Двусторонний гипергеометрический ряд

Математическая серия

В математике двусторонний гипергеометрический ряд — это ряд Σ a _{n ,} суммированный по всем целым числам n , и такой, что отношение

а _н / а _{н +1}

из двух членов является рациональной функцией n . Определение обобщенного гипергеометрического ряда аналогично, за исключением того, что члены с отрицательным n должны исчезать; двусторонний ряд в общем случае будет иметь бесконечное число ненулевых членов как для положительных, так и для отрицательных n .

Двусторонний гипергеометрический ряд не сходится для большинства рациональных функций, хотя его можно аналитически продолжить до функции, определенной для большинства рациональных функций. Существует несколько формул суммирования, дающих его значения для специальных значений, где он сходится.

Определение

Двусторонний гипергеометрический ряд _p H _p определяется как

${\displaystyle {}_{p}H_{p}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{p};z)={}_{p}H_{p}\left({\begin{matrix}a_{1}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&\ldots &b_{p}\\\end{matrix}};z\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\ldots (b_{p})_{n}}}z^{n}}$

где

${\displaystyle (a)_{n}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,}$

— восходящий факториал или символ Похгаммера .

Обычно переменная z принимается равной 1, в этом случае она опускается из обозначения. Можно определить ряд _p H _q с другими p и q аналогичным образом, но это либо не будет сходиться, либо может быть сведено к обычному гипергеометрическому ряду путем замены переменных.

Конвергенция и аналитическое продолжение

Предположим, что ни одна из переменных a или b не является целым числом, так что все члены ряда конечны и не равны нулю. Тогда члены с n < 0 расходятся, если | z | < 1, а члены с n > 0 расходятся, если | z | > 1, поэтому ряд не может сходиться, если | z |= 1. Когда | z |= 1, ряд сходится, если

${\displaystyle \Re (b_{1}+\cdots b_{n}-a_{1}-\cdots -a_{n})>1.}$

Двусторонний гипергеометрический ряд может быть аналитически продолжен до многозначной мероморфной функции нескольких переменных, сингулярности которых являются точками ветвления при z = 0 и z =1 и простыми полюсами при a _i = −1, −2,... и b _i = 0, 1, 2,... Это можно сделать следующим образом. Предположим, что ни одна из переменных a или b не является целыми числами. Члены с положительным n сходятся при | z | <1 к функции, удовлетворяющей неоднородному линейному уравнению с сингулярностями при z = 0 и z =1, поэтому могут быть продолжены до многозначной функции с этими точками в качестве точек ветвления. Аналогично члены с отрицательным n сходятся при | z | >1 к функции, удовлетворяющей неоднородному линейному уравнению с сингулярностями при z = 0 и z =1, поэтому также могут быть продолжены до многозначной функции с этими точками в качестве точек ветвления. Сумма этих функций дает аналитическое продолжение двустороннего гипергеометрического ряда для всех значений z, отличных от 0 и 1, и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению относительно z, аналогичному гипергеометрическому дифференциальному уравнению.

Формулы суммирования

Двусторонняя сумма Дугалла

${\displaystyle {}_{2}H_{2}(a,b;c,d;1)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}(d)_{n}}}={\frac {\Gamma (d)\Gamma (c)\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (c+d-a-b-1)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)\Gamma (d-a)\Gamma (d-b)}}}$

(Дугалл 1907)

Иногда это записывается в эквивалентной форме

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\Gamma (a+n)\Gamma (b+n)}{\Gamma (c+n)\Gamma (d+n)}}={\frac {\pi ^{2}}{\sin(\pi a)\sin(\pi b)}}{\frac {\Gamma (c+d-a-b-1)}{\Gamma (c-a)\Gamma (d-a)\Gamma (c-b)\Gamma (d-b)}}.}$

Формула Бейли

(Бейли, 1959) дал следующее обобщение формулы Дугалла:

${\displaystyle {}_{3}H_{3}(a,b,f+1;d,e,f;1)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}(f+1)_{n}}{(d)_{n}(e)_{n}(f)_{n}}}=\lambda {\frac {\Gamma (d)\Gamma (e)\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (d+e-a-b-2)}{\Gamma (d-a)\Gamma (d-b)\Gamma (e-a)\Gamma (e-b)}}}$

где

${\displaystyle \lambda =f^{-1}\left[(f-a)(f-b)-(1+f-d)(1+f-e)\right].}$

Смотрите также

• Базовый двусторонний гипергеометрический ряд

Ссылки

• Бейли, В. Н. (1959), «О сумме частного двустороннего гипергеометрического ряда ₃ H ₃ », The Quarterly Journal of Mathematics , Вторая серия, 10 : 92–94, doi : 10.1093/qmath/10.1.92, ISSN  0033-5606, MR  0107727
• Дугалл, Дж. (1907), «О теореме Вандермонда и некоторых более общих разложениях», Proc. Edinburgh Math. Soc. , 25 : 114–132, doi : 10.1017/S0013091500033642
• Слейтер, Люси Джоан (1966), Обобщенные гипергеометрические функции , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06483-X, МР  0201688(есть издание в мягкой обложке 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2 )