Движение (геометрия)

Преобразование геометрического пространства, сохраняющее структуру

Скользящее отражение — это разновидность евклидова движения.

В геометрии движение — это изометрия метрического пространства . Например, плоскость, снабженная евклидовой метрикой расстояния , является метрическим пространством, в котором отображение, связывающее конгруэнтные фигуры, является движением. ^[1] В более общем смысле термин движение является синонимом сюръективной изометрии в метрической геометрии, ^[2] включая эллиптическую геометрию и гиперболическую геометрию . В последнем случае гиперболические движения предоставляют подход к предмету для начинающих.

Движения можно разделить на прямые и непрямые. Прямые, собственные или жесткие движения — это движения, такие как переносы и вращения , которые сохраняют ориентацию хиральной формы . Непрямые или непрямые движения — это движения, такие как отражения, скользящие отражения и непрямые вращения, которые инвертируют ориентацию хиральной формы . Некоторые геометры определяют движение таким образом , что только прямые движения являются движениями ^{[ требуется ссылка ]} .

В дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии диффеоморфизм называется движением , если он индуцирует изометрию между касательным пространством в точке многообразия и касательным пространством в образе этой точки. ^{[3] [4]}

Группа движений

При заданной геометрии множество движений образует группу относительно композиции отображений. Эта группа движений известна своими свойствами. Например, евклидова группа известна нормальной подгруппой переносов . На плоскости прямое евклидово движение является либо переносом, либо вращением , тогда как в пространстве каждое прямое евклидово движение может быть выражено как винтовое смещение согласно теореме Шаля . Когда базовое пространство является римановым многообразием , группа движений является группой Ли . Более того, многообразие имеет постоянную кривизну тогда и только тогда, когда для каждой пары точек и каждой изометрии существует движение, переводящее одну точку в другую, для которого движение индуцирует изометрию. ^[5]

Идея группы движений для специальной теории относительности была выдвинута как лоренцевы движения. Например, фундаментальные идеи были изложены для плоскости, характеризуемой квадратичной формой в American Mathematical Monthly . ^[6] Движения пространства Минковского были описаны Сергеем Новиковым в 2006 году: ^[7] ${\displaystyle \ x^{2}-y^{2}\ }$

Физический принцип постоянства скорости света выражается требованием, чтобы переход от одной инерциальной системы отсчета к другой определялся движением пространства Минковского, т.е. преобразованием

${\displaystyle \phi :R^{1,3}\mapsto R^{1,3}}$

сохранение пространственно-временных интервалов. Это означает, что

${\displaystyle \langle \phi (x)-\phi (y),\ \phi (x)-\phi (y)\rangle \ =\ \langle x-y,\ x-y\rangle }$

для каждой пары точек x и y в R ^1,3 .

История

Ранняя оценка роли движения в геометрии была дана Альхазеном (965-1039). Его работа «Пространство и его природа» ^[8] использует сравнения размеров подвижного тела для количественной оценки вакуума воображаемого пространства. Его критиковал Омар Хайям, который указывал, что Аристотель осудил использование движения в геометрии. ^[9]

В 19 веке Феликс Клейн стал сторонником теории групп как средства классификации геометрий в соответствии с их «группами движений». Он предложил использовать группы симметрии в своей программе Эрлангена , и это предложение было широко принято. Он отметил, что каждая евклидова конгруэнтность является аффинным отображением , а каждое из них является проективным преобразованием ; поэтому группа проективностей содержит группу аффинных отображений, которая, в свою очередь, содержит группу евклидовых конгруэнтностей. Термин движение , более короткий, чем преобразование , делает больший акцент на прилагательных: проективный, аффинный, евклидов. Таким образом, контекст был расширен настолько, что «В топологии разрешенные движения являются непрерывными обратимыми деформациями, которые можно было бы назвать упругими движениями». ^[10]

Наука кинематика посвящена представлению физического движения в виде математического преобразования. Часто преобразование можно записать с помощью векторной алгебры и линейного отображения. Простым примером является поворот, записанный как умножение комплексных чисел : где . Вращение в пространстве достигается с помощью кватернионов , а преобразования Лоренца пространства -времени — с помощью бикватернионов . В начале 20-го века были исследованы гиперкомплексные числовые системы. Позже их группы автоморфизмов привели к исключительным группам, таким как G2 . ${\displaystyle z\mapsto \omega z\ }$ ${\displaystyle \ \omega =\cos \theta +i\sin \theta ,\quad i^{2}=-1}$

В 1890-х годах логики сводили примитивные понятия синтетической геометрии к абсолютному минимуму. Джузеппе Пеано и Марио Пьери использовали выражение движение для конгруэнтности пар точек. Алессандро Падоа отметил сведение примитивных понятий к простой точке и движению в своем докладе на Международном философском конгрессе 1900 года . Именно на этом конгрессе Бертран Рассел познакомился с континентальной логикой через Пеано. В своей книге «Принципы математики» (1903) Рассел рассматривал движение как евклидову изометрию, сохраняющую ориентацию . ^[11]

