Двоякопериодическая функция

В математике двоякопериодическая функция — это функция, определенная на комплексной плоскости и имеющая два «периода», которые являются комплексными числами u и v , линейно независимыми как векторы над полем действительных чисел . То, что u и v являются периодами функции ƒ, означает, что

${\displaystyle f(z+u)=f(z+v)=f(z)\,}$

для всех значений комплексного числа  z . ^{[1] [2]}

Таким образом, дважды периодическая функция является двумерным расширением более простой однократно периодической функции , которая повторяется в одном измерении. Знакомые примеры функций с одним периодом на числовой прямой включают тригонометрические функции , такие как косинус и синус . В комплексной плоскости показательная функция e ^z является однократно периодической функцией с периодом 2 πi .

Примеры

Как произвольное отображение пар действительных чисел (или комплексных чисел) в действительные числа, двоякопериодическая функция может быть построена без особых усилий. Например, предположим, что периоды равны 1 и  i , так что повторяющаяся решетка представляет собой набор единичных квадратов с вершинами в гауссовых целых числах . Значения в прототипном квадрате (т. е. x  +  iy , где 0 ≤  x  < 1 и 0 ≤  y  < 1) могут быть назначены довольно произвольно, а затем «скопированы» в соседние квадраты. Тогда эта функция будет обязательно двоякопериодической.

Если векторы 1 и i в этом примере заменить линейно независимыми векторами u и v , прототипный квадрат станет прототипным параллелограммом, который по-прежнему замощает плоскость . «Начало» решетки параллелограммов не обязательно должно быть точкой 0: решетка может начинаться из любой точки. Другими словами, мы можем думать о плоскости и связанных с ней функциональных значениях как о неподвижных и мысленно переводить решетку, чтобы получить представление о характеристиках функции.

Использование комплексного анализа

Если двоякопериодическая функция также является сложной функцией , которая удовлетворяет уравнениям Коши–Римана и представляет собой аналитическую функцию вдали от некоторого набора изолированных полюсов – другими словами, мероморфную функцию – то много информации о такой функции можно получить, применив некоторые основные теоремы комплексного анализа.

• Непостоянная мероморфная двоякопериодическая функция не может быть ограничена на прототипном параллелограмме. Иначе она была бы ограничена всюду, а значит, и постоянной по теореме Лиувилля .
• Так как функция мероморфна, она не имеет существенных особенностей, а ее полюса изолированы. Поэтому можно построить транслируемую решетку, которая не проходит ни через один полюс. Контурный интеграл вокруг любого параллелограмма в решетке должен исчезать, поскольку значения, принимаемые двоякопериодической функцией вдоль двух пар параллельных сторон, идентичны, а две пары сторон проходятся в противоположных направлениях при движении по контуру. Поэтому, по теореме о вычетах , функция не может иметь один простой полюс внутри каждого параллелограмма — она должна иметь по крайней мере два простых полюса внутри каждого параллелограмма (случай Якобиана) или она должна иметь по крайней мере один полюс порядка больше единицы (случай Вейерштрасса).
• Аналогичный аргумент можно применить к функции g = 1/ ƒ , где ƒ является мероморфной и двоякопериодической. При этой инверсии нули ƒ становятся полюсами g , и наоборот . Таким образом, мероморфная двоякопериодическая функция ƒ не может иметь один простой нуль, лежащий внутри каждого параллелограмма на решетке — она должна иметь по крайней мере два простых нуля, или она должна иметь по крайней мере один нуль кратности больше единицы. Из этого следует, что ƒ не может достичь никакого значения только один раз, поскольку ƒ минус это значение само по себе было бы мероморфной двоякопериодической функцией с всего одним нулем.

Смотрите также

• Эллиптическая функция
  • Эллиптические функции Абеля
  • Эллиптические функции Якоби
  • Эллиптические функции Вейерштрасса
  • Лемнискатные эллиптические функции
  • Эллиптические функции Диксона
• Основная пара периодов
• Период картирования

Литература

• Якоби, CGJ (1835 г.). «De functionibus duarum variabilium Quadrupliciter periodis, quibus theoria transcentium Abelianarum innititur». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 13 . АЛ Крелле. Раймер, Берлин: 55–56 . Проверено 3 октября 2022 г.Перепечатано в Gesammelte Werke, т. 2, 2-е изд. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 25-26, 1969.
• Whittaker, ET и Watson, GN: A Course in Modern Analysis , 4-е изд., переиздано Cambridge, England: Cambridge University Press, 1963, стр. 429-535. Главы XX - XXII об эллиптических функциях, общих теоремах и эллиптических функциях Вейерштрасса, тета-функциях и эллиптических функциях Якоби.

Ссылки

1. "Двойная периодическая функция", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994], адаптировано из оригинальной статьи Е.Д. Соломенцева.
2. Weisstein, Eric W. "Doubly Periodic Function". mathworld.wolfram.com . Wolfram Mathworld . Получено 3 октября 2022 г. .