Логический двуусловный

Понятие в логике и математике

Диаграмма Венна (истинная часть выделена красным) ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

В логике и математике логическое двуобусловленное утверждение , также известное как материальное двуобусловленное утверждение , эквивалентность , двуимпликация или двуследствие , — это логическая связка, используемая для соединения двух утверждений и формирования утверждения « тогда и только тогда, когда » ( часто сокращенно « тогда и только тогда » ^[1] ), где известно как антецедент , а консеквент . ^{[2] [3]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

В настоящее время обозначения эквивалентности включают в себя . ${\displaystyle \leftrightarrow ,\Leftrightarrow ,\equiv }$

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$логически эквивалентен как операторам « и », так и логическому оператору XNOR (исключающее «ни») , который означает «оба или ни один». ${\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)}$ ${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$

Семантически единственный случай, когда логическое двуусловное предложение отличается от материального условного, — это случай, когда гипотеза (антецедент) ложна, а заключение (консеквент) истинно. В этом случае результат истинен для условного предложения, но ложен для двуусловного. ^[2]

В концептуальной интерпретации P = Q означает «Все P являются Q и все Q являются P ». Другими словами, множества P и Q совпадают: они идентичны. Однако это не означает, что P и Q должны иметь одинаковое значение (например, P может быть «равноугольным триугольником», а Q может быть «равносторонним треугольником»). При формулировке в виде предложения антецедент является подлежащим , а консеквент — предикатом универсального утвердительного суждения (например, во фразе «все люди смертны» «люди» являются подлежащим, а «смертный» — предикатом).

В пропозициональной интерпретации означает, что P подразумевает Q , а Q подразумевает P ; другими словами, предложения логически эквивалентны , в том смысле, что оба являются либо совместно истинными, либо совместно ложными. Опять же, это не означает, что они должны иметь одинаковое значение, поскольку P может быть «треугольник ABC имеет две равные стороны», а Q может быть «треугольник ABC имеет два равных угла». В общем, антецедент является предпосылкой или причиной , а консеквент является следствием . Когда импликация переводится гипотетическим (или условным ) суждением, антецедент называется гипотезой ( или условием ), а консеквент называется тезисом . ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

Обычный способ продемонстрировать биусловное предложение формы — продемонстрировать, что и отдельно (ввиду его эквивалентности конъюнкции двух обратных условных предложений ^[2] ). Еще один способ продемонстрировать то же самое биусловное предложение — продемонстрировать, что и . ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q\rightarrow P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

Когда оба члена двуусловного предложения являются предложениями, его можно разделить на два условных предложения, одно из которых называется теоремой , а другое — ее обратным . ^{[ требуется ссылка ]} Таким образом, всякий раз, когда теорема и ее обратная истинны, мы имеем двуусловное предложение. Простая теорема порождает импликацию, антецедент которой является гипотезой , а консеквент — тезисом теоремы .

Часто говорят, что гипотеза является достаточным условием тезиса, а тезис — необходимым условием гипотезы. То есть достаточно, чтобы гипотеза была истинной для того, чтобы тезис был истинным, в то время как необходимо, чтобы тезис был истинным, если гипотеза была истинна. Когда теорема и ее обратная теорема истинны, говорят, что ее гипотеза является необходимым и достаточным условием тезиса. То есть гипотеза является и причиной, и следствием тезиса одновременно.

Обозначения

Обозначения для представления эквивалентности, используемые в истории, включают:

• ${\displaystyle =}$в Джордже Буле в 1847 году. ^[4] Хотя Буль в основном использовал классы, он также рассматривал случай, когда предложения в , и в то время это была эквивалентность. ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle =}$
• ${\displaystyle \equiv }$у Фреге в 1879 году; ^[5]
• ${\displaystyle \sim }$в Бернейсе в 1918 году; ^[6]
• ${\displaystyle \rightleftarrows }$в Гильберте в 1927 году (при этом он использовал в качестве основного символа в статье); ^[7] ${\displaystyle \sim }$
• ${\displaystyle \leftrightarrow }$у Гильберта и Аккермана в 1928 году ^[8] (они также ввели , хотя и используют в качестве основного символа во всей книге; принят многими последователями, такими как Беккер в 1933 году ^[9] ); ${\displaystyle \rightleftarrows ,\sim }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$
• ${\displaystyle E}$(префикс) у Лукасевича в 1929 г. ^[10] и (префикс) у Лукасевича в 1951 г.; ^[11] ${\displaystyle Q}$
• ${\displaystyle \supset \subset }$в Гейтинге в 1930 году; ^[12]
• ${\displaystyle \Leftrightarrow }$в Бурбаки в 1954 году; ^[13]
• ${\displaystyle \subset \supset }$в Шазале в 1996 году; ^[14]

и так далее. Кто-то еще также иногда использует or . ^{[ необходима цитата ] [ неопределенно ] [ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle \operatorname {EQ} }$ ${\displaystyle \operatorname {EQV} }$

Определение

Логическое равенство (также известное как двуусловное) — это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух предложений , которая выдает значение «истина» тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда истинны. ^[2]

Таблица истинности

Ниже приведена таблица истинности для : ${\displaystyle A\leftrightarrow B}$

Когда задействовано более двух утверждений, их объединение с может быть неоднозначным. Например, утверждение ${\displaystyle \leftrightarrow }$

${\displaystyle x_{1}\leftrightarrow x_{2}\leftrightarrow x_{3}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}}$

может быть истолковано как

${\displaystyle (((x_{1}\leftrightarrow x_{2})\leftrightarrow x_{3})\leftrightarrow \cdots )\leftrightarrow x_{n}}$,

или может быть интерпретировано как утверждение, что все x _i совместно истинны или совместно ложны :

${\displaystyle (x_{1}\land \cdots \land x_{n})\lor (\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})}$

Как оказалось, эти два утверждения одинаковы только при нулевом или двух аргументах. Фактически, следующие таблицы истинности показывают одинаковую последовательность битов только в строке без аргумента и в строках с двумя аргументами:

${\displaystyle ~x_{1}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}}$
означает эквивалент центральной диаграммы Венна ниже, а линия (ABC) в этой матрице представляет собой ту же операцию.
${\displaystyle \neg ~(\neg x_{1}\oplus \cdots \oplus \neg x_{n})}$

${\displaystyle ~x_{1}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}}$
означает сокращение для диаграммы Венна, представленной ниже, а линия (ABC) в этой матрице представляет одну и ту же операцию.
${\displaystyle (~x_{1}\land \cdots \land x_{n}~)}$
${\displaystyle \lor ~(\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})}$

Левая диаграмма Венна ниже и линии (AB) в этих матрицах представляют одну и ту же операцию.

Диаграммы Венна

Красные области обозначают истину (как вдля и ).

Характеристики

Коммутативность : Да

Ассоциативность : Да

Распределимость : Двуусловная функция не распространяется ни на одну бинарную функцию (даже на саму себя), но логическая дизъюнкция распространяется на двуусловную функцию.

Идемпотентность : Нет

Монотонность : Нет

Сохранение истинности: Да.
Когда все входные данные истинны, выходные данные также истинны.

Сохранение ложности: Нет.
Когда все входные данные ложны, выходные данные не ложны.

Спектр Уолша : (2,0,0,2)

Нелинейность : 0 ( функция линейна)

Правила вывода

Как и все связки в логике первого порядка, двуусловное утверждение имеет правила вывода, которые регулируют его использование в формальных доказательствах.

Двусмысленное введение

Двустороннее введение позволяет сделать вывод, что если B следует из A и A следует из B, то A тогда и только тогда, когда B.

Например, из утверждений «если я дышу, то я жив» и «если я жив, то я дышу» можно сделать вывод, что «я дышу тогда и только тогда, когда я жив» или, что то же самое, «я жив тогда и только тогда, когда я дышу». Или более схематично:

Б → А    А → Б    ∴ А ↔ Б

Б → А    А → Б    ∴ Б ↔ А

Двустороннее исключение

Исключение двух условий позволяет вывести одно условие из другого: если A ↔ B истинно, то можно вывести либо A → B, либо B → A.

