В математике деконволюция является обратной операцией свертки . Обе операции используются в обработке сигналов и обработке изображений . Например, может оказаться возможным восстановить исходный сигнал после фильтрации (свертки), используя метод деконволюции с определенной степенью точности. [ 1] Из-за погрешности измерения записанного сигнала или изображения можно продемонстрировать, что чем хуже отношение сигнал/шум (SNR), тем хуже будет обращение фильтра; следовательно, инвертирование фильтра не всегда является хорошим решением, поскольку ошибка усиливается. Деконволюция предлагает решение этой проблемы.
Основы деконволюции и анализа временных рядов были в значительной степени заложены Норбертом Винером из Массачусетского технологического института в его книге «Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных рядов» (1949). [2] Книга была основана на работе Винера, проделанной во время Второй мировой войны, но в то время засекреченной. Некоторые из ранних попыток применить эти теории были в областях прогнозирования погоды и экономики .
В общем случае целью деконволюции является нахождение решения f уравнения свертки вида:
Обычно h — это некоторый записанный сигнал, а f — это некоторый сигнал, который мы хотим восстановить, но который был свёрнут с фильтром или функцией искажения g до того, как мы его записали. Обычно h — это искажённая версия f , и форму f нельзя легко распознать глазом или более простыми операциями во временной области. Функция g представляет собой импульсную характеристику прибора или движущей силы, которая была применена к физической системе. Если мы знаем g или, по крайней мере, знаем форму g , то мы можем выполнить детерминированную деконволюцию. Однако, если мы не знаем g заранее, то нам нужно оценить её. Это можно сделать с помощью методов статистической оценки или построения физических принципов базовой системы, таких как уравнения электрической цепи или уравнения диффузии.
Существует несколько методов деконволюции в зависимости от выбора погрешности измерения и параметров деконволюции:
Когда погрешность измерения очень мала (идеальный случай), деконволюция сворачивается в фильтр, обращающийся вспять. Этот вид деконволюции может быть выполнен в области Лапласа. Вычисляя преобразование Фурье записанного сигнала h и функцию отклика системы g , вы получаете H и G , где G — передаточная функция . Используя теорему о свертке ,
где F — предполагаемое преобразование Фурье функции f . Наконец, обратное преобразование Фурье функции F используется для нахождения предполагаемого деконволюционного сигнала f . Обратите внимание, что G находится в знаменателе и может усиливать элементы модели ошибок, если они присутствуют.
В физических измерениях ситуация обычно ближе к
В этом случае ε — это шум , который вошел в наш записанный сигнал. Если предполагается, что зашумленный сигнал или изображение не имеет шума, статистическая оценка g будет неверной. В свою очередь, оценка ƒ также будет неверной. Чем ниже отношение сигнал/шум , тем хуже будет оценка деконволюционного сигнала. Вот почему обратная фильтрация сигнала (как в «сырой деконволюции» выше) обычно не является хорошим решением. Однако, если существуют хотя бы некоторые знания о типе шума в данных (например, белый шум ), оценку ƒ можно улучшить с помощью таких методов, как деконволюция Винера .
Концепция деконволюции нашла раннее применение в сейсмологии отражений . В 1950 году Эндерс Робинсон был аспирантом Массачусетского технологического института . Он работал с другими учеными Массачусетского технологического института, такими как Норберт Винер , Норман Левинсон и экономист Пол Самуэльсон , над разработкой «сверточной модели» сейсмограммы отражений . Эта модель предполагает, что записанная сейсмограмма s ( t ) является сверткой функции отражательной способности Земли e ( t ) и сейсмического импульса w ( t ) от точечного источника , где t представляет собой время записи. Таким образом, наше уравнение свертки имеет вид
Сейсмолог интересуется e , который содержит информацию о структуре Земли. По теореме о свертке это уравнение может быть преобразовано Фурье к
в частотной области , где - переменная частоты. Предполагая, что отражательная способность белая, мы можем предположить, что спектр мощности отражательной способности постоянен, и что спектр мощности сейсмограммы - это спектр вейвлета, умноженный на эту константу. Таким образом,
Если предположить, что вейвлет имеет минимальную фазу , мы можем восстановить его, вычислив минимальный фазовый эквивалент спектра мощности, который мы только что нашли. Отражательную способность можно восстановить, разработав и применив фильтр Винера , который преобразует оцененный вейвлет в дельта-функцию Дирака (т. е. пик). Результат можно рассматривать как ряд масштабированных, смещенных дельта-функций (хотя это не является математически строгим):
где N — число событий отражения, — коэффициенты отражения , — время отражения каждого события, — дельта-функция Дирака .
