Выражение чисел в виде последовательностей цифр
Десятичное представление неотрицательного действительного числа r — это его выражение в виде последовательности символов, состоящей из десятичных цифр, традиционно записываемых с одним разделителем:
![{\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{0}.a_{1}a_{2}\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. десятичный разделительkнеотрицательное целое числоцифры![{\displaystyle b_{0},\ldots,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обычно, если последовательность цифр после точки обычно бесконечна . Если оно конечно, недостающие цифры считаются равными 0. Если все равны 0 , разделитель также опускается, в результате чего получается конечная последовательность цифр, представляющая натуральное число .![{\displaystyle b_{k}\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\geq 1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а_{я}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а_{я}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Десятичное представление представляет бесконечную сумму :
![{\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{ 10^{я}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Каждое неотрицательное действительное число имеет хотя бы одно такое представление; у него есть два таких представления (с if ) тогда и только тогда, когда одно имеет конечную бесконечную последовательность 0 , а другое имеет конечную бесконечную последовательность 9 . Из-за взаимно однозначного соответствия между неотрицательными действительными числами и десятичными представлениями иногда исключаются десятичные представления с конечной бесконечной последовательностью 9 . [1]![{\displaystyle b_{k}\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Целые и дробные части
Натуральное число называется целой частью r и в оставшейся части статьи обозначается цифрой 0 . Последовательность представляет число ![{\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а_{я}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
дробной частью(9![{\displaystyle [0,1),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а_{я}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Конечные десятичные приближения
Любое действительное число можно аппроксимировать с любой желаемой степенью точности рациональными числами с конечными десятичными представлениями.
Предполагать . Тогда для каждого целого числа существует конечная десятичная дробь такая, что:![{\displaystyle x\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство : Пусть , где . Тогда , и результат следует из деления всех сторон на . (Тот факт, что оно имеет конечное десятичное представление, легко установить.)![{\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 10^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Неединственность десятичного представления и соглашений об обозначениях
Некоторые действительные числа имеют два бесконечных десятичных представления. Например, число 1 может быть одинаково представлено как 1,000..., так и 0,999... (где бесконечные последовательности конечных нулей или девяток соответственно обозначаются как "..."). Обычно предпочтительнее десятичное представление без конечных девяток. Более того, в стандартном десятичном представлении бесконечная последовательность конечных нулей, появляющихся после десятичной точки , опускается вместе с самой десятичной точкой, если является целым числом.![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определенные процедуры построения десятичного представления позволяют избежать проблемы с конечными девятками. Например, следующая алгоритмическая процедура даст стандартное десятичное представление: Учитывая , мы сначала определяем ( целую часть ) как наибольшее целое число, такое что (т. е. ). Если процедура завершается. В противном случае, для уже найденного мы определяем индуктивно как наибольшее целое число, такое, что:![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{0}\leq x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=a_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Процедура завершается всякий раз, когда обнаруживается такое, что равенство сохраняется в ( * ); в противном случае он продолжает бесконечно давать бесконечную последовательность десятичных цифр. Можно показать, что [2] (условно записывается как ), где и неотрицательное целое число представлено в десятичной записи . Эта конструкция расширяется путем применения описанной выше процедуры и обозначения результирующего десятичного разложения через .![{\displaystyle a_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots,9\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x<0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -x>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Типы
Конечный
Десятичное разложение неотрицательного действительного числа x закончится нулями (или девятками) тогда и только тогда, когда x - рациональное число, знаменатель которого имеет вид 2 n 5 m , где m и n - неотрицательные целые числа. .
Доказательство :
Если десятичное разложение x будет заканчиваться нулями или
для некоторого n , то знаменатель x будет иметь вид 10 n = 2 n 5 n .![{\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{ ни}a_{i}/10^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
И наоборот, если знаменатель x имеет вид 2 n 5 m ,
для некоторого p . Хотя x имеет вид , для некоторого n . По , x будет заканчиваться нулями.![{\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}} = {\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5 ^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle {\frac {p}{10^{k}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}10^{ni}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_ {i}}{10^{i}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
бесконечный
Повторяющиеся десятичные представления
Некоторые действительные числа имеют десятичное представление, которое со временем зацикливается, бесконечно повторяя последовательность из одной или нескольких цифр:
- 1 ⁄ 3 = 0,33333...
- 1 ⁄ 7 = 0,142857142857...
- 1318/185 = 7,1243243243 ...
Каждый раз, когда это происходит, число по-прежнему остается рациональным числом (т.е. альтернативно может быть представлено как отношение целого числа к положительному целому числу). Верно и обратное: десятичное разложение рационального числа либо конечно, либо бесконечно повторяется.
Конечные десятичные представления также можно рассматривать как частный случай бесконечных повторяющихся десятичных представлений. Например, 36/25 = 1,44 = 1,4400000... ; бесконечно повторяющаяся последовательность — это однозначная последовательность «0».
Неповторяющиеся десятичные представления
Другие действительные числа имеют десятичное расширение, которое никогда не повторяется. Это именно иррациональные числа , числа, которые невозможно представить в виде отношения целых чисел. Некоторые известные примеры:
- √ 2 = 1,41421356237309504880...
- е = 2,71828182845904523536...
- π = 3,14159265358979323846...
Преобразование в дробь
Каждое десятичное представление рационального числа можно преобразовать в дробь, преобразуя его в сумму целых, неповторяющихся и повторяющихся частей, а затем преобразуя эту сумму в одну дробь с общим знаменателем.
Например, для преобразования в дробь следует учитывать лемму:![{\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\ frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={ \frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{ 3}}}&{\text{Показатели степени – это количество неповторяющихся цифр после запятой (3) и количество повторяющихся цифр (4).}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом, конвертируется следующим образом:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{ (10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{сверху}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}- 1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common знаменатель}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{умножение и суммирование числителя}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{ \text{сокращение}}\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если повторяющихся цифр нет, предполагается, что существует вечно повторяющийся 0, например , хотя, поскольку это делает повторяющийся член нулевым, сумма упрощается до двух членов и более простого преобразования.![{\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Например:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8 \times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{общий знаменатель}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{умножение, и суммируем числитель}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
дальнейшее чтение
- Апостол, Том (1974). Математический анализ (Второе изд.). Аддисон-Уэсли .
- Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2006]. «Десятичные представления». четырехблок . Архивировано из оригинала 16 июля 2018 г. Проверено 16 июля 2018 г.