Дельтаэдр — это многогранник, все грани которого представляют собой равносторонние треугольники . Дельтаэдр назван Мартином Канди в честь греческой заглавной буквы дельта , напоминающей треугольную форму Δ. [1] Дельтаэдр можно классифицировать по свойству выпуклости . Существует восемь выпуклых дельтаэдров, которые можно использовать в приложениях химии, таких как теория многогранных скелетных электронных пар и химические соединения . Исключение свойства выпуклости оставляет результаты в бесконечном количестве дельтаэдров вместе с распознаванием его подклассов.
Спирально-удлиненная квадратная бипирамида и правильный икосаэдр строятся путем присоединения двух пирамид к квадратной антипризме или пятиугольной антипризме соответственно таким образом, что они имеют шестнадцать и двадцать треугольных граней.
триаугментированная треугольная призма , построенная путем присоединения трех квадратных пирамид к квадратной грани треугольной призмы таким образом, что она имеет четырнадцать треугольных граней.
плосконосый двуклиноид с двенадцатью треугольными гранями, построенный путем соединения двух правильных шестиугольников в следующем порядке: эти шестиугольники могут образовывать бипирамиду в вырождении , разделяя их на две части вдоль совпадающей диагонали, вдавливая внутрь конец диагонали, поворачивая одну из них на 90° и соединяя их вместе.
Число возможных выпуклых дельтаэдров было дано Раузенбергером (1915), используя тот факт, что умножение числа граней на три приводит к тому, что каждое ребро делится на две грани, подставляя это в формулу многогранника Эйлера . Кроме того, это может показать, что многогранник с восемнадцатью равносторонними треугольниками математически возможен, хотя его невозможно построить геометрически. Раузенбергер назвал эти тела выпуклыми псевдоправильными многогранниками . [3]
Подводя итог вышеприведенным примерам, дельтаэдры можно окончательно определить как класс многогранников, грани которых являются равносторонними треугольниками . [4] Многогранник называется выпуклым , если линия между любыми двумя его вершинами лежит либо внутри него, либо на его границе, и, кроме того, если никакие две грани не являются копланарными (лежащими в одной и той же плоскости) и никакие два ребра не являются коллинеарными (отрезками одной и той же прямой). [5] Другое определение Бернала (1964) похоже на предыдущее, в котором он интересовался формами отверстий, остающихся в нерегулярных плотно упакованных расположениях сфер. Он определяется как выпуклый многогранник с равносторонними треугольными гранями, который может быть образован центрами набора конгруэнтных сфер, чьи касания представляют собой ребра многогранника, и такой, что нет места для упаковки другой сферы внутри клетки, созданной этой системой сфер. Из-за этого ограничения некоторые многогранники не могут быть включены в качестве дельтаэдра: треугольная бипирамида (так как образует два тетраэдрических отверстия, а не одно отверстие), пентагональная бипирамида (потому что сферы ее вершин взаимопроникают, поэтому она не может встречаться в упаковках сфер) и правильный икосаэдр (потому что у него есть внутреннее пространство для другой сферы). [6]
Невыпуклый дельтаэдр — это дельтаэдр, который не обладает выпуклостью, то есть не имеет ни копланарных граней, ни коллинеарных ребер. Существует бесконечно много невыпуклых дельтаэдров. [9] Некоторые примеры — stella octangula , третья звездчатая форма правильного икосаэдра, и спираль Бурдейка–Коксетера . [10]
Существуют подклассы невыпуклых дельтаэдров. Канди (1952) показывает, что их можно обнаружить, найдя число типов варьирующихся вершин . Набор вершин считается одним и тем же типом, пока существуют подгруппы той же группы многогранника, транзитивные на этом наборе. Канди показывает, что большой икосаэдр является единственным невыпуклым дельтаэдром с одним типом вершины. Существует семнадцать невыпуклых дельтаэдров с двумя типами вершин, и вскоре другие одиннадцать дельтаэдров были добавлены Ольшевским, [11] Другие подклассы - это равногранный дельтаэдр, который позже был открыт как Макниллом, так и Шепардом (2000), [12] и спиральный дельтаэдр, построенный полосами равносторонних треугольников, который был открыт Триггом (1978). [13]
Ссылки
Сноски
^
Канди (1952)
Кромвель (1997), стр. 75
Тригг (1978)
^
Тригг (1978)
Литченберг (1988), стр. 263
Фрейденталь и ван дер Варден (1947)
^
Раузенбергер (1915)
Литченберг (1988), стр. 263
^
Канди (1952)
Кромвель (1997), стр. 75
Тригг (1978)
^
Литченберг (1988), стр. 262
Буассонна и Ивинек (1989)
^ Бернал (1964).
