Аналитическая функция

Тип функции в математике

В математике аналитическая функция — это функция , которая локально задана сходящимся степенным рядом . Существуют как действительные аналитические функции , так и комплексные аналитические функции . Функции каждого типа бесконечно дифференцируемы , но комплексные аналитические функции проявляют свойства, которые обычно не выполняются для действительных аналитических функций.

Функция является аналитической тогда и только тогда, когда ее ряд Тейлора относительно сходится к функции в некоторой окрестности для каждого в ее области определения . Это сильнее, чем просто быть бесконечно дифференцируемой в , и, следовательно, иметь хорошо определенный ряд Тейлора; функция Фабиуса представляет собой пример функции, которая бесконечно дифференцируема, но не аналитична. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Определения

Формально функция является действительно аналитической на открытом множестве действительной прямой , если для любого можно записать ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{0}\in D}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

в котором коэффициенты являются действительными числами, а ряд сходится к для в окрестности . ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Альтернативно, действительная аналитическая функция — это бесконечно дифференцируемая функция, такая что ряд Тейлора в любой точке ее области определения ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

сходится к для в окрестности поточечно . ^[a] Множество всех действительных аналитических функций на данном множестве часто обозначается через , или просто через , если подразумевается область определения. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\,\omega }(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\,\omega }}$

Функция , определенная на некотором подмножестве действительной прямой, называется действительно аналитической в ​​точке , если существует окрестность , на которой является действительно аналитической. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Определение комплексной аналитической функции получается путем замены в определениях выше «действительного» на «комплексное» и «действительной прямой» на «комплексную плоскость». Функция является комплексно-аналитической тогда и только тогда, когда она голоморфна , т.е. она комплексно дифференцируема. По этой причине термины «голоморфный» и «аналитический» часто используются взаимозаменяемо для таких функций. ^[1]

Примеры

Типичными примерами аналитических функций являются

• Следующие элементарные функции :
  • Все многочлены : если многочлен имеет степень n , любые члены степени больше n в его разложении в ряд Тейлора должны немедленно исчезнуть до 0, и поэтому этот ряд будет тривиально сходящимся. Более того, каждый многочлен является своим собственным рядом Маклорена .
  • Экспоненциальная функция является аналитической. Любой ряд Тейлора для этой функции сходится не только для x достаточно близких к x ₀ (как в определении), но и для всех значений x (действительных или комплексных).
  • Тригонометрические функции , логарифмы и степенные функции являются аналитическими на любом открытом множестве своей области определения.
• Большинство специальных функций (по крайней мере, в некотором диапазоне комплексной плоскости):
  • гипергеометрические функции
  • Функции Бесселя
  • гамма-функции

Типичные примеры функций, которые не являются аналитическими:

• Функция абсолютного значения , определенная на множестве действительных чисел или комплексных чисел, не является везде аналитической, поскольку она не дифференцируема в точке 0.
• Кусочно-определенные функции (функции, заданные разными формулами в разных областях) обычно не являются аналитическими в точках стыка частей.
• Комплексно сопряженная функция z  → z * не является комплексно аналитической, хотя ее ограничение на действительную прямую является тождественной функцией и, следовательно, действительно аналитической, и она действительно аналитична как функция от до . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Другие неаналитические гладкие функции , и в частности любая гладкая функция с компактным носителем, т.е. , не могут быть аналитическими на . ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Альтернативные характеристики

Следующие условия эквивалентны:

1. ${\displaystyle f}$является действительно аналитическим на открытом множестве . ${\displaystyle D}$
2. Существует комплексное аналитическое расширение до открытого множества, которое содержит . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D}$
3. ${\displaystyle f}$является гладким и для каждого компактного множества существует константа такая, что для каждого неотрицательного целого числа выполняется следующая оценка ^[3] ${\displaystyle K\subset D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!}$$

Комплексные аналитические функции в точности эквивалентны голоморфным функциям и, таким образом, их гораздо легче характеризовать.

