Рациональное число

Частное двух целых чисел

Рациональные числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ включены в действительные числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , которые включены в комплексные числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , в то время как рациональные числа включают целые числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , которые, в свою очередь, включают натуральные числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ .

В математике рациональное число — это число , которое можно выразить как частное или дробь ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ двух целых чисел , числителя p и ненулевого знаменателя q . ^[1] Например, ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$ является рациональным числом, как и любое целое число (например, ). Множество всех рациональных чисел , также называемое « рациональными числами », ^[2] поле рациональных чисел ^[3] или поле рациональных чисел обычно обозначается жирным шрифтом Q или жирным шрифтом на доске ⁠ ⁠ ${\displaystyle -5={\tfrac {-5}{1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Рациональное число — это действительное число . Действительные числа, которые являются рациональными, — это те, десятичное расширение которых либо заканчивается после конечного числа цифр (пример: 3/4 = 0,75 ), либо в конечном итоге начинает повторять одну и ту же конечную последовательность цифр снова и снова (пример: 9/44 = 0,20454545... ). ^[4] Это утверждение верно не только в системе счисления с основанием 10 , но и в любой другой системе счисления с целыми числами , такой как двоичная и шестнадцатеричная (см. Повторяющаяся десятичная система счисления § Расширение до других оснований ).

Действительное число , которое не является рациональным, называется иррациональным . ^[5] Иррациональные числа включают квадратный корень из 2 ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ), π , e и золотое сечение ( φ ). Поскольку множество рациональных чисел счетно , а множество действительных чисел несчетно , почти все действительные числа иррациональны. ^[1]

Рациональные числа можно формально определить как классы эквивалентности пар целых чисел ( p, q ), где q ≠ 0 , используя отношение эквивалентности, определяемое следующим образом:

${\displaystyle (p_{1},q_{1})\sim (p_{2},q_{2})\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.}$

Дробь ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ тогда обозначает класс эквивалентности ( p, q ) . ^[6]

Рациональные числа вместе с сложением и умножением образуют поле , которое содержит целые числа , и содержится в любом поле, содержащем целые числа. Другими словами, поле рациональных чисел является простым полем , и поле имеет нулевую характеристику тогда и только тогда , когда оно содержит рациональные числа как подполе. Конечные расширения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ называются полями алгебраических чисел , а алгебраическое замыкание ⁠ ⁠ является полем алгебраических чисел . ^[7] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

В математическом анализе рациональные числа образуют плотное подмножество действительных чисел. Действительные числа могут быть построены из рациональных чисел путем дополнения , с использованием последовательностей Коши , сечений Дедекинда или бесконечных десятичных дробей (см. Построение действительных чисел ).

Терминология

Термин «рациональный» по отношению к множеству ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ относится к тому факту, что рациональное число представляет собой отношение двух целых чисел. В математике «рациональный» часто используется как существительное, сокращающее «рациональное число». Прилагательное «рациональный» иногда означает, что коэффициенты являются рациональными числами. Например, рациональная точка — это точка с рациональными координатами (т. е. точка, координаты которой являются рациональными числами); рациональная матрица — это матрица рациональных чисел; рациональный многочлен может быть многочленом с рациональными коэффициентами, хотя термин «многочлен над рациональными числами» обычно предпочтительнее, чтобы избежать путаницы между « рациональным выражением » и « рациональной функцией » ( многочлен — это рациональное выражение и определяет рациональную функцию, даже если его коэффициенты не являются рациональными числами). Однако рациональная кривая — это не кривая, определенная над рациональными числами, а кривая, которая может быть параметризована рациональными функциями.

Этимология

Хотя в настоящее время рациональные числа определяются в терминах отношений , термин рациональный не является производным от отношения . Напротив, именно отношение произошло от рационального : первое использование отношения в его современном значении было засвидетельствовано в английском языке около 1660 года, ^[8] в то время как использование рационального для определения чисел появилось почти на столетие раньше, в 1570 году. ^[9] Это значение рационального произошло от математического значения иррационального , которое впервые было использовано в 1551 году, и оно использовалось в «переводах Евклида (после его своеобразного использования ἄλογος )». ^{[10] [11]}

Эта необычная история возникла из-за того, что древние греки «избегали ереси, запрещая себе думать об этих [иррациональных] длинах как о числах». ^[12] Поэтому такие длины были иррациональными , в смысле нелогичными , то есть «о них нельзя было говорить» ( ἄλογος по-гречески). ^[13]

Арифметика

Несократимая дробь

Каждое рациональное число может быть выражено единственным способом в виде несократимой дроби , где ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ a и b — взаимно простые целые числа , причем b > 0. Это часто называют канонической формой рационального числа.

