Деконволюция

В математике деконволюция является обратной сверткой . _ _ Обе операции используются при обработке сигналов и обработке изображений . Например, возможно восстановить исходный сигнал после фильтра (свертки), используя метод деконволюции с определенной степенью точности. ^[1] Из-за ошибки измерения записанного сигнала или изображения можно продемонстрировать, что чем хуже отношение сигнал/шум (SNR), тем хуже будет реверсирование фильтра; следовательно, инвертирование фильтра не всегда является хорошим решением, поскольку ошибка усиливается. Деконволюция предлагает решение этой проблемы.

Основы деконволюции и анализа временных рядов были в значительной степени заложены Норбертом Винером из Массачусетского технологического института в его книге « Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных рядов» (1949). ^[2] Книга основана на работе Винера, проделанной во время Второй мировой войны , но в то время она была засекречена. Некоторые из первых попыток применить эти теории были в области прогнозирования погоды и экономики .

Описание

В общем, цель деконволюции состоит в том, чтобы найти решение f уравнения свертки вида:

f*g=h\,

Обычно h — это некоторый записанный сигнал, а f — это некоторый сигнал, который мы хотим восстановить, но который был свернут с помощью фильтра или функции искажения g перед тем, как мы его записали. Обычно h представляет собой искаженную версию f , и форму f нелегко распознать на глаз или при более простых операциях во временной области. Функция g представляет собой импульсную характеристику инструмента или движущей силы, приложенной к физической системе. Если мы знаем g или, по крайней мере, знаем форму g , то мы можем выполнить детерминированную деконволюцию. Однако если мы не знаем g заранее, нам необходимо его оценить. Это можно сделать с помощью методов статистической оценки или построения физических принципов базовой системы, таких как уравнения электрических цепей или уравнения диффузии.

Существует несколько методов деконволюции, в зависимости от выбора погрешности измерения и параметров деконволюции:

Необработанная деконволюция

Когда ошибка измерения очень мала (идеальный случай), деконволюция превращается в обращение фильтра. Этот вид деконволюции можно выполнить в области Лапласа. Вычислив преобразование Фурье записанного сигнала h и функцию отклика системы g , вы получите H и G , где G является передаточной функцией . Используя теорему о свертке ,

F=H/G\,

где F — предполагаемое преобразование Фурье f . Наконец, обратное преобразование Фурье функции F используется для нахождения оцененного сигнала f , подвергнутого деконволюции . Обратите внимание, что G находится в знаменателе и может усилить элементы модели ошибок, если они присутствуют.

Деконволюция с шумом

В физических измерениях ситуация обычно ближе к

(f*g)+\varepsilon =h\,

В данном случае ε — это шум , попавший в наш записанный сигнал. Если зашумленный сигнал или изображение предполагается бесшумным, статистическая оценка g будет неверной. В свою очередь, оценка ƒ также будет неверной. Чем ниже отношение сигнал/шум , тем хуже будет оценка деконволюционного сигнала. Именно по этой причине обратная фильтрация сигнала (как в случае с «необработанной деконволюцией» выше) обычно не является хорошим решением. Однако если существуют хотя бы некоторые знания о типе шума в данных (например, белый шум ), оценку ƒ можно улучшить с помощью таких методов, как деконволюция Винера .

Приложения

Сейсмология

Концепция деконволюции получила раннее применение в сейсмологии отраженных волн . В 1950 году Эндерс Робинсон был аспирантом Массачусетского технологического института . Он работал с другими сотрудниками Массачусетского технологического института, такими как Норберт Винер , Норман Левинсон и экономист Пол Самуэльсон , над разработкой «сверточной модели» сейсмограммы отражения . Эта модель предполагает, что записанная сейсмограмма s ( t ) представляет собой свертку функции отражения Земли e ( t ) и сейсмического вейвлета w ( t ) от точечного источника , где t представляет время записи. Таким образом, наше уравнение свертки имеет вид

s(t)=(e*w)(t).\,

Сейсмолога интересует e , содержащее информацию о строении Земли. По теореме о свертке это уравнение можно преобразовать Фурье к

{\ displaystyle S (\ омега) = E (\ омега) W (\ омега) \,}

в частотной области , где – частотная переменная. Предполагая, что отражательная способность белая, мы можем предположить, что спектр мощности отражательной способности постоянен, и что спектр мощности сейсмограммы представляет собой спектр вейвлета, умноженный на эту константу. Таким образом, ${\ displaystyle \ омега }$

|S(\omega)|\approx k|W(\omega)|.\,

Если мы предположим, что вейвлет имеет минимальную фазу , мы можем восстановить его, вычислив минимальный фазовый эквивалент спектра мощности, который мы только что нашли. Отражательная способность может быть восстановлена путем разработки и применения фильтра Винера , который преобразует оцененный вейвлет в дельта-функцию Дирака (т. е. всплеск). Результат можно рассматривать как серию масштабированных, сдвинутых дельта-функций (хотя это не является математически строгим):

{\ displaystyle e (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} r_ {i} \ delta (t- \ tau _ {i}),}