Для случая аналитической функции с несколькими переменными (см. ниже) действительную аналитичность можно охарактеризовать с помощью преобразования Фурье–Броса–Ягольницера .

В многомерном случае действительные аналитические функции удовлетворяют прямому обобщению третьей характеристики. ^[4] Пусть будет открытым множеством, и пусть . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$

Тогда является вещественно аналитическим на тогда и только тогда, когда и для каждого компакта существует константа такая, что для каждого мультииндекса справедлива следующая оценка ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}}$

${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha !}$

Свойства аналитических функций

• Суммы, произведения и композиции аналитических функций являются аналитическими.
• Обратная величина аналитической функции, которая нигде не равна нулю, является аналитической, как и обратная величина обратимой аналитической функции, производная которой нигде не равна нулю. (См. также теорему об обращении Лагранжа .)
• Любая аналитическая функция является гладкой , то есть бесконечно дифференцируемой. Обратное неверно для действительных функций; на самом деле, в определенном смысле действительные аналитические функции разрежены по сравнению со всеми действительными бесконечно дифференцируемыми функциями. Для комплексных чисел обратное верно, и на самом деле любая функция, дифференцируемая один раз на открытом множестве, является аналитической на этом множестве (см. «аналитичность и дифференцируемость» ниже).
• Для любого открытого множества множество A (Ω) всех аналитических функций является пространством Фреше относительно равномерной сходимости на компактах. Тот факт, что равномерные пределы на компактах аналитических функций являются аналитическими, является простым следствием теоремы Мореры . Множество всех ограниченных аналитических функций с супремум-нормой является банаховым пространством . ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A_{\infty }(\Omega )}$

Многочлен не может быть равен нулю в слишком большом количестве точек, если только он не является нулевым многочленом (точнее, число нулей не больше степени многочлена). Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо для аналитических функций. Если множество нулей аналитической функции ƒ имеет точку накопления внутри своей области определения , то ƒ равен нулю всюду на связной компоненте, содержащей точку накопления. Другими словами, если ( r _n ) — последовательность различных чисел, такая что ƒ( r _n ) = 0 для всех n , и эта последовательность сходится к точке r в области определения D , то ƒ тождественно равен нулю на связной компоненте D , содержащей r . Это известно как теорема тождества .

Кроме того, если все производные аналитической функции в точке равны нулю, то функция постоянна на соответствующем компоненте связности.

Эти утверждения подразумевают, что хотя аналитические функции имеют больше степеней свободы , чем полиномы, они все равно довольно жесткие.

Аналитичности и дифференцируемости

Как отмечено выше, любая аналитическая функция (действительная или комплексная) бесконечно дифференцируема (также известна как гладкая, или ). (Обратите внимание, что эта дифференцируемость имеет место в смысле действительных переменных; сравните комплексные производные ниже.) Существуют гладкие действительные функции, которые не являются аналитическими: см. неаналитическая гладкая функция . На самом деле таких функций много. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Ситуация совершенно иная, когда мы рассматриваем комплексные аналитические функции и комплексные производные. Можно доказать, что любая комплексная функция, дифференцируемая (в комплексном смысле) в открытом множестве, является аналитической . Следовательно, в комплексном анализе термин аналитическая функция является синонимом голоморфной функции .