Исходя из рационального числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ его каноническую форму можно получить, разделив a и b на их наибольший общий делитель и, если b < 0 , изменив знак получившегося числителя и знаменателя.

Вложение целых чисел

Любое целое число n можно выразить как рациональное число ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}},}$ которое является его канонической формой как рационального числа.

Равенство

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$если и только если ${\displaystyle ad=bc}$

Если обе дроби находятся в канонической форме, то:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$тогда и только тогда, когда и ^[6] ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle b=d}$

Заказ

Если оба знаменателя положительны (особенно если обе дроби находятся в канонической форме):

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$если и только если ${\displaystyle ad<bc.}$

С другой стороны, если какой-либо знаменатель отрицательный, то каждую дробь с отрицательным знаменателем необходимо сначала преобразовать в эквивалентную форму с положительным знаменателем, изменив знаки как числителя, так и знаменателя. ^[6]

Добавление

Две дроби складываются следующим образом:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат находится в канонической форме тогда и только тогда, когда b, d являются взаимно простыми целыми числами . ^{[6] [14]}

Вычитание

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат находится в канонической форме тогда и только тогда, когда b, d являются взаимно простыми целыми числами . ^[14]

Умножение

Правило умножения следующее:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

где результатом может быть сокращаемая дробь — даже если обе исходные дроби находятся в канонической форме. ^{[6] [14]}

Обратный

Каждое рациональное число имеет аддитивное ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ обратное число , часто называемое его противоположностью ,

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.}$

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ находится в канонической форме, то же самое верно и для его противоположности.

Ненулевое рациональное число ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ имеет мультипликативную инверсию , также называемую его обратной величиной ,

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.}$

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ находится в канонической форме, то каноническая форма его обратной величины — это ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ или ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {-b}{-a}},}$ в зависимости от знака a .

Разделение

Если b, c, d не равны нулю, правило деления следующее:

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.}$

Таким образом, деление ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ на ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ эквивалентно умножению ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ на обратную величину ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}:}$^[14]

${\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.}$

Возведение в целую степень

Если n — неотрицательное целое число, то

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.}$

Результат находится в канонической форме, если то же самое верно для ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.}$ В частности,

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}$

Если а ≠ 0 , то

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.}$

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ находится в канонической форме, каноническая форма результата ⁠ ⁠ если ${\displaystyle {\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}}$ a > 0 или n четное. В противном случае каноническая форма результата ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.}$

Представление непрерывной дроби

Конечная цепная дробь — это выражение, такое как

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$

где a _n — целые числа. Каждое рациональное число ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ можно представить в виде конечной цепной дроби, коэффициенты которой a _n можно определить, применив алгоритм Евклида к ( a, b ) .

Другие представления

• обыкновенная дробь : ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$
• смешанное число : ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2{\tfrac {2}{3}}}$
• повторяющаяся десятичная дробь с использованием винкулума : ${\displaystyle 2.{\overline {6}}}$
• повторяющаяся десятичная дробь с использованием скобок : ${\displaystyle 2.(6)}$
• цепная дробь с использованием традиционной типографики: ${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}}$
• цепная дробь в сокращенной записи: ${\displaystyle [2;1,2]}$
• Египетская фракция : ${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}}$
• разложение по основной мощности : ${\displaystyle 2^{3}\times 3^{-1}}$
• Обозначение цитаты : ${\displaystyle 3'6}$

это разные способы представления одной и той же рациональной величины.

Формальное строительство

Диаграмма, показывающая представление эквивалентных классов пар целых чисел.

