Реальная структура

Математическая концепция

В математике , вещественная структура на комплексном векторном пространстве — это способ разложения комплексного векторного пространства в прямую сумму двух вещественных векторных пространств. Прототипом такой структуры является само поле комплексных чисел, рассматриваемое как комплексное векторное пространство над собой и с отображением сопряжения , с , дающим «каноническую» вещественную структуру на , то есть . ${\displaystyle \sigma :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,}$ ${\displaystyle \sigma (z)={\bar {z}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\,}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }={\mathbb {R} }\oplus i{\mathbb {R} }\,}$

Отображение сопряжения является антилинейным : и . ${\displaystyle \sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,}$ ${\displaystyle \sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,}$

Вектор пространства

Действительная структура на комплексном векторном пространстве V является антилинейной инволюцией . Действительная структура определяет действительное подпространство , его фиксированное локус и естественное отображение ${\displaystyle \sigma :V\to V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\subset V}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\to V}$

является изоморфизмом. Наоборот, любое векторное пространство, являющееся комплексификацией действительного векторного пространства, имеет естественную действительную структуру.

Сначала следует отметить, что каждое комплексное пространство V имеет реализацию, полученную путем взятия тех же векторов, что и в исходном наборе, и ограничения скаляров вещественными числами. Если и тогда векторы и линейно независимы в реализации V . Следовательно: ${\displaystyle t\in V\,}$ ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle t\,}$ ${\displaystyle it\,}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V=2\dim _{\mathbb {C} }V}$

Естественно, хотелось бы представить V как прямую сумму двух действительных векторных пространств, «действительной и мнимой частей V ». Канонического способа сделать это не существует: такое разбиение является дополнительной действительной структурой в V . Его можно ввести следующим образом. ^[1] Пусть — антилинейное отображение , такое что , то есть антилинейная инволюция комплексного пространства V . Любой вектор можно записать , где и . ${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$ ${\displaystyle \sigma \circ \sigma =id_{V}\,}$ ${\displaystyle v\in V\,}$ ${\displaystyle {v=v^{+}+v^{-}}\,}$ ${\displaystyle v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)}$ ${\displaystyle v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,}$

Таким образом, получается прямая сумма векторных пространств, где: ${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$

${\displaystyle V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}}$и . ${\displaystyle V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,}$

Оба множества и являются действительными векторными пространствами . Линейное отображение , где , является изоморфизмом действительных векторных пространств, откуда: ${\displaystyle V^{+}\,}$ ${\displaystyle V^{-}\,}$ ${\displaystyle K:V^{+}\to V^{-}\,}$ ${\displaystyle K(t)=it\,}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,}$.

Первый множитель также обозначается и остается инвариантным с помощью , то есть . Второй множитель обычно обозначается как . Прямая сумма теперь читается как: ${\displaystyle V^{+}\,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle \sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V^{-}\,}$ ${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$,

т.е. как прямая сумма "действительной" и "мнимой" частей V . Эта конструкция сильно зависит от выбора антилинейной инволюции комплексного векторного пространства V . Комплексификация действительного векторного пространства , т.е., допускает естественную действительную структуру и, следовательно, канонически изоморфна прямой сумме двух копий : ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$.

Он следует естественному линейному изоморфизму между комплексными векторными пространствами с заданной действительной структурой. ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,}$

Действительная структура на комплексном векторном пространстве V , которая является антилинейной инволюцией , может быть эквивалентно описана в терминах линейного отображения из векторного пространства в комплексно-сопряженное векторное пространство, определяемое формулой ${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,}$ ${\displaystyle V\,}$ ${\displaystyle {\bar {V}}\,}$

${\displaystyle v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,}$. ^[2]

Алгебраическое многообразие

Для алгебраического многообразия, определенного над подполем действительных чисел , действительная структура — это комплексное сопряжение, действующее на точки многообразия в комплексном проективном или аффинном пространстве. Его фиксированное место — это пространство действительных точек многообразия (которое может быть пустым).

Схема

Для схемы, определенной над подполем действительных чисел, комплексное сопряжение естественным образом является членом группы Галуа алгебраического замыкания базового поля. Действительная структура — это действие Галуа этого сопряжения на расширение схемы над алгебраическим замыканием базового поля. Действительные точки — это точки, поле вычетов которых фиксировано (которое может быть пустым).

Структура реальности

В математике структура реальности на комплексном векторном пространстве V представляет собой разложение V на два действительных подпространства, называемых действительной и мнимой частями V :

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

Здесь V _R — действительное подпространство V , т.е. подпространство V , рассматриваемое как векторное пространство над действительными числами . Если V имеет комплексную размерность n (действительную размерность 2 n ), то V _R должно иметь действительную размерность n .

Стандартная структура реальности на векторном пространстве — это разложение ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.}$

При наличии структуры реальности каждый вектор в V имеет действительную часть и мнимую часть, каждая из которых является вектором в V _R :

${\displaystyle v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

В этом случае комплексное сопряжение вектора v определяется следующим образом:

${\displaystyle {\overline {v}}=\operatorname {Re} \{v\}-i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

Это отображение является антилинейной инволюцией , т.е. ${\displaystyle v\mapsto {\overline {v}}}$

${\displaystyle {\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.}$

Наоборот, если задана антилинейная инволюция на комплексном векторном пространстве V , можно определить структуру реальности на V следующим образом. Пусть ${\displaystyle v\mapsto c(v)}$

${\displaystyle \operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),}$

и определить

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.}$

Затем

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

На самом деле это разложение V как собственных пространств действительного линейного оператора c . Собственные значения c равны +1 и −1, с собственными пространствами V _R и V _R соответственно. Обычно сам оператор c , а не разложение собственного пространства, которое он влечет за собой, называется структурой реальности на V . ${\displaystyle i}$ 

Смотрите также

• Антилинейное отображение
• Каноническая карта комплексного сопряжения
• Комплексно сопряженный
• Комплексно-сопряженное векторное пространство
• Усложнение
• Линейная сложная структура
• Линейная карта
• Полуторалинейная форма
• Спинорное исчисление

Примечания

1. Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер-Верлаг, 1988, с. 29.
2. Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер-Верлаг, 1988, с. 29.

Ссылки

• Хорн и Джонсон, Матричный анализ, Cambridge University Press, 1985. ISBN  0-521-38632-2 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 4.6).
• Будинич, П. и Траутман, А. Спинорная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 3.3). 
• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1986), Спиноры и пространство-время. Том 2 , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25267-6, МР  0838301