Действительные и комплексные аналитические функции

Действительные и комплексные аналитические функции имеют важные различия (это можно заметить даже по их разным отношениям с дифференцируемостью). Аналитичность комплексных функций является более ограничительным свойством, поскольку она имеет более ограничительные необходимые условия, а комплексные аналитические функции имеют большую структуру, чем их действительные аналоги. ^[6]

Согласно теореме Лиувилля , любая ограниченная комплексная аналитическая функция, определенная на всей комплексной плоскости, является постоянной. Соответствующее утверждение для действительных аналитических функций, с заменой комплексной плоскости действительной прямой, очевидно, ложно; это иллюстрируется

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$

Кроме того, если комплексная аналитическая функция определена в открытом шаре вокруг точки x ₀ , ее разложение в степенной ряд в точке x ₀ сходится во всем открытом шаре ( голоморфные функции являются аналитическими ). ​​Это утверждение для действительных аналитических функций (при этом под открытым шаром понимается открытый интервал действительной прямой, а не открытый круг комплексной плоскости) в общем случае неверно; функция из приведенного выше примера дает пример для x ₀  = 0 и шара радиуса, превышающего 1, поскольку степенной ряд 1 − x ² + x ⁴ − x ⁶ ... расходится при | x | ≥ 1.

Любая действительная аналитическая функция на некотором открытом множестве на действительной прямой может быть расширена до комплексной аналитической функции на некотором открытом множестве комплексной плоскости. Однако не каждая действительная аналитическая функция, определенная на всей действительной прямой, может быть расширена до комплексной функции, определенной на всей комплексной плоскости. Функция ƒ( x ), определенная в абзаце выше, является контрпримером, поскольку она не определена для x  = ± i . Это объясняет, почему ряд Тейлора функции ƒ( x ) расходится при | x | > 1, т. е. радиус сходимости равен 1, поскольку комплексированная функция имеет полюс на расстоянии 1 от точки оценки 0 и никаких дополнительных полюсов в открытом круге радиуса 1 вокруг точки оценки.

Аналитические функции многих переменных

Аналитические функции нескольких переменных можно определить с помощью степенных рядов этих переменных (см. степенные ряды ). Аналитические функции нескольких переменных обладают некоторыми из тех же свойств, что и аналитические функции одной переменной. Однако, особенно для сложных аналитических функций, новые и интересные явления проявляются в 2 или более сложных измерениях:

• Нулевые множества комплексных аналитических функций более чем от одной переменной никогда не являются дискретными . Это можно доказать с помощью теоремы Хартогса о расширении .
• Области голоморфности для однозначных функций состоят из произвольных (связных) открытых множеств. Однако в случае нескольких комплексных переменных только некоторые связные открытые множества являются областями голоморфности. Характеристика областей голоморфности приводит к понятию псевдовыпуклости .

Смотрите также

• Уравнения Коши–Римана
• Голоморфная функция
• Теорема Пэли–Винера
• Квазианалитическая функция
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Неаналитическая гладкая функция

Примечания

1. Это подразумевает равномерную сходимость также в (возможно меньшей) окрестности . ${\displaystyle x_{0}}$

1. Черчилль; Браун; Верхей (1948). Комплексные переменные и их применение . McGraw-Hill. стр. 46. ISBN 0-07-010855-2. Функция f комплексной переменной z аналитична в точке z _{0 ,} если ее производная существует не только в точке z 0 , но и в каждой точке z в некоторой окрестности z _{0 . Она} аналитична в области R , если она аналитична в каждой точке из R . Термин голоморфный также используется в литературе для обозначения аналитичности
2. Стрихартц, Роберт С. (1994). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье. Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4. OCLC  28890674.
3. Кранц и Паркс 2002, стр. 15.
4. Комацу, Хикосабуро (1960). «Характеристика действительных аналитических функций». Труды Японской академии . 36 (3): 90–93. doi : 10.3792/pja/1195524081 . ISSN  0021-4280.
5. "Класс Жевре - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2020-08-30 .
6. Кранц и Паркс 2002.

Ссылки

• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I. Graduate Texts in Mathematics 11 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Кранц, Стивен ; Паркс, Гарольд Р. (2002). Учебник по действительным аналитическим функциям (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN 0-8176-4264-1.

Внешние ссылки

• «Аналитическая функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Аналитическая функция». MathWorld .
• Решатель для всех нулей комплексной аналитической функции, лежащих в прямоугольной области Ивана Б. Иванова