На практике, поскольку мы имеем дело с шумными, конечной полосой пропускания , конечной длиной, дискретно отобранными наборами данных, вышеприведенная процедура дает только приближение фильтра, необходимого для деконволюции данных. Однако, формулируя задачу как решение матрицы Теплица и используя рекурсию Левинсона , мы можем относительно быстро оценить фильтр с наименьшей возможной среднеквадратической ошибкой . Мы также можем выполнить деконволюцию непосредственно в частотной области и получить аналогичные результаты. Этот метод тесно связан с линейным прогнозированием .
В оптике и визуализации термин «деконволюция» используется специально для обозначения процесса обращения оптического искажения , которое происходит в оптическом микроскопе , электронном микроскопе , телескопе или другом инструменте для получения изображений, что позволяет создавать более четкие изображения. Обычно это делается в цифровой области с помощью программного алгоритма , как часть набора методов обработки изображений микроскопа . Деконволюция также практична для повышения резкости изображений, которые страдают от быстрого движения или дрожания во время захвата. Ранние изображения космического телескопа Хаббл были искажены неисправным зеркалом и были улучшены путем деконволюции.
Обычный метод заключается в предположении, что оптический путь через инструмент является оптически идеальным, свернутым с функцией рассеяния точки (ФРТ), то есть математической функцией , которая описывает искажение в терминах пути, который теоретический точечный источник света (или других волн) проходит через инструмент. [3] Обычно такой точечный источник вносит небольшую область размытости в конечное изображение. Если эту функцию можно определить, то это вопрос вычисления ее обратной или дополнительной функции и свертки полученного изображения с ней. Результатом является исходное неискаженное изображение.
На практике найти истинную PSF невозможно, и обычно используется ее приближение, теоретически рассчитанное [4] или основанное на некоторой экспериментальной оценке с использованием известных зондов. Реальная оптика также может иметь разные PSF в разных фокальных и пространственных положениях, и PSF может быть нелинейной. Точность приближения PSF будет диктовать конечный результат. Для получения лучших результатов могут использоваться разные алгоритмы, ценой большей вычислительной интенсивности. Поскольку исходная свертка отбрасывает данные, некоторые алгоритмы используют дополнительные данные, полученные в близлежащих фокальных точках, чтобы восполнить часть потерянной информации. Регуляризация в итеративных алгоритмах (как в алгоритмах максимизации ожидания ) может применяться для избежания нереалистичных решений.
Когда PSF неизвестна, ее можно вывести, систематически пробуя различные возможные PSF и оценивая, улучшилось ли изображение. Эта процедура называется слепой деконволюцией . [3] Слепая деконволюция — это хорошо зарекомендовавший себя метод восстановления изображений в астрономии , где точечная природа сфотографированных объектов раскрывает PSF, тем самым делая ее более осуществимой. Она также используется во флуоресцентной микроскопии для восстановления изображений и во флуоресцентной спектральной визуализации для спектрального разделения нескольких неизвестных флуорофоров . Наиболее распространенным итеративным алгоритмом для этой цели является алгоритм деконволюции Ричардсона–Люси ; деконволюция Винера (и приближения) являются наиболее распространенными неитеративными алгоритмами.
Для некоторых конкретных систем визуализации, таких как лазерные импульсные терагерцовые системы, PSF можно смоделировать математически. [6] В результате, как показано на рисунке, деконволюция смоделированной PSF и терагерцового изображения может дать представление терагерцового изображения с более высоким разрешением.
При выполнении синтеза изображения в радиоинтерферометрии , специфическом виде радиоастрономии , один шаг состоит из деконволюции полученного изображения с помощью «грязного луча», что является другим названием функции рассеяния точки . Обычно используемый метод — алгоритм CLEAN .
Типичное применение деконволюции — в кинетике трассеров. Например, при измерении концентрации гормона в крови скорость его секреции можно оценить с помощью деконволюции. Другим примером является оценка концентрации глюкозы в крови по измеренной интерстициальной глюкозе, которая является искаженной версией во времени и амплитуде реальной глюкозы в крови. [7]
Деконволюция широко применялась к спектрам поглощения . [8] Можно использовать алгоритм Ван Циттерта (статья на немецком языке). [9]
Деконволюция сопоставляется с делением в области Фурье . Это позволяет легко применять деконволюцию к экспериментальным данным, которые подвергаются преобразованию Фурье . Примером является ЯМР-спектроскопия , где данные регистрируются во временной области, но анализируются в частотной области. Деление данных во временной области экспоненциальной функцией приводит к уменьшению ширины лоренцевских линий в частотной области.
