Действие Полякова

2D conformal field theory used in string theory

В физике действие Полякова — это действие двумерной конформной теории поля, описывающее мировую поверхность струны в теории струн . Оно было введено Стэнли Дезером и Бруно Зумино и независимо Л. Бринком , П. Ди Веккья и П. С. Хоу в 1976 году ^{[1] [2]} и стало ассоциироваться с Александром Поляковым после того, как он использовал его при квантовании струны в 1981 году. ^[3] Действие гласит:

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma ),}$

где — натяжение струны , — метрика целевого многообразия , — метрика мирового листа, ее обратная величина, — определитель . Сигнатура метрики выбирается таким образом, что времениподобные направления равны +, а пространственноподобные направления равны −. Пространственноподобная координата мирового листа называется , тогда как времениподобная координата мирового листа называется . Это также известно как нелинейная сигма-модель . ^[4] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle h^{ab}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$

Для описания колебаний струны действие Полякова должно быть дополнено действием Лиувилля .

Глобальные симметрии

NB: Здесь симметрия называется локальной или глобальной с точки зрения двумерной теории (на мировом листе). Например, преобразования Лоренца, которые являются локальными симметриями пространства-времени, являются глобальными симметриями теории на мировом листе.

Действие инвариантно относительно пространственно-временных трансляций и бесконечно малых преобразований Лоренца.

1. ${\displaystyle X^{\alpha }\to X^{\alpha }+b^{\alpha },}$
2. ${\displaystyle X^{\alpha }\to X^{\alpha }+\omega _{\ \beta }^{\alpha }X^{\beta },}$

где , а — константа. Это формирует симметрию Пуанкаре целевого многообразия. ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }}$ ${\displaystyle b^{\alpha }}$

Инвариантность относительно (i) следует из того, что действие зависит только от первой производной . Доказательство инвариантности относительно (ii) следующее: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X^{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}'&={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}g_{\mu \nu }\partial _{a}\left(X^{\mu }+\omega _{\ \delta }^{\mu }X^{\delta }\right)\partial _{b}\left(X^{\nu }+\omega _{\ \delta }^{\nu }X^{\delta }\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\omega _{\nu \delta }\partial _{a}X^{\delta }\partial _{b}X^{\nu }\right)+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }+\omega _{\delta \mu }\right)\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right).\end{aligned}}}$

Локальные симметрии

Действие инвариантно относительно диффеоморфизмов мирового листа (или преобразований координат) и преобразований Вейля .

Диффеоморфизмы

Предположим следующее преобразование:

${\displaystyle \sigma ^{\alpha }\rightarrow {\tilde {\sigma }}^{\alpha }\left(\sigma ,\tau \right).}$

Он преобразует метрический тензор следующим образом:

${\displaystyle h^{ab}(\sigma )\rightarrow {\tilde {h}}^{ab}=h^{cd}({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial {\sigma }^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial {\sigma }^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}.}$

Можно увидеть, что:

${\displaystyle {\tilde {h}}^{ab}{\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial \sigma ^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{cd}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial \sigma ^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial \sigma ^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}{\frac {\partial }{\partial \sigma ^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{ab}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }}).}$

Известно, что якобиан этого преобразования определяется выражением

${\displaystyle \mathrm {J} =\operatorname {det} \left({\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{\alpha }}{\partial \sigma ^{\beta }}}\right),}$

что приводит к

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}&=\mathrm {J} \mathrm {d} ^{2}\sigma \\h&=\operatorname {det} \left(h_{ab}\right)\\\Rightarrow {\tilde {h}}&=\mathrm {J} ^{2}h,\end{aligned}}}$

и видно, что

${\displaystyle {\sqrt {-{\tilde {h}}}}\mathrm {d} ^{2}{\sigma }={\sqrt {-h\left({\tilde {\sigma }}\right)}}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}.}$

Подводя итог этому преобразованию и переименованию , мы видим, что действие инвариантно. ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}=\sigma }$

преобразование Вейля

Предположим преобразование Вейля :

${\displaystyle h_{ab}\to {\tilde {h}}_{ab}=\Lambda (\sigma )h_{ab},}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}^{ab}&=\Lambda ^{-1}(\sigma )h^{ab},\\\operatorname {det} \left({\tilde {h}}_{ab}\right)&=\Lambda ^{2}(\sigma )\operatorname {det} (h_{ab}).\end{aligned}}}$

И наконец:

И можно видеть, что действие инвариантно относительно преобразования Вейля . Если мы рассмотрим n -мерные (пространственно) протяженные объекты, действие которых пропорционально их площади/гиперплощади мирового листа, если только n = 1, соответствующее действие Полякова будет содержать другой член, нарушающий симметрию Вейля.

