В математике покрывающая группа топологической группы H — это покрывающее пространство G группы H, такое, что G — топологическая группа, а покрывающее отображение p : G → H — непрерывный гомоморфизм групп . Отображение p называется покрывающим гомоморфизмом . Часто встречающимся случаем является двойная покрывающая группа , топологическое двойное покрытие , в котором H имеет индекс 2 в G ; примерами служат спиновые группы , пин-группы и метаплектические группы .
Грубо говоря, утверждение, что, например, метаплектическая группа Mp 2 n является двойным покрытием симплектической группы Sp 2 n, означает, что в метаплектической группе всегда есть два элемента, представляющих один элемент в симплектической группе.
Пусть G — покрывающая группа H. Ядро K покрывающего гомоморфизма — это просто слой над единицей в H и является дискретной нормальной подгруппой G. Ядро K замкнуто в G тогда и только тогда, когда G хаусдорфова (и тогда и только тогда, когда H хаусдорфова ). Двигаясь в другом направлении, если G — любая топологическая группа, а K — дискретная нормальная подгруппа G , то фактор - отображение p : G → G / K является покрывающим гомоморфизмом.
Если G связна , то K , будучи дискретной нормальной подгруппой, обязательно лежит в центре G и, следовательно , является абелевой . В этом случае центр H = G / K задается формулой
Как и во всех покрывающих пространствах, фундаментальная группа G инъецируется в фундаментальную группу H . Поскольку фундаментальная группа топологической группы всегда абелева, каждая покрывающая группа является нормальным покрывающим пространством. В частности, если G линейно связно , то фактор-группа π 1 ( H ) / π 1 ( G ) изоморфна K . Группа K действует просто транзитивно на волокнах (которые являются просто левыми смежными классами ) посредством правого умножения. Тогда группа G является главным K -расслоением над H .
Если G — покрывающая группа H, то группы G и H локально изоморфны. Более того, для любых двух связных локально изоморфных групп H 1 и H 2 существует топологическая группа G с дискретными нормальными подгруппами K 1 и K 2 , такая, что H 1 изоморфна G / K 1 , а H 2 изоморфна G / K 2 .
Пусть H — топологическая группа, а G — покрывающее пространство H. Если G и H являются как линейно связными , так и локально линейно связными , то для любого выбора элемента e * в слое над e ∈ H существует единственная топологическая групповая структура на G с e * в качестве тождества, для которой покрывающее отображение p : G → H является гомоморфизмом.
Конструкция следующая. Пусть a и b — элементы G , а f и g — пути в G, начинающиеся в e * и заканчивающиеся в a и b соответственно. Определим путь h : I → H формулой h ( t ) = p ( f ( t )) p ( g ( t )) . По свойству подъема пути покрывающих пространств существует единственный подъем h в G с начальной точкой e *. Произведение ab определяется как конечная точка этого пути. По построению мы имеем p ( ab ) = p ( a ) p ( b ) . Нужно показать, что это определение не зависит от выбора путей f и g , а также что групповые операции непрерывны.
Альтернативно, групповой закон на G можно построить, подняв групповой закон H × H → H до G , используя свойство подъёма накрывающего отображения G × G → H × H.
Несвязный случай интересен и изучается в работах Тейлора и Брауна-Мукука, цитируемых ниже. По сути, существует препятствие к существованию универсального покрытия, которое также является топологической группой, такой что накрывающее отображение является морфизмом: это препятствие лежит в третьей группе когомологий группы компонент G с коэффициентами в фундаментальной группе G в единице.
Если H — линейно связная, локально линейно связная и полулокально односвязная группа, то она имеет универсальное покрытие . Согласно предыдущей конструкции универсальное покрытие можно превратить в топологическую группу с отображением покрытия — непрерывным гомоморфизмом. Эта группа называется универсальной накрывающей группой H. Существует также более прямая конструкция, которую мы приводим ниже.
Пусть PH будет группой путей H . То есть PH является пространством путей в H , основанным на тождестве вместе с компактно-открытой топологией . Произведение путей задается поточечным умножением, то есть ( fg ) ( t ) = f ( t ) g ( t ) . Это дает PH структуру топологической группы. Существует естественный гомоморфизм групп PH → H , который отправляет каждый путь в его конечную точку. Универсальное покрытие H задается как фактор PH по нормальной подгруппе нуль-гомотопных петель . Проекция PH → H спускается к фактору , задавая отображение покрытия. Можно показать, что универсальное покрытие односвязно , а ядро является просто фундаментальной группой H . То есть у нас есть короткая точная последовательность
гдеявляется универсальным покрытием H. Конкретно, универсальная покрывающая группа H является пространством гомотопических классов путей в H с поточечным умножением путей. Покрывающая карта отправляет каждый класс путей в его конечную точку.
Как следует из вышесказанного, если группа имеет универсальную накрывающую группу (если она линейно связна, локально линейно связна и полулокально односвязна) с дискретным центром, то множество всех топологических групп, которые накрываются универсальной накрывающей группой, образуют решетку, соответствующую решетке подгрупп центра универсальной накрывающей группы: включение подгрупп соответствует покрытию факторгрупп. Максимальным элементом является универсальная накрывающая группа, в то время как минимальный элемент — это универсальная покрывающая группа mod ее центра,/ Z() .
Это алгебраически соответствует универсальному совершенному центральному расширению (называемому по аналогии «покрывающей группой») как максимальному элементу и группе mod его центра как минимальному элементу.
Это особенно важно для групп Ли, поскольку эти группы являются всеми (связанными) реализациями конкретной алгебры Ли. Для многих групп Ли центром является группа скалярных матриц, и, таким образом, группа mod ее центра является проективизацией группы Ли. Эти покрытия важны для изучения проективных представлений групп Ли, а спиновые представления приводят к открытию спиновых групп : проективное представление группы Ли не обязательно должно происходить из линейного представления группы, но происходит из линейного представления некоторой покрывающей группы, в частности, универсальной покрывающей группы. Конечный аналог привел к покрывающей группе или покрытию Шура, как обсуждалось выше.
Ключевой пример возникает из SL 2 ( R ) , которая имеет центр {±1} и фундаментальную группу Z. Это двойное покрытие бесцентровой проективной специальной линейной группы PSL 2 ( R ), которая получается взятием фактора по центру. По разложению Ивасавы обе группы являются расслоениями окружностей над комплексной верхней полуплоскостью, а их универсальное покрытие является действительным линейным расслоением над полуплоскостью, которая образует одну из восьми геометрий Терстона . Поскольку полуплоскость стягиваема, все структуры расслоений тривиальны. Прообраз SL 2 ( Z ) в универсальном покрытии изоморфен группе кос на трех нитях.
Все вышеприведенные определения и конструкции применимы к частному случаю групп Ли . В частности, каждое покрытие многообразия является многообразием, а гомоморфизм покрытия становится гладким отображением . Аналогично, для любой дискретной нормальной подгруппы группы Ли фактор-группа является группой Ли, а фактор-отображение является гомоморфизмом покрытия.
Две группы Ли локально изоморфны тогда и только тогда, когда их алгебры Ли изоморфны. Это означает, что гомоморфизм φ : G → H групп Ли является накрывающим гомоморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение на алгебрах Ли
является изоморфизмом.
Так как для каждой алгебры Ли существует единственная односвязная группа Ли G с алгеброй Ли , отсюда следует, что универсальной накрывающей группой связной группы Ли H является (единственная) односвязная группа Ли G, имеющая ту же алгебру Ли, что и H.
