Действие группы Лжи

В дифференциальной геометрии действие группы Ли — это групповое действие, адаптированное к гладкой обстановке: — группа Ли , — гладкое многообразие , а отображение действия дифференцируемо . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

Определение

Пусть будет (левым) групповым действием группы Ли на гладком многообразии ; оно называется действием группы Ли (или гладким действием), если отображение дифференцируемо. Эквивалентно, действие группы Ли на состоит из гомоморфизма группы Ли . Гладкое многообразие, снабженное действием группы Ли, также называется -многообразием . ${\displaystyle \sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\to \mathrm {Diff} (M)}$ ${\displaystyle G}$

Характеристики

Тот факт, что карта действий является гладкой, имеет несколько непосредственных последствий: ${\displaystyle \sigma }$

• стабилизаторы группового действия замкнуты, поэтому являются подгруппами Ли ${\displaystyle G_{x}\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$
• Орбиты действия группы являются погруженными подмногообразиями . ${\displaystyle G\cdot x\subseteq M}$

Забыв о гладкой структуре, действие группы Ли является частным случаем непрерывного группового действия .

Примеры

Для каждой группы Ли существуют следующие действия группы Ли: ${\displaystyle G}$

• тривиальное действие на любом многообразии; ${\displaystyle G}$
• действие на себя посредством левого умножения, правого умножения или сопряжения ; ${\displaystyle G}$
• действие любой подгруппы Ли на посредством левого умножения, правого умножения или сопряжения; ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$

• присоединенное действие на его алгебре Ли . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Другие примеры действий группы Ли включают в себя:

• действие на заданное потоком любого полного векторного поля ; ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$
• действия полной линейной группы и ее подгрупп Ли на умножение матриц; ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G\subseteq \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• в более общем смысле, любое представление группы Ли в векторном пространстве;
• любое действие гамильтоновой группы на симплектическом многообразии ;
• транзитивное действие, лежащее в основе любого однородного пространства ;
• в более общем смысле, групповое действие, лежащее в основе любого главного пучка .

Действие инфинитезимальной алгебры Ли

Следуя духу соответствия группы Ли-алгебры Ли , действия группы Ли также могут изучаться с точки зрения бесконечно малых. Действительно, любое действие группы Ли индуцирует действие бесконечно малой алгебры Ли на , т.е. гомоморфизм алгебры Ли . Интуитивно это получается путем дифференцирования в единице гомоморфизма группы Ли и интерпретации набора векторных полей как алгебры Ли (бесконечномерной) группы Ли . ${\displaystyle \sigma :G\times M\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle G\to \mathrm {Diff} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {Diff} (M)}$

Точнее, фиксируя любой , отображение орбиты дифференцируемо и можно вычислить его дифференциал в тождестве . Если , то его образ при является касательным вектором в , а варьируя, получаем векторное поле на . Минус этого векторного поля, обозначаемый , также называется фундаментальным векторным полем, связанным с (знак минус гарантирует, что является гомоморфизмом алгебры Ли). ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x}$ ${\displaystyle e\in G}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} _{e}\sigma _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M),X\mapsto X^{\#}}$

Наоборот, по теореме Ли–Пале любое абстрактное инфинитезимальное действие (конечномерной) алгебры Ли на компактном многообразии может быть интегрировано в действие группы Ли. ^[1]

Характеристики

Инфинитезимальное действие алгебры Ли инъективно тогда и только тогда, когда соответствующее глобальное действие группы Ли свободно. Это следует из того факта, что ядро ​​является алгеброй Ли стабилизатора . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} _{e}\sigma _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to T_{x}M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{x}\subseteq G}$

С другой стороны, в общем случае не сюръективно. Например, пусть будет главным -расслоением: образ бесконечно малого действия на самом деле равен вертикальному подрасслоению . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T^{\pi }P\subset TP}$

Правильные действия

Важным (и общим) классом действий групп Ли является класс собственных действий. Действительно, такое топологическое условие подразумевает, что

• стабилизаторы компактны​ ${\displaystyle G_{x}\subseteq G}$
• орбиты являются вложенными подмногообразиями ${\displaystyle G\cdot x\subseteq M}$
• пространство орбит является Хаусдорфовым ${\displaystyle M/G}$

В общем случае, если группа Ли компактна, любое гладкое -действие автоматически является собственным. Пример собственного действия не обязательно компактной группы Ли дается действием подгруппы Ли на . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$

Структура орбитального пространства

При наличии действия группы Ли на , пространство орбит в общем случае не допускает многообразной структуры. Однако, если действие свободно и правильно, то имеет единственную гладкую структуру, такую, что проекция является погружением (фактически, является главным -расслоением). ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle M\to M/G}$ ${\displaystyle M\to M/G}$ ${\displaystyle G}$

Тот факт, что является Хаусдорфовым, зависит только от правильности действия (как обсуждалось выше); остальная часть утверждения требует свободы и является следствием теоремы о срезе . Если условие «свободного действия» (т. е. «наличие нулевых стабилизаторов») ослабляется до «наличие конечных стабилизаторов», вместо этого становится орбифолдом (или фактор-стеком ). ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle M/G}$

Эквивариантные когомологии

Применение этого принципа — конструкция Бореля из алгебраической топологии . Предполагая, что компактно, обозначим универсальное расслоение , которое можно считать многообразием, поскольку компактно, и пусть действует на диагонально. Действие свободно, поскольку оно свободно на первом множителе, и является собственным, поскольку компактно; таким образом, можно сформировать фактор-многообразие и определить эквивариантные когомологии M как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle EG\times M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{G}=(EG\times M)/G}$

${\displaystyle H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})}$,

где правая часть обозначает когомологии де Рама многообразия . ${\displaystyle M_{G}}$

Смотрите также

• Действие гамильтоновой группы
• Эквивариантная дифференциальная форма
• Представление изотропии

Примечания

1. Пале, Ричард С. (1957). «Глобальная формулировка теории Ли групп преобразований». Мемуары Американского математического общества (22): 0. doi :10.1090/memo/0022. ISSN  0065-9266.
2. Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4419-9982-5. OCLC  808682771.

Ссылки

• Мишель Оден, Действия тора на симплектических многообразиях , Биркхаузер, 2004
• Джон Ли, Введение в гладкие многообразия , глава 9, ISBN 978-1-4419-9981-8 
• Фрэнк Уорнер, Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , глава 3, ISBN 978-0-387-90894-6