Рациональные числа могут быть построены как классы эквивалентности упорядоченных пар целых чисел . ^{[6] [14]}

Точнее, пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))}$ будет множеством пар ( m, n ) целых чисел, таких, что n ≠ 0. Отношение эквивалентности определяется на этом множестве как

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$^{[6] [14]}

Сложение и умножение можно определить по следующим правилам:

${\displaystyle (m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).}$^[6]

Это отношение эквивалентности является отношением конгруэнтности , что означает, что оно совместимо с определенными выше сложением и умножением; множество рациональных чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ определяется как частное, заданное этим отношением эквивалентности, ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,}$ снабженное сложением и умножением, индуцированными вышеуказанными операциями. (Эта конструкция может быть выполнена с любой областью целочисленности и создает ее поле дробей .) ^[6]

Класс эквивалентности пары ( m, n ) обозначается ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}.}$ Две пары ( m ₁ , n ₁ ) и ( m ₂ , n ₂ ) принадлежат одному и тому же классу эквивалентности (то есть эквивалентны) тогда и только тогда, когда

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Это означает, что

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

тогда и только тогда, когда ^{[6] [14]}

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Каждый класс эквивалентности ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ может быть представлен бесконечным числом пар, поскольку

${\displaystyle \cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

Каждый класс эквивалентности содержит уникальный канонический представительный элемент . Канонический представитель — это уникальная пара ( m, n ) в классе эквивалентности, такая, что m и n взаимно просты , и n > 0. Это называется представлением в наименьших членах рационального числа.

Целые числа можно считать рациональными числами, отождествляя целое число n с рациональным числом ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}.}$

На рациональных числах можно определить общий порядок , который расширяет естественный порядок целых чисел. Можно

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

Если

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}}$

Характеристики

Множество ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ всех рациональных чисел вместе с операциями сложения и умножения, показанными выше, образует поле . ^[6]

⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ не имеет полевого автоморфизма , кроме тождественного. (Полевой автоморфизм должен фиксировать 0 и 1; поскольку он должен фиксировать сумму и разность двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое целое число; поскольку он должен фиксировать частное двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое рациональное число и, таким образом, является тождественным.)

⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — это простое поле , которое является полем, не имеющим подполя, отличного от самого себя. ^[15] Рациональные числа — это наименьшее поле с нулевой характеристикой . Каждое поле нулевой характеристики содержит уникальное подполе, изоморфное ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

При определенном выше порядке ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ является упорядоченным полем ^[14] , которое не имеет подполей, отличных от него самого, и является наименьшим упорядоченным полем в том смысле, что каждое упорядоченное поле содержит уникальное подполе , изоморфное ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — это поле дробей целых чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$^[16] Алгебраическое замыкание ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ т.е. поле корней рациональных многочленов, является полем алгебраических чисел .

Рациональные числа представляют собой плотно упорядоченный набор: между любыми двумя рациональными числами находится еще одно, и, следовательно, бесконечно много других. ^[6] Например, для любых двух дробей таких, что

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$

(где положительны), имеем ${\displaystyle b,d}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}$

Любое полностью упорядоченное множество, которое является счетным, плотным (в указанном выше смысле) и не имеет наименьшего или наибольшего элемента, является порядково изоморфным рациональным числам. ^[17]

Счётность

Иллюстрация счетности положительных рациональных чисел

Множество всех рациональных чисел счетно , как показано на рисунке справа. Поскольку рациональное число может быть выражено как отношение двух целых чисел, можно присвоить два целых числа любой точке квадратной решетки , как в декартовой системе координат , так что любая точка сетки будет соответствовать рациональному числу. Однако этот метод демонстрирует форму избыточности, поскольку несколько различных точек сетки будут соответствовать одному и тому же рациональному числу; они выделены красным цветом на представленном графике. Очевидный пример можно увидеть в линии, идущей по диагонали к нижнему правому углу; такие отношения всегда будут равны 1, поскольку любое ненулевое число, деленное само на себя, всегда будет равно единице.

Можно сгенерировать все рациональные числа без подобных избыточностей: примерами служат дерево Калкина–Вильфа и дерево Штерна–Броко .

Поскольку множество всех рациональных чисел счетно, а множество всех действительных чисел (а также множество иррациональных чисел) несчетно, множество рациональных чисел является нулевым множеством , то есть почти все действительные числа являются иррациональными в смысле меры Лебега .

