Потенциал двойной скважины

Так называемый двухъямный потенциал является одним из ряда кварковых потенциалов, представляющих значительный интерес в квантовой механике , квантовой теории поля и в других областях для исследования различных физических явлений или математических свойств, поскольку во многих случаях он позволяет проводить явные вычисления без чрезмерного упрощения.

Таким образом, «симметричный двухъямный потенциал» в течение многих лет служил моделью для иллюстрации концепции инстантонов как псевдоклассической конфигурации в евклидовой теории поля . ^[1] В более простом квантово-механическом контексте этот потенциал служил моделью для оценки интегралов Фейнмана по траекториям . ^{[2] [3]} или решения уравнения Шредингера различными методами с целью получения явных собственных значений энергии.

С другой стороны, «перевернутый симметричный двухъямный потенциал» служил нетривиальным потенциалом в уравнении Шредингера для расчета скоростей распада ^[4] и исследования поведения асимптотических разложений в больших порядках . ^{[5] [6] [7]}

Третья форма четвертого потенциала — это «возмущенный простой гармонический осциллятор» или «чистый ангармонический осциллятор», имеющий чисто дискретный энергетический спектр.

Четвертый тип возможного потенциала четвертой степени — это «асимметричная форма» одного из первых двух, названных выше.

Двухъямные и другие квартикальные потенциалы можно рассматривать различными методами, основными из которых являются (a) метод возмущений (метод Б. Дингла и Х. Дж. В. Мюллера-Кирстена ^[8] ), который требует наложения граничных условий, (b) метод ВКБ и (c) метод интеграла по траекториям. Все случаи подробно рассматриваются в книге Х. Дж. В. Мюллера-Кирстена. ^[9] Поведение асимптотических разложений функций Матье и их собственных значений (также называемых характеристическими числами) в больших порядках было выведено в дальнейшей статье Р. Б. Дингла и Х. Дж. В. Мюллера. ^[10]

Симметричный двойной колодец

Основной интерес в литературе (по причинам, связанным с теорией поля) был сосредоточен на симметричной двойной яме (потенциале), а там на квантово-механическом основном состоянии. Поскольку задействовано туннелирование через центральный горб потенциала, вычисление собственных энергий уравнения Шредингера для этого потенциала нетривиально. Случай основного состояния опосредован псевдоклассическими конфигурациями, известными как инстантон и антиинстантон. В явной форме это гиперболические функции. Как псевдоклассические конфигурации они естественным образом появляются в полуклассических рассмотрениях — суммирование (широко разделенных) пар инстантон-антиинстантон известно как приближение разбавленного газа. Собственная энергия основного состояния, полученная в конечном итоге, представляет собой выражение, содержащее экспоненту евклидова действия инстантона. Это выражение содержит множитель и поэтому описывается как (классически) непертурбативный эффект. ${\displaystyle 1/\hbar }$

Устойчивость конфигурации инстантона в теории интегралов по траекториям скалярной теории поля с симметричным самовзаимодействием двухъямных ям исследуется с использованием уравнения малых колебаний вокруг инстантона. Обнаружено, что это уравнение является уравнением Пёшля-Теллера (т.е. дифференциальным уравнением второго порядка, подобным уравнению Шредингера с потенциалом Пёшля-Теллера ) с неотрицательными собственными значениями. Неотрицательность собственных значений указывает на устойчивость инстантона. ^[11]

Как указано выше, инстантон — это псевдочастичная конфигурация, определенная на бесконечной линии евклидова времени, которая сообщается между двумя ямами потенциала и отвечает за основное состояние системы. Конфигурации, соответственно ответственные за более высокие, т. е. возбужденные, состояния, являются периодическими инстантонами, определенными на окружности евклидова времени, которые в явной форме выражаются через эллиптические функции Якоби (обобщение тригонометрических функций). Оценка интеграла по траектории в этих случаях включает в себя соответствующие эллиптические интегралы. Уравнение малых флуктуаций вокруг этих периодических инстантонов является уравнением Ламе, решениями которого являются функции Ламе . В случаях неустойчивости (как для инвертированного двухъямного потенциала) это уравнение обладает отрицательными собственными значениями, указывающими на эту неустойчивость, т. е. распад. ^[11]

Применение метода возмущений Дингла и Мюллера (первоначально примененного к уравнению Матье, т.е. уравнению Шредингера с косинусным потенциалом) требует использования симметрий параметров уравнения Шредингера для потенциала четвертой степени. Расширяется вокруг одного из двух минимумов потенциала. Кроме того, этот метод требует согласования различных ветвей решений в областях перекрытия. Применение граничных условий в конечном итоге дает (как и в случае периодического потенциала) непертурбативный эффект.

