stringtranslate.com

Делитель

Делители числа 10, проиллюстрированные палочками Кюизенера : 1, 2, 5 и 10

В математике делителем целого числа , также называемым множителем , является целое число , которое можно умножить на некоторое целое число, чтобы получить [ 1]. В этом случае также говорят, что является кратным Целое число делится или делится без остатка на другое целое число, если является делителем ; это означает, что деление на не дает остатка.

Определение

Целое число делится на ненулевое целое число, если существует целое число такое, что Это записывается как

Это можно прочитать так: делит является делителем является множителем или кратно Если не делит, то запись будет [2] [3]

Существуют два соглашения, различающиеся тем, допускается ли нулевое значение:

Общий

Делители могут быть как отрицательными, так и положительными, хотя часто этот термин ограничивается положительными делителями. Например, существует шесть делителей числа 4: 1, 2, 4, −1, −2 и −4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).

1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными , а целые числа, не делящиеся на 2, называются нечетными .

1, −1 и называются тривиальными делителями Делитель , который не является тривиальным делителем, называется нетривиальным делителем (или строгим делителем [6] ). Ненулевое целое число с хотя бы одним нетривиальным делителем называется составным числом , в то время как единицы −1 и 1 и простые числа не имеют нетривиальных делителей.

Существуют правила делимости , которые позволяют распознавать определенные делители числа по его цифрам.

Примеры

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Простые числа имеют ровно 2 делителя, а сильно составные числа выделены жирным шрифтом.

Дополнительные понятия и факты

Вот несколько элементарных правил:

Если и то [b] Это называется леммой Евклида .

Если — простое число и тогда или

Положительный делитель, отличный от , называетсяправильный делитель илиаликвотная часть (например, собственные делители числа 6 — 1, 2 и 3). Число, которое не делится нацело, но оставляет остаток, иногда называюталиквотная часть

Целое число, единственным собственным делителем которого является 1, называется простым числом . Эквивалентно, простое число — это положительное целое число, которое имеет ровно два положительных делителя: 1 и само себя.

Любой положительный делитель является произведением простых делителей , возведенных в некоторую степень. Это следствие основной теоремы арифметики .

Число называется совершенным , если оно равно сумме своих собственных делителей, недостаточным , если сумма его собственных делителей меньше , и избыточным, если эта сумма превышает.

Общее количество положительных делителей является мультипликативной функцией , то есть когда два числа и являются взаимно простыми , то Например, ; восемь делителей числа 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако количество положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа и имеют общий делитель, то может быть неверным, что Сумма положительных делителей является другой мультипликативной функцией (например, ). Обе эти функции являются примерами функций делителей .

Если разложение на простые множители задано как

тогда число положительных делителей равно

и каждый из делителей имеет вид

где для каждого

Для каждого натурального

Также, [7]

где — константа Эйлера–Маскерони . Одной из интерпретаций этого результата является то, что случайно выбранное положительное целое число n имеет среднее количество делителей около Однако это результат вкладов чисел с «аномально большим количеством» делителей .

В абстрактной алгебре

Теория колец

Решетка деления

В определениях, которые допускают, чтобы делитель был равен 0, отношение делимости превращает множество неотрицательных целых чисел в частично упорядоченное множество , которое является полной дистрибутивной решеткой . Наибольший элемент этой решетки равен 0, а наименьший — 1. Операция пересечения задается наибольшим общим делителем , а операция соединения — наименьшим общим кратным . Эта решетка изоморфна двойственной решетке подгрупп бесконечной циклической группы Z.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Аналогично,
  2. ^ обозначает наибольший общий делитель .

Цитаты

  1. ^ Тантон 2005, стр. 185
  2. ^ ab Hardy & Wright 1960, стр. 1
  3. ^ ab Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, стр. 4
  4. ^ Симс 1984, стр. 42
  5. ^ Дурбин (2009), стр. 57, Глава III Раздел 10
  6. ^ «FoCaLiZe и Dedukti на страже совместимости доказательств» Рафаэля Кодлерье и Катрин Дюбуа (PDF) .
  7. ^ Харди и Райт 1960, стр. 264, Теорема 320

Ссылки