Геометрическое групповое действие

В математике , особенно в геометрической теории групп , действие геометрической группы — это определенный тип действия дискретной группы на метрическое пространство .

Определение

В геометрической теории групп геометрия — это любое собственное геодезическое метрическое пространство . Действие конечно порожденной группы G на геометрии X называется геометрическим , если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждый элемент G действует как изометрия X .
2. Действие кокомпактно , т. е. фактор-пространство X / G является компактом .
3. Действие является собственно разрывным , причем каждая точка имеет конечный стабилизатор .

Уникальность

Если группа G действует геометрически на две геометрии X и Y , то X и Y квазиизометричны . Поскольку любая группа действует геометрически на своем собственном графе Кэли , любое пространство, на котором G действует геометрически , квазиизометрично графу Кэли группы G.

Примеры

Гипотеза Кэннона утверждает, что любая гиперболическая группа с 2-сферой на бесконечности действует геометрически в гиперболическом 3-пространстве.

Рекомендации

• Кэннон, Джеймс В. (2002). «Геометрическая теория групп». Справочник по геометрической топологии . Северная Голландия. стр. 261–305. ISBN 0-444-82432-4.