятие двенадцатеричной (12) системы счисления упростило бы математику . стр. 52.
  12. ^ "Ежегодное собрание 1973 года и заседание правления" (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 25 [29] (1). 1974.
  13. ^ Де Влигер, Майкл (2008). «Going Classic» (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 49 [57] (2).
  14. ^ abc "Mo for Megro" (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 1 (1). 1945.
  15. ^ ab Pitman, Isaac (24 ноября 1857 г.). «Реформа расчета». Bedfordshire Independent .Перепечатано как «Сэр Айзек Питман о системе дюжины: реформа исчисления» (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 3 (2): 1–5. 1947.
  16. ^ Пентцлин, Карл (30 марта 2013 г.). "Предложение по кодированию двенадцатиричных цифровых форм в UCS" (PDF) . ISO/IEC JTC1/SC2/WG2 . Получено 25.06.2024 .
  17. ^ ab "Стандарт Unicode, версия 8.0: Числовые формы" (PDF) . Консорциум Unicode . Получено 2016-05-30 .
  18. ^ "Стандарт Unicode 8.0" (PDF) . Получено 2014-07-18 .
  19. ^ The Dozenal Society of America (nd). «Что следует делать DSA с трансдецимальными символами?». Dozenal Society of America . The Dozenal Society of America . Получено 1 января 2018 г. .
  20. ^ Арнольд Уиттолл , Кембриджское введение в сериализм (Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, 2008): 276. ISBN 978-0-521-68200-8 (pbk). 
  21. ^ Феррари, Сильвио (1854). Кальколо Десидоцзинале . п. 2.
  22. ^ ab "Ежегодное собрание 1973 года и заседание правления" (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 25 [29] (1). 1974.
  23. ^ ab De Vlieger, Michael (2008). "Going Classic" (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 49 [57] (2).
  24. ^ "Стандарт Unicode 8.0" (PDF) . Получено 2014-07-18 .
  25. ^ ab Volan, John (июль 2015 г.). "Схемы базовых аннотаций" (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 62 .
  26. ^ ab Zirkel, Gene (2010). "Как произносить дозеналы?" (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 4E [59] (2).
  27. ^ "Систематическая дюжинная номенклатура и другие системы номенклатуры" (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 61 (1).
  28. ^ abc Goodman, Donald (2016). "Manual of the Dozenal System" (PDF) . Dozenal Society of America . Получено 27 апреля 2018 г. .
  29. ^ The Prodigy (Биография WJS) стр. [42]
  30. ↑ AC Aitken (25 января 1962 г.) «Двенадцать и десятки» The Listener .
  31. ^ AC Aitken (1962) Аргументы против децимализации. Эдинбург / Лондон: Oliver & Boyd.
  32. ^ "SchoolhouseRock - Little Twelvetoes". 6 февраля 2010 г. Архивировано из оригинала 6 февраля 2010 г.
  33. ^ Беллос, Алекс (2011-04-04). Приключения Алекса в стране чисел. A&C Black. стр. 50. ISBN 978-1-4088-0959-4.
  34. ^ Пендлбери, Том; Гудман, Дональд (2012). "TGM: Последовательная дюжинная метрология" (PDF) . Дюжинное общество Великобритании.
  35. ^ Суга, Такаши (22 мая 2019 г.). «Предложение по универсальной системе единиц» (PDF) .
  36. ^ Волан, Джон. «The Primel Metrology» (PDF) . The Duodecimal Bulletin . 63 (1): 38–60.
  37. ^ abc De Vlieger, Майкл Томас (30 ноября 2011 г.). «Десять часто задаваемых вопросов» (PDF) . дюжина.орг . Дюжинное общество Америки . Проверено 20 ноября 2022 г.

Внешние ссылки