где N — количество событий отражения, — коэффициенты отражения , — время отражения каждого события, — дельта - функция Дирака . $r_{i}$ $т-\тау _{я}$ $\delta$

На практике, поскольку мы имеем дело с зашумленными наборами данных с конечной полосой пропускания и конечной длиной, дискретно выбранными , описанная выше процедура дает лишь аппроксимацию фильтра, необходимого для деконволюции данных. Однако, сформулировав задачу как решение матрицы Теплица и используя рекурсию Левинсона , мы можем относительно быстро оценить фильтр с наименьшей возможной среднеквадратической ошибкой . Мы также можем выполнить деконволюцию непосредственно в частотной области и получить аналогичные результаты. Этот метод тесно связан с линейным прогнозированием .

Оптика и другая визуализация

В оптике и визуализации термин «деконволюция» специально используется для обозначения процесса обращения оптического искажения , которое происходит в оптическом микроскопе , электронном микроскопе , телескопе или другом инструменте визуализации, создавая таким образом более четкие изображения. Обычно это делается в цифровой области с помощью программного алгоритма как часть набора методов обработки изображений микроскопа . Деконволюция также полезна для повышения резкости изображений, которые страдают от быстрого движения или тряски во время съемки. Ранние изображения космического телескопа Хаббл были искажены дефектным зеркалом и были повышены за счет деконволюции.

Обычный метод состоит в том, чтобы предположить, что оптический путь через прибор оптически идеален и свернут с функцией рассеяния точки (PSF), то есть математической функцией , которая описывает искажение с точки зрения пути теоретического точечного источника света (или другие волны) проходят через инструмент. ^[3] Обычно такой точечный источник вносит небольшую нечеткость в итоговое изображение. Если эту функцию можно определить, тогда речь идет о вычислении ее обратной или дополнительной функции и свертке с ней полученного изображения. В результате получается оригинальное, неискаженное изображение.

На практике найти истинную PSF невозможно, и обычно используется ее аппроксимация, теоретически рассчитанная ^[4] или основанная на некоторой экспериментальной оценке с использованием известных зондов. Реальная оптика также может иметь разные PSF в разных фокусных и пространственных положениях, и PSF может быть нелинейным. Точность аппроксимации PSF будет определять конечный результат. Для получения лучших результатов можно использовать различные алгоритмы ценой увеличения вычислительных затрат. Поскольку исходная свертка отбрасывает данные, некоторые алгоритмы используют дополнительные данные, полученные в близлежащих точках фокусировки, чтобы восполнить часть потерянной информации. Регуляризацию в итерационных алгоритмах (например, в алгоритмах максимизации ожидания ) можно применять, чтобы избежать нереалистичных решений.

Когда PSF неизвестен, его можно определить, систематически пробуя различные возможные PSF и оценивая, улучшилось ли изображение. Эта процедура называется слепой деконволюцией . ^[3] Слепая деконволюция — это хорошо зарекомендовавший себя метод восстановления изображений в астрономии , при котором точечная природа сфотографированных объектов обнажает PSF, что делает его более осуществимым. Он также используется во флуоресцентной микроскопии для восстановления изображений и в спектральной визуализации флуоресценции для спектрального разделения множества неизвестных флуорофоров . Наиболее распространенным итеративным алгоритмом для этой цели является алгоритм деконволюции Ричардсона-Люси ; Винеровская деконволюция (и аппроксимации) являются наиболее распространенными неитерационными алгоритмами.

Для некоторых конкретных систем визуализации, таких как лазерно-импульсные терагерцовые системы, PSF можно смоделировать математически. ^[6] В результате, как показано на рисунке, деконволюция смоделированного PSF и терагерцового изображения может дать представление терагерцового изображения с более высоким разрешением.

Радиоастрономия

При выполнении синтеза изображений в радиоинтерферометрии , особом виде радиоастрономии , один шаг состоит из деконволюции полученного изображения с помощью «грязного луча», что является другим названием функции рассеяния точки . Часто используемый метод — алгоритм CLEAN .

Биология, физиология и медицинские приборы

Типичное использование деконволюции - в кинетике индикаторов. Например, при измерении концентрации гормона в крови скорость его секреции можно оценить методом деконволюции. Другим примером является оценка концентрации глюкозы в крови на основе измеренного уровня интерстициальной глюкозы, которая является искаженной по времени и амплитуде версией реальной глюкозы в крови. ^[7]

Спектры поглощения

Деконволюция широко применялась к спектрам поглощения . ^[8] Можно использовать алгоритм Ван Циттерта (статья на немецком языке). ^[9]

Аспекты преобразования Фурье

Деконволюция соответствует делению в ко-области Фурье . Это позволяет легко применять деконволюцию к экспериментальным данным, которые подвергаются преобразованию Фурье . Примером является ЯМР-спектроскопия , где данные записываются во временной области, но анализируются в частотной области. Деление данных временной области экспоненциальной функцией приводит к уменьшению ширины лоренцевых линий в частотной области.