Можно определить тензор энергии-напряжения :

${\displaystyle T^{ab}={\frac {-2}{\sqrt {-h}}}{\frac {\delta S}{\delta h_{ab}}}.}$

Давайте определим:

${\displaystyle {\hat {h}}_{ab}=\exp \left(\phi (\sigma )\right)h_{ab}.}$

Из-за симметрии Вейля действие не зависит от : ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi }}={\frac {\delta S}{\delta {\hat {h}}_{ab}}}{\frac {\delta {\hat {h}}_{ab}}{\delta \phi }}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{ab}\,e^{\phi }\,h^{ab}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{\ a}^{a}\,e^{\phi }=0\Rightarrow T_{\ a}^{a}=0,}$

где мы использовали правило функциональной производной цепи.

Связь с действием Намбу-Гото

Записывая уравнение Эйлера–Лагранжа для метрического тензора, получаем, что ${\displaystyle h^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0.}$

Зная также, что:

${\displaystyle \delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}.}$

Можно записать вариационную производную действия:

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right),}$

где , что приводит к ${\displaystyle G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{ab}&=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0,\\G_{ab}&={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd},\\G&=\operatorname {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Если вспомогательный метрический тензор мирового листа вычисляется из уравнений движения: ${\displaystyle {\sqrt {-h}}}$

${\displaystyle {\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}}$

и подставляем обратно в действие, оно становится действием Намбу–Гото :

${\displaystyle S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}.}$

Однако действие Полякова легче квантовать, поскольку оно линейно .

Уравнения движения

Используя диффеоморфизмы и преобразование Вейля , с целевым пространством Минковского можно выполнить физически незначимое преобразование , записав таким образом действие в конформной калибровке : ${\displaystyle {\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-\eta }}\eta ^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \left({\dot {X}}^{2}-X'^{2}\right),}$

где . ${\displaystyle \eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$

Имея в виду, что можно вывести ограничения: ${\displaystyle T_{ab}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{01}&=T_{10}={\dot {X}}X'=0,\\T_{00}&=T_{11}={\frac {1}{2}}\left({\dot {X}}^{2}+X'^{2}\right)=0.\end{aligned}}}$

Подставляя , получаем ${\displaystyle X^{\mu }\to X^{\mu }+\delta X^{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {S}}&=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}\delta X_{\mu }\\&=-T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }\delta X_{\mu }+\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =\pi }-\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =0}\\&=0.\end{aligned}}}$

И следовательно

${\displaystyle \square X^{\mu }=\eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }=0.}$

Граничные условия для удовлетворения второй части вариации действия следующие.

• Закрытые струны:

  Периодические граничные условия : ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma ).}$

• Открытые струны:
  1. Граничные условия Неймана : ${\displaystyle \partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0.}$
  2. Граничные условия Дирихле : ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }.}$

Работая в координатах светового конуса , мы можем переписать уравнения движения как ${\displaystyle \xi ^{\pm }=\tau \pm \sigma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{+}\partial _{-}X^{\mu }&=0,\\(\partial _{+}X)^{2}=(\partial _{-}X)^{2}&=0.\end{aligned}}}$

Таким образом, решение можно записать как , а тензор энергии-импульса теперь диагонален. Путем расширения решения по Фурье и наложения канонических коммутационных соотношений на коэффициенты применение второго уравнения движения мотивирует определение операторов Вирасоро и приводит к ограничениям Вирасоро , которые исчезают при воздействии на физические состояния. ${\displaystyle X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})}$

Смотрите также

• D-брана
• Действие Эйнштейна–Гильберта

Ссылки

1. Дезер, С.; Зумино , Б. (1976). «Полное действие для вращающейся струны». Phys. Lett. B. 65 ( 4): 369–373. doi :10.1016/0370-2693(76)90245-8.
2. Бринк, Л.; Ди Веккиа, П.; Хау, П. (1976). «Локально суперсимметричное и репараметризационно-инвариантное действие для спиннинговой струны». Physics Letters B. 65 ( 5): 471–474. doi :10.1016/0370-2693(76)90445-7.
3. Поляков, AM (1981). «Квантовая геометрия бозонных струн». Physics Letters B. 103 ( 3): 207–210. doi :10.1016/0370-2693(81)90743-7.
4. Фридан, Д. (1980). «Нелинейные модели в 2+ε измерениях» (PDF) . Physical Review Letters . 45 (13): 1057–1060. Bibcode : 1980PhRvL..45.1057F. doi : 10.1103/PhysRevLett.45.1057.

Дальнейшее чтение

• Полчински (ноябрь 1994 г.). Что такое теория струн , NSF-ITP-94-97, 153 стр., arXiv:hep-th/9411028v1.
• Оогури, Инь (февраль 1997 г.). Лекции TASI по теории возмущений струн , UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80 стр., arXiv:hep-th/9612254v3.