В 1914 году Д. М. Я. Соммервиль использовал идею геометрического движения, чтобы установить идею расстояния в гиперболической геометрии, когда он написал « Элементы неевклидовой геометрии» . ^[12] Он объясняет:

Под движением или перемещением в общем смысле подразумевается не изменение положения одной точки или какой-либо ограниченной фигуры, а перемещение всего пространства или, если мы имеем дело только с двумя измерениями, всей плоскости. Движение есть преобразование, которое изменяет каждую точку P в другую точку P ′ таким образом, что расстояния и углы остаются неизменными.

Аксиомы движения

Ласло Редей дает аксиомы движения: ^[13]

1. Любое движение представляет собой взаимно-однозначное отображение пространства R на себя, при котором каждые три точки на прямой преобразуются в (три) точки на прямой.
2. Тождественное отображение пространства R есть движение.
3. Произведение двух движений есть движение.
4. Обратное отображение движения — это движение.
5. Если у нас есть две плоскости A, A', две прямые g, g' и две точки P, P', такие, что P лежит на g, g лежит на A, P' лежит на g' и g' лежит на A', то существует движение, отображающее A в A', g в g' и P в P'.
6. Существуют плоскость A, прямая g и точка P, такие, что P лежит на g, а g лежит на A, тогда существуют четыре движения, отображающие A, g и P на себя соответственно, и не более двух из этих движений могут иметь каждую точку g в качестве неподвижной точки, в то время как существует одно из них (т. е. тождество), для которого каждая точка A неподвижна.
7. Существуют три точки A, B, P на прямой g, такие, что P находится между A и B, и для каждой точки C (неравной P) между A и B существует точка D между C и P, для которой не может быть найдено движение с P в качестве неподвижной точки, которое отобразит C в точку, лежащую между D и P.

Аксиомы 2–4 подразумевают, что движения образуют группу .

Аксиома 5 означает, что группа движений обеспечивает групповые действия на R, которые являются транзитивными, так что существует движение, которое отображает каждую линию в каждую линию

Примечания и ссылки

1. Гюнтер Эвальд (1971) Геометрия: Введение , стр. 179, Белмонт: Уодсворт ISBN  0-534-00034-7
2. MA Khamsi & WA Kirk (2001) Введение в метрические пространства и теоремы о неподвижной точке , стр. 15, John Wiley & Sons ISBN 0-471-41825-0 
3. AZ Petrov (1969) Пространства Эйнштейна , стр. 60, Pergamon Press
4. Б. А. Дубровин, А. Т. Фоменко, С. П. Новиков (1992) Современная геометрия – Методы и приложения , второе издание, стр. 24, Springer, ISBN 978-0-387-97663-1 
5. Д.В. Алексеевский, Е.Б. Винберг, А.С. Солодонов (1993) Геометрия II , с. 9, Спрингер, ISBN 0-387-52000-7 
6. Грасиела С. Бирман и Кацуми Номидзу (1984) «Тригонометрия в лоренцевой геометрии», American Mathematical Monthly 91 (9): 543–9, группа движений: стр. 545
7. Сергей Новиков и И.А. Таймов (2006) Современные геометрические структуры и поля , переводчик Дмитрий Чибисов, стр. 45, Американское математическое общество ISBN 0-8218-3929-2 
8. Ибн Аль-Хайтам: Труды празднования 1000-летия , редактор Хаким Мохаммед Саид, страницы 224-227, Национальный фонд Хамдарда, Карачи: The Times Press
9. Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (2011-01-25). История математики. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-63056-3.
10. Ари Бен-Менахем (2009) Историческая энциклопедия естественных и математических наук , т. I, с. 1789 г.
11. Б. Рассел (1903) Принципы математики, стр. 418. См. также стр. 406, 436.
12. DMT Sommerville (1914) Elements of Non-Euclidean Geometry, стр. 179, ссылка из Исторической математической коллекции Мичиганского университета
13. Редей, Л. (1968). Основания евклидовой и неевклидовой геометрии по Ф. Клейну . Нью-Йорк: Pergamon. С. 3–4.

• Тристан Нидхэм (1997) Визуальный комплексный анализ , Евклидово движение, стр. 34, прямое движение, стр. 36, противоположное движение, стр. 36, сферическое движение, стр. 279, гиперболическое движение, стр. 306, Clarendon Press , ISBN 0-19-853447-7 . 
• Майлз Рид и Балаж Сендрой (2005) Геометрия и топология , Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-61325-6 , MR 2194744. 

Внешние ссылки

• Движение. И. П. Егоров (составитель), Энциклопедия математики.
• Группа движений. И. П. Егоров (составитель), Энциклопедия математики.