^ Харас и Даль (1988), стр. 8.
^
Бердетт, Хоффманн и Фэй (1978)
Джиллеспи и Харгиттай (2013), стр. 152
Киперт (1982), стр. 7–21
Петруччи, Харвуд и Херринг (2002), стр. 413–414, см. таблицу 11.1.
Буассонна, JD; Ивинек, М. (июнь 1989 г.), «Исследование сцены невыпуклых многогранников», Труды пятого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии - SCG '89 , стр. 237–246, doi :10.1145/73833.73860, ISBN 0-89791-318-3.
Бердетт, Джереми К.; Хоффманн, Роальд; Фэй, Роберт К. (1978), «Восьмикоординационная связь», Неорганическая химия , 17 (9): 2553–2568, doi :10.1021/ic50187a041.
———; Роллетт, А. (1989), "3.11. Дельтаэдры", Математические модели (3-е изд.), Stradbroke, Англия: Tarquin Pub., стр. 142–144.
Эппштейн, Д. (2021), «О многогранной реализации с равнобедренными треугольниками», Графы и комбинаторика , 37 (4), Springer: 1247–1269, doi : 10.1007/s00373-021-02314-9
Фулдс, Л.Р.; Робинсон, Д.Ф. (1979), «Свойства конструкции комбинаторных дельтаэдров», Дискретная прикладная математика , 1 (1–2): 75–87, doi :10.1016/0166-218X(79)90015-5.
Гарднер, Мартин (1992), Фрактальная музыка, гиперкарты и многое другое: математические развлечения из Scientific American , Нью-Йорк: WH Freeman, стр. 40, 53 и 58–60.
Kepert, David L. (1982), «Многогранники», Inorganic Chemistry Concepts , т. 6, Springer, стр. 7–21, doi :10.1007/978-3-642-68046-5_2, ISBN 978-3-642-68048-9.
Харас, КСС; Даль, ЛФ (1988), «Лиганд-стабилизированные металлические кластеры: структура, связь, флюксионарность и металлическое состояние», в Пригожин, И.; Райс, С.А. (ред.), Эволюция размерных эффектов в химической динамике, часть 2: Достижения в химической физике, том LXX, John Wiley & Sons , стр. 8, ISBN 978-0-470-14180-9.
Литченберг, DR (1988), «Пирамиды, призмы, антипризмы и дельтаэдры», Учитель математики , 81 (4): 261–265, doi :10.5951/MT.81.4.0261, JSTOR 27965792
Макнил, Дж., Равногранные дельтаэдры
Ольшевский, Джордж, побив рекорд Канди по дельтаэдрам (PDF)
Педерсен, М. К.; Хайд, СТ. (2018), «Многогранники и упаковки из гиперболических сот», Труды Национальной академии наук , 115 (27): 6905–6910, Bibcode : 2018PNAS..115.6905P, doi : 10.1073/pnas.1720307115 , PMC 6142264 , PMID 29925600
Петруччи, Р. Х.; Харвуд, В. С.; Херринг, Ф. Г. (2002), Общая химия: принципы и современные приложения (8-е изд.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014329-7
Пью, Энтони (1976), Многогранники: визуальный подход , Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли, стр. 35–36, ISBN 0-520-03056-7.
Раузенбергер, О. (1915), «Konvex pseudoreguläre Polyeder», Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135–142.
Ремхов, Арндт; Черны, Радован (2021), «Гидробораты как новые твердотельные электролиты», в Шорр, Сьюзан; Вайденталер, Клаудия (ред.), Кристаллография в материаловедении: от взаимосвязей структура-свойство к инжинирингу , de Gruyter , ISBN 978-3-11-067485-9.
