В геометрии двойная шестерка Шлефли — это конфигурация из 30 точек и 12 линий в трехмерном евклидовом пространстве , введенная Людвигом Шлефли в 1858 году . [1] Линии конфигурации можно разделить на два подмножества по шесть линий: каждая линия не пересекается с ( перекосом ) строк в своем собственном подмножестве из шести строк и пересекает все линии, кроме одной, в другом подмножестве из шести строк. Каждая из 12 строк конфигурации содержит пять точек пересечения, причем каждая из этих 30 точек пересечения принадлежит ровно двум линиям, по одной из каждого подмножества, поэтому в обозначениях конфигураций двойная шестерка Шлефли записывается 30 2 12 5 . [2]
Как показал Шлефли, двойная шестерка может быть построена из любых пяти линий a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , которые все пересекаются общей линией b 6 , но в остальном находятся в общем положении (в частности, каждые две линии ai и aj должны быть перекошенными , и никакие четыре линии ai не должны лежать на одной линейчатой поверхности ). Для каждой из пяти строк ai дополнительный набор из четырех из пяти строк имеет два квадратиссанса : b6 и вторую строку bi . Пять линий b 1 , b 2 , b 3 , b 4 и b 5 , образованных таким образом, в свою очередь пересекаются еще одной линией a 6 . Двенадцать линий ai и bi образуют двойную шестерку: каждая линия ai имеет точку пересечения с пятью другими линиями, линиями bj , для которых i ≠ j , и наоборот. [3]
Альтернативная конструкция, показанная на иллюстрации, состоит в том, чтобы провести двенадцать линий через шесть центров граней куба , каждая из которых находится в плоскости его грани и образует одинаковые углы по отношению к ребрам куба. [4] После построения любым из этих способов двойную шестерку можно спроецировать на плоскость, образуя двумерную систему точек и линий с одинаковым паттерном падения.
Типичная кубическая поверхность содержит 27 линий, среди которых можно найти 36 конфигураций двойной шестерки Шлефли. Для представления всех этих строк может потребоваться использование комплексных числовых координат; Кубические поверхности могут иметь менее 27 строк над действительными числами . В любом таком наборе из 27 линий 15 линий, дополнительных к двойной шестерке, вместе с 15 касательными плоскостями, проходящими через тройки этих линий, имеют структуру инцидентности другой конфигурации, конфигурации Кремоны-Ричмонда . [5]
Граф пересечений двенадцати линий конфигурации двойной шестерки представляет собой коронный граф с двенадцатью вершинами , двудольный граф , в котором каждая вершина смежна с пятью из шести вершин противоположного цвета. [6] Граф Леви двойной шестерки может быть получен путем замены каждого ребра графа короны на путь с двумя ребрами. Граф пересечений всего набора из 27 прямых на кубической поверхности является дополнением графа Шлефли . [7]