Десятичное представление

Выражение чисел в виде последовательностей цифр

Десятичным представлением неотрицательного действительного числа r является его выражение в виде последовательности символов, состоящей из десятичных цифр, традиционно записываемых с одним разделителем:

$${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{0}.a_{1}a_{2}\ldots }$$

. десятичный разделительkнеотрицательное целое числоцифры ${\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots }$

Обычно, если последовательность цифр после точки обычно бесконечна . Если оно конечно, недостающие цифры считаются равными 0. Если все равны 0 , разделитель также опускается, в результате чего получается конечная последовательность цифр, представляющая натуральное число . ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k\geq 1.}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Десятичное представление представляет бесконечную сумму :

$${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

Каждое неотрицательное действительное число имеет хотя бы одно такое представление; у него есть два таких представления (с if ) тогда и только тогда, когда одно имеет конечную бесконечную последовательность 0 , а другое имеет конечную бесконечную последовательность 9 . Из-за взаимно однозначного соответствия между неотрицательными действительными числами и десятичными представлениями иногда исключаются десятичные представления с конечной бесконечной последовательностью 9 . ^[1] ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k>0}$

Целые и дробные части

Натуральное число называется целой частью r и в оставшейся части статьи обозначается цифрой 0 _. Последовательность представляет число ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

$${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$

идробной частью(9 ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Конечные десятичные приближения

Любое действительное число можно аппроксимировать с любой желаемой степенью точности рациональными числами с конечными десятичными представлениями.

Предполагать . Тогда для каждого целого числа существует конечная десятичная дробь такая, что: ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

Доказательство : Пусть , где . Тогда , и результат следует из деления всех сторон на . (Тот факт, что оно имеет конечное десятичное представление, легко установить.) ${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$ ${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle r_{n}}$

Неединственность десятичного представления и соглашений об обозначениях

Некоторые действительные числа имеют два бесконечных десятичных представления. Например, число 1 может быть одинаково представлено как 1,000..., так и 0,999... (где бесконечные последовательности конечных нулей или девяток соответственно обозначаются как "..."). Обычно предпочтительнее десятичное представление без конечных девяток. Более того, в стандартном десятичном представлении бесконечная последовательность конечных нулей, появляющихся после десятичной точки , опускается вместе с самой десятичной точкой, если является целым числом. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Определенные процедуры построения десятичного представления позволяют избежать проблемы с конечными девятками. Например, следующая алгоритмическая процедура даст стандартное десятичное представление: Учитывая , мы сначала определяем ( целую часть ) как наибольшее целое число, такое что (т. е. ). Если процедура завершается. В противном случае, для уже найденного мы определяем индуктивно как наибольшее целое число, такое, что: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{0}\leq x}$ ${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x=a_{0}}$ ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ ${\displaystyle a_{k}}$

Процедура завершается всякий раз, когда обнаруживается такое, что равенство сохраняется в ( * ); в противном случае он продолжает бесконечно давать бесконечную последовательность десятичных цифр. Можно показать, что ^[2] (условно записывается как ), где и целое неотрицательное число представлено в десятичной записи . Эта конструкция расширяется путем применения описанной выше процедуры и обозначения результирующего десятичного разложения через . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$ ${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

Типы

Конечный

Десятичное разложение неотрицательного действительного числа x закончится нулями (или девятками) тогда и только тогда, когда x - рациональное число, знаменатель которого имеет вид 2 ⁿ 5 ^m , где m и n - неотрицательные целые числа. .

Доказательство :

Если десятичное разложение x будет заканчиваться нулями или для некоторого n , то знаменатель x будет иметь вид 10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿ . ${\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$

И наоборот, если знаменатель x имеет вид 2 ⁿ 5 ^m , для некоторого p . Хотя x имеет вид , для некоторого n . По , x будет заканчиваться нулями. ${\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {p}{10^{k}}}}$ ${\displaystyle p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}}$ ${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}$

бесконечный

Повторяющиеся десятичные представления

Некоторые действительные числа имеют десятичное представление, которое со временем зацикливается, бесконечно повторяя последовательность из одной или нескольких цифр:

1 ⁄ 3 = 0,33333...

1 ⁄ 7 = 0,142857142857...

1318/185 = 7,1243243243 ...

Каждый раз, когда это происходит, число по-прежнему остается рациональным числом (т.е. альтернативно может быть представлено как отношение целого числа к положительному целому числу). Верно и обратное: десятичное разложение рационального числа либо конечно, либо бесконечно повторяется.

Конечные десятичные представления также можно рассматривать как частный случай бесконечных повторяющихся десятичных представлений. Например, 36/25 = 1,44 = 1,4400000... ; бесконечно повторяющаяся последовательность — это однозначная последовательность «0».

Неповторяющиеся десятичные представления

Другие действительные числа имеют десятичное расширение, которое никогда не повторяется. Это именно иррациональные числа , числа, которые невозможно представить в виде отношения целых чисел. Некоторые известные примеры:

√ 2 = 1,41421356237309504880...

  е   = 2,71828182845904523536...

  π   = 3,14159265358979323846...

Преобразование в дробь

Каждое десятичное представление рационального числа можно преобразовать в дробь, преобразуя его в сумму целых, неповторяющихся и повторяющихся частей, а затем преобразуя эту сумму в одну дробь с общим знаменателем.

Например, для преобразования в дробь следует учитывать лемму: ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}}$$

Таким образом, конвертируется следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

Если нет повторяющихся цифр, предполагается, что существует вечно повторяющийся 0, например , хотя, поскольку это делает повторяющийся член нулевым, сумма упрощается до двух членов и более простого преобразования. ${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$

Например:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Десятичная дробь
• Серия (математика)
• ИЭЭЭ 754
• Саймон Стевин

Рекомендации

1. Кнут, Дональд Эрвин (1973). Искусство компьютерного программирования . Том. 1: Фундаментальные алгоритмы. Аддисон-Уэсли . п. 21.
2. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . п. 11. ISBN 0-07-054235-Х.

дальнейшее чтение

• Апостол, Том (1974). Математический анализ (Второе изд.). Аддисон-Уэсли .
• Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2006]. «Десятичные представления». четырехблок . Архивировано из оригинала 16 июля 2018 г. Проверено 16 июля 2018 г.