В математике делитель целого числа, также называемый множителем , представляет собой целое число , которое можно умножить на некоторое целое число, чтобы получить [1] В этом случае также говорят, что оно кратно Целое число делится или делится нацело на другое целое число если является делителем ; это подразумевает деление без остатка.
Определение
Целое число делится на ненулевое целое число, если существует целое число такое, что это записывается как
Это можно прочитать так: делит является делителем является множителем или кратным. Если не делит , то используется обозначение [2] [3]
Существует два соглашения, различающиеся тем, разрешено ли равняться нулю:
С соглашением без дополнительных ограничений для каждого целого числа [2] [3]
Согласно соглашению, которое должно быть ненулевым, для каждого ненулевого целого числа [4] [5]
Общий
Делители могут быть как отрицательными , так и положительными, хотя часто этот термин ограничивается положительными делителями. Например, существует шесть делителей числа 4; это 1, 2, 4, -1, -2 и -4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).
1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными , а целые числа, не делящиеся на 2, — нечетными .
1, −1 и известны как тривиальные делители . Делитель, который не является тривиальным делителем, известен как нетривиальный делитель (или строгий делитель [6] ). Ненулевое целое число хотя бы с одним нетривиальным делителем называется составным числом , а единицы -1 и 1 и простые числа не имеют нетривиальных делителей.
Существуют правила делимости , которые позволяют по цифрам числа узнавать определенные делители числа.
Примеры
График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Простые числа имеют ровно 2 делителя, а составные числа выделены жирным шрифтом.
7 является делителем 42, потому что так мы можем сказать. Можно также сказать, что 42 делится на 7, 42 кратно 7 , 7 делит 42 или 7 делит 42.
Нетривиальными делителями числа 6 являются 2, −2, 3, −3.
Положительный делитель, отличный от, называетсясобственный делитель илиаликвотная часть числа, которое не делится поровну, но оставляет остаток, иногда называют аликвотой.значительная часть
Целое число , единственный собственный делитель которого равен 1, называется простым числом . Другими словами, простое число — это целое положительное число, имеющее ровно два положительных делителя: 1 и само себя.
Любой положительный делитель является произведением простых делителей , возведенных в некоторую степень. Это следствие основной теоремы арифметики .
Число называется совершенным , если оно равно сумме своих собственных делителей, недостаточным , если сумма его собственных делителей меньше, и избыточным , если эта сумма превышает
Общее количество положительных делителей является мультипликативной функцией, означающей, что когда два числа и являются относительно простыми , то, например, ; восемь делителей числа 42 — это 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако количество положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если эти два числа имеют общий делитель, то это может быть не так. верно, что сумма положительных делителей является еще одной мультипликативной функцией (например , ). Обе эти функции являются примерами функций делителей .