В терминах параметров, как в уравнении Шредингера для симметричного двухъямного потенциала, в следующем виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;c^{2}>0,h^{4}>0,}$

собственные значения для оказываются равными (см. книгу Мюллера-Кирстена, формула (18.175b), стр. 425) ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \;\;\;\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

Очевидно, что эти собственные значения асимптотически ( ) вырождены, как и ожидалось из гармонической части потенциала. Обратите внимание, что члены пертурбативной части результата попеременно четные или нечетные в и (как в соответствующих результатах для функций Матье , функций Ламе , вытянутых сфероидальных волновых функций , сжатых сфероидальных волновых функций и других). ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle h^{2}}$

В контексте теории поля приведенный выше симметричный потенциал двойной ямы часто записывается ( будучи скалярным полем) ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2},}$

а инстантон является решением уравнения типа Ньютона ${\displaystyle \phi _{c}(\tau )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),\;\;\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{d\tau }}\right)^{2}-V(\phi )=-E_{cl}=0}$

( будучи евклидовым временем), т.е. ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right].}$

Уравнение малых колебаний относительно — это уравнение Пёшля-Теллера (см. Потенциал Пёшля-Теллера ). ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,}$

${\displaystyle \left[-{\frac {d^{2}}{d\tau ^{2}}}+V''(\phi _{c})\right]\eta _{n}(\tau )=\omega _{n}^{2}\eta _{n}(\tau ),}$

с

${\displaystyle V''(\phi _{c})=4m^{2}-{\frac {6m^{2}}{\cosh ^{2}m(\tau -\tau _{0})}}.}$

Поскольку все собственные значения положительны или равны нулю, конфигурация инстантона стабильна и распада не происходит. ${\displaystyle \omega _{n}^{2}}$

В более общем случае классическое решение — это периодический инстантон ${\displaystyle E_{cl}\neq 0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {kb(k)}{g}}sn[b(k)(\tau -\tau _{0})],\;\;\;b(k)=m\left({\frac {2}{1+k^{2}}}\right)^{1/2},}$

где - эллиптический модуль периодической эллиптической функции Якоби . Уравнение малой флуктуации в этом общем случае является уравнением Ламе . В пределе решение становится вакуумным инстантонным решением, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle sn}$ ${\displaystyle k=1,E_{cl}=0}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$

${\displaystyle \phi _{c}={\frac {m}{g}}\tanh[m(\tau -\tau _{0})].}$

Инвертированный двухъямный потенциал

Теория возмущений вместе с сопоставлением решений в областях перекрытия и наложением граничных условий (отличных от условий для двойной ямы) снова может быть использована для получения собственных значений уравнения Шредингера для этого потенциала. В этом случае, однако, расширение выполняется вокруг центральной впадины потенциала. Поэтому результаты отличаются от приведенных выше.

В терминах параметров, как в уравнении Шредингера для инвертированного двухъямного потенциала в следующем виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

собственные значения для оказываются равными (см. книгу Мюллера-Кирстена, формула (18.86), стр. 503) ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})+i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

Мнимая часть этого выражения согласуется с результатом CM Bender и TT Wu (см. их формулу (3.36) и положим , и в их обозначениях ). ^[12] Этот результат играет важную роль в обсуждении и исследовании поведения большого порядка теории возмущений. ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon }$

Чистый ангармонический осциллятор

В терминах параметров, как в уравнении Шредингера для чистого ангармонического осциллятора в следующем виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

собственные значения для оказываются равными ${\displaystyle q=q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}qh^{2}+{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q^{2}+1)-{\frac {c^{4}}{h^{10}}}q(4q^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}}).}$

Больше членов можно легко вычислить. Обратите внимание, что коэффициенты разложения попеременно четные или нечетные в и , как и во всех других случаях. Это важный аспект решений дифференциального уравнения для потенциалов четвертой степени. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle h^{2}}$

