В логике семантический принцип (или закон ) бивалентности гласит, что каждое повествовательное предложение, выражающее утверждение (проверяемой теории), имеет ровно одно истинностное значение : истинное или ложное . [1] [2] Логика, удовлетворяющая этому принципу, называется двузначной логикой [3] или бивалентной логикой . [2] [4]
В формальной логике принцип бивалентности становится свойством, которым семантика может обладать, а может и не обладать. Однако это не то же самое, что закон исключенного третьего , и семантика может удовлетворять этому закону, не будучи бивалентной. [2]
Принцип бивалентности изучается в философской логике для решения вопроса о том, какие утверждения естественного языка имеют четко определенное истинностное значение. Предложения, предсказывающие события в будущем, и предложения, которые кажутся открытыми для интерпретации, особенно сложны для философов, которые считают, что принцип бивалентности применим ко всем декларативным высказываниям естественного языка. [2] Многозначные логики формализуют идеи о том, что реалистическая характеристика понятия следствия требует допустимости посылок, которые из-за неопределенности, временной или квантовой неопределенности или отсутствия ссылки не могут считаться классически бивалентными. Сбои ссылок также могут быть устранены с помощью свободной логики . [5]
Принцип бивалентности связан с законом исключенного третьего, хотя последний является синтаксическим выражением языка логики формы «P ∨ ¬P». Разница между принципом бивалентности и законом исключенного третьего важна, поскольку существует логика, подтверждающая закон, но не сам принцип. [2] Например, трехзначная Логика Парадокса (LP) подтверждает закон исключенного третьего, но не закон непротиворечия ¬(P ∧ ¬P), и ее предполагаемая семантика не является бивалентной. [6] В интуиционистской логике закон исключенного третьего не выполняется. В классической двузначной логике действуют как закон исключенного третьего, так и закон непротиворечия . [1]
Предполагаемая семантика классической логики бивалентна, но это верно не для каждой семантики классической логики. В булевозначной семантике (для классической логики высказываний ) значениями истинности являются элементы произвольной булевой алгебры , «истина» соответствует максимальному элементу алгебры, а «ложь» соответствует минимальному элементу. Промежуточные элементы алгебры соответствуют значениям истинности, отличным от «истина» и «ложь». Принцип бивалентности справедлив лишь тогда, когда в качестве булевой алгебры принимается двухэлементная алгебра , не имеющая промежуточных элементов.
Присвоение булевой семантики классическому исчислению предикатов требует, чтобы модель была полной булевой алгеброй , поскольку квантор универсальности отображается в операцию нижней границы , а квантор существования отображается в супремум ; [7] это называется булевозначной моделью . Все конечные булевы алгебры полны.
Чтобы оправдать свое утверждение о том, что истина и ложь являются единственными логическими значениями, Роман Сушко (1977) отмечает, что каждая структурная многозначная логика высказываний Тарского может быть снабжена бивалентной семантикой. [8]
Известным примером [2] является случай морского сражения , описанный в работе Аристотеля De Interpretatione , глава 9:
Принцип бивалентности здесь утверждает:
Аристотель отрицает признание бивалентности таких будущих контингентов; [9] Хрисипп , логик- стоик , действительно придерживался двувалентности в этом и во всех других положениях. Этот спор продолжает иметь центральное значение как в философии времени , так и в философии логики . [ нужна цитата ]
Именно этот вопрос был одним из первых мотивов изучения многозначной логики . В начале 20-го века польский формальный логик Ян Лукасевич предложил три истинностных значения: истинное, ложное и еще не определенное . Этот подход позже был развит Арендом Хейтингом и Л. Дж. Брауэром ; [2] см. логику Лукасевича .
Подобные проблемы также рассматривались в различных темпоральных логиках , где можно утверждать, что « в конечном итоге либо завтра будет морское сражение, либо его не будет». (Что верно, если «завтра» в конце концов наступит.)
Такие загадки, как парадокс Сорита и связанная с ним ошибка континуума, вызывают сомнения в применимости классической логики и принципа бивалентности к концепциям, применение которых может быть неясным. Нечеткая логика и некоторые другие многозначные логики были предложены в качестве альтернатив, которые лучше справляются с расплывчатыми понятиями. Например, истина (и ложность) в нечеткой логике проявляется в разной степени. Рассмотрим следующее утверждение при сортировке яблок на движущейся ленте:
При наблюдении видно, что яблоко имеет неопределенный цвет между желтым и красным или имеет пятна обоих цветов. Таким образом, цвет не попадает ни в категорию «красный», ни в «желтый», но это единственные категории, доступные нам при сортировке яблок. Мы могли бы сказать, что это «50% красного». Это можно перефразировать: на 50% верно, что яблоко красное. Следовательно, P на 50% верно и на 50% ложно. Теперь рассмотрим:
Другими словами, П и не-П. Это нарушает закон непротиворечия и, как следствие, двувалентности. Однако это лишь частичный отказ от этих законов, поскольку P верен лишь частично. Если бы P было на 100% истинным, не-Р было бы на 100% ложным, и здесь нет противоречия, потому что P и не-P больше не верны.
Однако закон исключенного третьего сохраняется, поскольку Р и не-Р влечет за собой Р или не-Р, поскольку «или» включает в себя. Единственные два случая, когда P и not-P является ложным (когда P на 100% истинно или ложно), — это те же случаи, которые рассматриваются двузначной логикой, и применяются одни и те же правила.
Пример 3-значной логики, применяемой к расплывчатым (неопределенным) случаям : Клини 1952 [11] (§64, стр. 332–340) предлагает 3-значную логику для случаев, когда алгоритмы, включающие частично рекурсивные функции, могут не возвращать значения. а скорее в конечном итоге с обстоятельствами «u» = нерешительно. Он допускает «t» = «истина», «f» = «ложь», «u» = «нерешительно» и переделывает все пропозициональные связки. Он замечает, что:
Мы были интуиционистски оправданы в использовании классической двузначной логики, когда использовали связки при построении примитивных и общерекурсивных предикатов, поскольку для каждого общерекурсивного предиката существует процедура решения; т.е. интуиционистски доказано, что закон исключенного третьего применим к общерекурсивным предикатам.
Теперь, если Q(x) является частично рекурсивным предикатом, существует процедура принятия решения для Q(x) в области его определения, поэтому закон исключенного третьего или исключенного «третьего» (говорящий, что Q(x) либо t или f) применимо интуиционистски к диапазону определения. Но алгоритма для определения того, определено ли Q(x) по заданному x, может отсутствовать. [...] Следовательно, только классически, а не интуиционистски, у нас есть закон исключенной четвертой (говорящий, что для каждого x Q (x) равно t, f или u).
Таким образом, третье «истинное значение» u не соответствует двум другим t и f в нашей теории. Рассмотрение ее статуса покажет, что мы ограничены особым видом таблицы истинности».
Ниже приведены его «сильные таблицы»: [12]
Например, если невозможно определить, является ли яблоко красным или нет, то истинностное значение утверждения Q: «Это яблоко красное» равно «u». Аналогично, истинностное значение утверждения R «Это яблоко не красное» равно «u». Таким образом, AND из них в утверждении Q AND R, т.е. «Это яблоко красное И это яблоко некрасное», согласно таблицам, даст «u». И утверждение Q OR R, т. е. «Это яблоко красное ИЛИ это яблоко некрасное», также даст «u».