Действительные числа и топологические свойства

Рациональные числа являются плотным подмножеством действительных чисел ; каждое действительное число имеет рациональные числа, произвольно близкие к нему. ^[6] Связанное с этим свойство состоит в том, что рациональные числа являются единственными числами с конечными разложениями в виде правильных цепных дробей . ^[18]

В обычной топологии действительных чисел рациональные числа не являются ни открытым , ни замкнутым множеством . ^[19]

В силу своего порядка рациональные числа несут топологию порядка . Рациональные числа, как подпространство действительных чисел, также несут топологию подпространства . Рациональные числа образуют метрическое пространство с использованием метрики абсолютной разности , и это дает третью топологию на ⁠ ⁠ Все три топологии совпадают и превращают рациональные числа в топологическое поле . Рациональные числа являются важным примером пространства, которое не является локально компактным . Рациональные числа характеризуются топологически как единственное счетное метризуемое пространство без изолированных точек . Пространство также полностью несвязно . Рациональные числа не образуют полное метрическое пространство , а действительные числа являются его завершением под метрикой выше . ^[14] ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

п-адические числа

Помимо метрики абсолютного значения, упомянутой выше, существуют и другие метрики, которые превращают ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ в топологическое поле:

Пусть p — простое число , и для любого ненулевого целого числа a пусть , где p ⁿ — наибольшая степень числа p, делящая a . ${\displaystyle |a|_{p}=p_{-n},}$

В дополнение к этому для любого рационального числа ⁠ ⁠ мы положим ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.}$

Затем

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

определяет метрику на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$^[20]

Метрическое пространство ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})}$ не является полным, и его пополнением является поле p -адических чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$ Теорема Островского утверждает, что любое нетривиальное абсолютное значение на рациональных числах ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ эквивалентно либо обычному действительному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению.

Смотрите также

• Диадический рациональный
• С плавающей точкой
• Форд круги
• Гауссово рациональное
• Наивная высота — высота рационального числа в наименьшем члене
• Теорема Нивена
• Рациональный тип данных
• Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии до универсальной геометрии

Ссылки

1. Rosen, Kenneth (2007). Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
2. Ласс, Гарри (2009). Элементы чистой и прикладной математики (иллюстрированное издание). Courier Corporation. стр. 382. ISBN 978-0-486-47186-0.Выдержка из страницы 382
3. Робинсон, Джулия (1996). Собрание сочинений Джулии Робинсон. Американское математическое общество. стр. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6.Выдержка из страницы 104
4. "Рациональное число". Encyclopedia Britannica . Получено 2020-08-11 .
5. Weisstein, Eric W. "Рациональное число". Wolfram MathWorld . Получено 11 августа 2020 г.
6. Биггс, Норман Л. (2002). Дискретная математика . Индия: Oxford University Press. С. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
7. Гилберт, Джимми; Линда, Гилберт (2005). Элементы современной алгебры (6-е изд.). Белмонт, Калифорния: Thomson Brooks/Cole. стр. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
8. Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989.Коэффициент входа , сущ. , смысл 2.а.
9. Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989.Рациональная запись , а. (нареч.) и сущ. ¹ , смысл 5.а.
10. Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989.Запись иррациональная , а. и сущ. , смысл 3.
11. Шор, Питер (2017-05-09). "Происходит ли рациональное из соотношения или соотношение происходит из рационального". Stack Exchange . Получено 2021-03-19 .
12. Кулман, Роберт (29.01.2016). «Как математическое суеверие оглупляло алгебру на протяжении более тысячи лет» . Получено 20.03.2021 .
13. Крамер, Эдна (1983). Природа и развитие современной математики . Princeton University Press. стр. 28.
14. "Дробь - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2021-08-17 .
15. Sūgakkai, Nihon (1993). Энциклопедический словарь математики, том 1. Лондон, Англия: MIT Press. стр. 578. ISBN 0-2625-9020-4.
16. Бурбаки, Н. (2003). Алгебра II: Главы 4 - 7. Springer Science & Business Media. стр. A.VII.5.
17. Гизе, Мартин; Шёнегг, Арно (декабрь 1995 г.). Любые два счетных плотно упорядоченных множества без конечных точек изоморфны — формальное доказательство с помощью KIV (PDF) (Технический отчет) . Получено 17 августа 2021 г.
18. Энтони Ваззана; Дэвид Гарт (2015). Введение в теорию чисел (2-е, исправленное издание). CRC Press. стр. 1. ISBN 978-1-4987-1752-6.Выдержка из страницы 1
19. Ричард А. Холмгрен (2012). Первый курс по дискретным динамическим системам (2-е, иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 26. ISBN 978-1-4419-8732-7.Выдержка из страницы 26
20. Weisstein, Eric W. "p-adic Number". Wolfram MathWorld . Получено 17 августа 2021 г.

Примечания

Внешние ссылки

• «Рациональное число», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Рациональное число» из MathWorld – веб-ресурс Wolfram