Например, если верно, что я дышу тогда и только тогда, когда я жив, то верно, что если я дышу, то я жив; аналогично верно, что если я жив, то я дышу. Или более схематично:

 А ↔ Б   ∴ А → Б

 А ↔ Б   ∴ Б → А

Разговорное использование

Одним из недвусмысленных способов выражения двусмысленного предложения на простом английском языке является использование формы « b if a and a if b » — если стандартная форма « a if and only if b » не используется. Немного более формально можно также сказать, что « b подразумевает a and a подразумевает b » или « a is necessary and enough for b ». Простое английское «if'» иногда может использоваться как двусмысленное предложение (особенно в контексте математического определения ^[15] ). В этом случае при интерпретации этих слов необходимо учитывать окружающий контекст.

Например, утверждение «Я куплю тебе новый кошелек, если он тебе нужен» может быть истолковано как двуусловное, поскольку говорящий не подразумевает, что покупка кошелька будет иметь действительный результат, независимо от того, нужен он или нет (как в условном предложении). Однако «облачно, если идет дождь» обычно не подразумевается как двуусловное, поскольку может быть облачно, даже если не идет дождь.

Смотрите также

• Философский портал
• Психологический портал

• Если и только если
• Логическая эквивалентность
• Логическое равенство
• XNOR-ворота
• Двустороннее исключение
• Двусмысленное введение

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Iff". mathworld.wolfram.com . Получено 25.11.2019 .
2. Peil, Timothy. "Conditionals and Biconditionals". web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 2020-10-24 . Получено 2019-11-25 .
3. Бреннан, Джозеф Г. (1961). Справочник по логике (2-е изд.). Harper & Row. стр. 81.
4. Буль, Г. (1847). Математический анализ логики, как эссе к исчислению дедуктивного рассуждения. Кембридж/Лондон: Macmillan, Barclay, & Macmillan/George Bell. стр. 17.
5. Фреге, Г. (1879). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (на немецком языке). Halle a/S: Verlag von Louis Nebert. п. 15.
6. Бернейс, П. (1918). Beiträge zur axiomatischen Behandlung des Logik-Kalküls . Геттинген: Университет Геттингена. п. 3.
7. Гильберт, Д. (1928) [1927]. «Основы математики». Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität (на немецком языке). 6 : 65–85. дои : 10.1007/BF02940602.
8. Гильберт, Д.; Акерманн, В. (1928). Grundzügen der theoretischen Logik (на немецком языке) (1-е изд.). Берлин: Verlag фон Юлиус Шпрингер. п. 4.
9. Беккер, А. (1933). Die Aristotelische Theorie der Möglichkeitsschlösse: Eine logisch-philologische Untersuchung der Kapitel 13-22 von Aristoteles' Analytica Priora I (на немецком языке). Берлин: Junker und Dünnhaupt Verlag. п. 4.
10. Лукасевич, Дж. (1958) [1929]. Слупецкий, Дж. (ред.). Elementy logiki matematycznej (на польском языке) (2-е изд.). Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
11. Лукасевич, Дж. (1957) [1951]. Слупецкий, Дж. (ред.). Силлогистика Аристотеля с точки зрения современной формальной логики (на польском языке) (2-е изд.). Глазго, Нью-Йорк, Торонто, Мельбурн, Веллингтон, Бомбей, Калькутта, Мадрас, Карачи, Лахор, Дакка, Кейптаун, Солсбери, Найроби, Ибадан, Аккра, Куала-Лумпур и Гонконг: Oxford University Press.
12. Хейтинг, А. (1930). «Формальное правило интуиционистской логики». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse (на немецком языке): 42–56.
13. Бурбаки, Н. (1954). Теория ансамблей (на французском языке). Париж: Hermann & Cie, Éditeurs. п. 32.
14. Чазал, Г. (1996). Элементы формальной логики . Париж: Научные публикации Гермеса.
15. Фактически, именно такой стиль принят в руководстве Википедии по стилю в математике .

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Logical biconditional на Wikimedia Commons

В данной статье использованы материалы Biconditional on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .