Ортогональное преобразование

Операция линейной алгебры

В линейной алгебре ортогональное преобразование — это линейное преобразование T  :  V  →  V на вещественном пространстве скалярного произведения V , которое сохраняет скалярное произведение . То есть для каждой пары u , v элементов  V , мы имеем ^[1]

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Tu,Tv\rangle \,.}$

Поскольку длины векторов и углы между ними определяются через скалярное произведение, ортогональные преобразования сохраняют длины векторов и углы между ними. В частности, ортогональные преобразования отображают ортонормированные базисы в ортонормированные базисы.

Ортогональные преобразования инъективны : если , то , следовательно , ​​поэтому ядро ​​тривиально . ${\displaystyle Tv=0}$ ${\displaystyle 0=\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,v\rangle }$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle T}$

Ортогональные преобразования в двух- или трехмерном евклидовом пространстве являются жесткими вращениями , отражениями или комбинациями вращения и отражения (также известными как несобственные вращения ). Отражения — это преобразования, которые меняют направление спереди назад, ортогонально плоскости зеркала, как это делают (реальные) зеркала. Матрицы, соответствующие собственным вращениям (без отражения), имеют определитель +1. Преобразования с отражением представлены матрицами с определителем −1. Это позволяет обобщить концепцию вращения и отражения на более высокие измерения.

В конечномерных пространствах матричное представление (относительно ортонормированного базиса ) ортогонального преобразования является ортогональной матрицей . Ее строки являются взаимно ортогональными векторами с единичной нормой, так что строки составляют ортонормированный базис  V. Столбцы матрицы образуют другой ортонормированный базис  V.

Если ортогональное преобразование обратимо (что всегда имеет место, когда V конечномерно), то его обратным является другое ортогональное преобразование, идентичное транспонированию : . ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}=T^{\mathtt {T}}}$

Примеры

Рассмотрим пространство внутреннего продукта со стандартным евклидовым внутренним продуктом и стандартным базисом. Затем матричное преобразование ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

ортогонален. Чтобы увидеть это, рассмотрим

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}&&Te_{2}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle Te_{1},Te_{1}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0\\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end{aligned}}}$

Предыдущий пример можно расширить для построения всех ортогональных преобразований. Например, следующие матрицы определяют ортогональные преобразования на : ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$

Смотрите также

• Геометрическое преобразование
• Неправильное вращение
• Линейное преобразование
• Ортогональная матрица
• Жесткая трансформация
• Унитарное преобразование

Ссылки

1. Роуленд, Тодд. "Ортогональное преобразование". MathWorld . Получено 4 мая 2012 г.