Общие комментарии

Вышеуказанные результаты для двойной ямы и инвертированной двойной ямы также могут быть получены методом интеграла по траектории (там через периодические инстантоны, ср. инстантоны ), и методом ВКБ, хотя с использованием эллиптических интегралов и приближения Стирлинга гамма -функции , все из которых делают вычисления более сложными. Свойство симметрии пертурбативной части в изменениях q → - q , → - результатов может быть получено только при выводе из уравнения Шредингера, что, следовательно, является лучшим и правильным способом получения результата. Этот вывод подтверждается исследованиями других дифференциальных уравнений второго порядка, таких как уравнение Матье и уравнение Ламе, которые демонстрируют схожие свойства в своих уравнениях собственных значений. Более того, в каждом из этих случаев (двойная яма, инвертированная двойная яма, косинусный потенциал) уравнение малых флуктуаций относительно классической конфигурации является уравнением Ламе. ${\displaystyle h^{2}}$ ${\displaystyle h^{2}}$

Ссылки

1. S. Coleman, The Whys of Subnuclear Physics, под ред. A. Zichichi (Plenum Press, 1979), 805-916; S. Coleman, The Uses of Instantons, 1977 Международная школа субъядерной физики, Этторе Майорана.
2. Гилденер, Элдад; Патрасциою, Адриан (15 июля 1977 г.). «Вклад псевдочастиц в энергетический спектр одномерной системы». Physical Review D. 16 ( 2). Американское физическое общество (APS): 423–430. doi :10.1103/physrevd.16.423. ISSN  0556-2821.
3. Лян, Цзю-Цин; Мюллер-Кирстен, Х. Дж. В. (15 ноября 1992 г.). «Периодические инстантоны и квантово-механическое туннелирование при высокой энергии». Physical Review D. 46 ( 10). Американское физическое общество (APS): 4685–4690. doi :10.1103/physrevd.46.4685. ISSN  0556-2821. PMID  10014840.
4. Liang, J.-Q.; Müller-Kirsten, HJW (15 ноября 1994 г.). "Невакуумные отскоки и квантовое туннелирование при конечной энергии" (PDF) . Physical Review D. 50 ( 10). Американское физическое общество (APS): 6519–6530. doi :10.1103/physrevd.50.6519. ISSN  0556-2821. PMID  10017621.
5. Бендер, Карл М.; Ву, Тай Цун (5 августа 1968 г.). «Аналитическая структура уровней энергии в модели теории поля». Physical Review Letters . 21 (6). Американское физическое общество (APS): 406–409. doi :10.1103/physrevlett.21.406. ISSN  0031-9007.
6. Бендер, Карл М.; Ву, Тай Цун (16 августа 1971 г.). «Поведение теории возмущений большого порядка». Physical Review Letters . 27 (7). Американское физическое общество (APS): 461–465. doi :10.1103/physrevlett.27.461. ISSN  0031-9007.
7. Бендер, Карл М.; Ву, Тай Цун (25 августа 1969 г.). «Ангармонический осциллятор». Physical Review . 184 (5). Американское физическое общество (APS): 1231–1260. doi :10.1103/physrev.184.1231. ISSN  0031-899X.
8. Мюллер, HJW; Дингл, РБ (1962). «Асимптотические разложения функций Матье и их характеристические числа». Журнал для королевы и математики . 1962 (211). Walter de Gruyter GmbH: 11. doi : 10.1515/crll.1962.211.11. ISSN  0075-4102. S2CID  117516747.В данной работе метод возмущений разработан для косинусного потенциала, т. е. уравнения Матье ; см. Функция Матье .
9. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., (World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5 ) 
10. Р.Б. Дингл и Х.Дж.В. Мюллер, Форма коэффициентов поздних членов в асимптотических разложениях характеристических чисел Матье и сфероидальных волновых функций , Journal für die reine und angewandte Mathematik, 216 (1964) 123-133. См. также: HJW Müller-Kirsten, «Теория возмущений, расщепление уровней и поведение большого порядка», Fortschritte der Physik 34 (1986) 775-790.
11. Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW; Tchrakian, DH (1992). «Солитоны, отскоки и сфалероны на окружности». Physics Letters B. 282 ( 1–2). Elsevier BV: 105–110. doi :10.1016/0370-2693(92)90486-n. ISSN  0370-2693.
12. Бендер, Карл М.; Ву, Тай Цун (15 марта 1973 г.). «Ангармонический осциллятор. II. Исследование теории возмущений в большом порядке». Physical Review D. 7 ( 6). Американское физическое общество (APS): 1620–1636. doi :10.1103/physrevd.7.1620. ISSN  0556-2821.