Двоичная функция

Функция, которая принимает два входа

В математике бинарная функция ( также называемая двумерной функцией или функцией двух переменных ) — это функция , которая принимает два входных значения.

Точнее говоря, функция является бинарной, если существуют множества такие, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

${\displaystyle \,f\colon X\times Y\rightarrow Z}$

где декартово произведение и​ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Альтернативные определения

С точки зрения теории множеств бинарная функция может быть представлена ​​как подмножество декартова произведения , где принадлежит подмножеству тогда и только тогда, когда . Наоборот, подмножество определяет бинарную функцию тогда и только тогда, когда для любых и существует единственное такое , что принадлежит . Тогда определяется как это . ${\displaystyle X\times Y\times Z}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)=z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle z}$

В качестве альтернативы, бинарная функция может быть интерпретирована просто как функция от до . Однако даже при таком подходе обычно пишут вместо . (То есть одна и та же пара скобок используется для обозначения как применения функции , так и формирования упорядоченной пары .) ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f((x,y))}$

Примеры

Деление целых чисел можно рассматривать как функцию. Если — множество целых чисел , — множество натуральных чисел (за исключением нуля), — множество рациональных чисел , то деление — это бинарная функция . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}\to \mathbb {Q} }$

В векторном пространстве V над полем F скалярное умножение является бинарной функцией . Скаляр a ∈ F объединяется с вектором v ∈ V для получения нового вектора av ∈ V .

Другим примером являются внутренние произведения или, в более общем смысле, функции вида , где x , y — вещественные векторы соответствующего размера, а M — матрица. Если M — положительно определенная матрица , это дает внутреннее произведение . ^[1] ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{\mathrm {T} }My}$

Функции двух действительных переменных

Функции, область определения которых является подмножеством, часто также называются функциями двух переменных, даже если их область определения не образует прямоугольник и, следовательно, декартово произведение двух множеств. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Ограничения обычных функций

В свою очередь, можно также вывести обычные функции одной переменной из бинарной функции. Для любого элемента существует функция , или , из в , заданная как . Аналогично, для любого элемента существует функция , или , из в , заданная как . В информатике это отождествление между функцией из в и функцией из в , где — множество всех функций из в , называется каррингом . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{x}}$ ${\displaystyle f(x,\cdot )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f^{x}(y)=f(x,y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

Обобщения

Различные концепции, относящиеся к функциям, также могут быть обобщены на бинарные функции. Например, приведенный выше пример деления является сюръективным (или на ), поскольку каждое рациональное число может быть выражено как частное целого и натурального числа. Этот пример инъективен по каждому входу отдельно, поскольку функции f ^x и f _y всегда инъективны. Однако он не инъективен по обеим переменным одновременно, поскольку (например) f (2,4) = f (1,2).

Можно также рассмотреть частичные бинарные функции, которые могут быть определены только для определенных значений входов. Например, пример деления выше также может быть интерпретирован как частичная бинарная функция от Z и N до Q , где N — множество всех натуральных чисел, включая ноль. Но эта функция не определена, когда второй вход равен нулю.

Бинарная операция — это бинарная функция, в которой множества X , Y и Z равны; бинарные операции часто используются для определения алгебраических структур .

В линейной алгебре билинейное преобразование — это бинарная функция, где множества X , Y и Z являются векторными пространствами , а производные функции f ^x и f _y являются линейными преобразованиями . Билинейное преобразование, как и любая бинарная функция, можно интерпретировать как функцию из X × Y в Z , но эта функция в общем случае не будет линейной . Однако билинейное преобразование можно также интерпретировать как одно линейное преобразование из тензорного произведения в Z. ${\displaystyle X\otimes Y}$

Обобщения для троичных и других функций

Концепция бинарной функции обобщается до тернарной (или 3-арной ) функции , кватернарной (или 4-арной ) функции или, в более общем смысле, до n-арной функции для любого натурального числа n . 0-арная функция для Z просто задается элементом Z. Можно также определить A-арную функцию , где A — любое множество ; для каждого элемента A существует один вход .

Теория категорий

В теории категорий n -арные функции обобщаются до n -арных морфизмов в мультикатегории . Интерпретация n -арного морфизма как обычного морфизма, область определения которого является некоторым произведением областей определения исходного n -арного морфизма, будет работать в моноидальной категории . Построение производных морфизмов одной переменной будет работать в замкнутой моноидальной категории . Категория множеств является замкнутой моноидальной, но также и категория векторных пространств, что дает понятие билинейного преобразования выше.

Смотрите также

• Арити

Ссылки

1. Кларк, Бертран; Фокуэ, Эрнест; Чжан, Хао Хелен (21 июля 2009 г.). Принципы и теория добычи данных и машинного обучения. стр. 285. ISBN 9780387981352. Получено 16 августа 2016 г.
2. Стюарт, Джеймс (2011). Основы многомерного исчисления . Торонто: Nelson Education. С. 591.