Квантование деформации

В математике и физике деформационное квантование грубо сводится к нахождению (квантовой) алгебры, классическим пределом которой является заданная (классическая) алгебра, такая как алгебра Ли или алгебра Пуассона .

В физике

Интуитивно, деформация математического объекта — это семейство объектов того же типа, которые зависят от некоторого параметра(ов). Здесь она предоставляет правила того, как деформировать «классическую» коммутативную алгебру наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная установка в теории деформаций заключается в том, чтобы начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли ) и спросить: существует ли одно- или многопараметрическое семейство подобных структур, такое, что для начального значения параметра(ов) мы имеем ту же самую структуру (алгебру Ли), с которой мы начали? (Самой старой иллюстрацией этого может быть осознание Эратосфеном в древнем мире того, что плоская Земля может быть деформирована в сферическую Землю с параметром деформации 1/ R _⊕ .) Например, можно определить некоммутативный тор как квантование деформации через ★ -произведение, чтобы неявно рассмотреть все тонкости сходимости (обычно не рассматриваемые в формальном квантовании деформации). Поскольку алгебра функций на пространстве определяет геометрию этого пространства, изучение звездного произведения приводит к изучению некоммутативной геометрической деформации этого пространства.

В контексте приведенного выше примера с плоским фазовым пространством звездное произведение ( произведение Мойала , фактически введенное Грёневольдом в 1946 году), ★ _ħ , пары функций от f ₁ , f ₂ ∈ C ^∞ (ℜ ² ) , определяется как

${\displaystyle \Phi [f_{1}\star f_{2}]=\Phi [f_{1}]\Phi [f_{2}].\,}$

где — преобразование Вигнера–Вейля . ${\displaystyle \Phi }$

Звездное произведение в общем случае не коммутативно, но переходит в обычное коммутативное произведение функций в пределе ħ → 0. Как таковое, говорят, что оно определяет деформацию коммутативной алгебры C ^∞ (ℜ ² ) .

Для приведенного выше примера отображения Вейля ★ -произведение можно записать в терминах скобки Пуассона как

${\displaystyle f_{1}\star f_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\Pi ^{n}(f_{1},f_{2}).}$

Здесь Π — бивектор Пуассона , оператор, определенный таким образом, что его мощности равны

${\displaystyle \Pi ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}}$

и

${\displaystyle \Pi ^{1}(f_{1},f_{2})=\{f_{1},f_{2}\}={\frac {\partial f_{1}}{\partial q}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial p}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial p}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial q}}~,}$

где { f ₁ , f ₂ } — скобка Пуассона . В более общем смысле,

${\displaystyle \Pi ^{n}(f_{1},f_{2})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left({\frac {\partial ^{k}}{\partial p^{k}}}{\frac {\partial ^{n-k}}{\partial q^{n-k}}}f_{1}\right)\times \left({\frac {\partial ^{n-k}}{\partial p^{n-k}}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial q^{k}}}f_{2}\right)}$

где - биномиальный коэффициент . ${\displaystyle {n \choose k}}$

Так, например, ^[1] гауссианы составляют гиперболически ,

${\displaystyle \exp \left(-{a}(q^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(q^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})\right),}$

или

${\displaystyle \delta (q)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{qp \over \hbar }\right),}$

и т. д. Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (простые плоские скобки Пуассона). Для общей формулы на произвольных многообразиях Пуассона см. формулу квантования Концевича .

Антисимметризация этого ★ -произведения дает скобку Мойала , правильную квантовую деформацию скобки Пуассона и изоморф фазового пространства (преобразование Вигнера) квантового коммутатора в более привычной формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве. Как таковая, она обеспечивает краеугольный камень динамических уравнений наблюдаемых в этой формулировке фазового пространства.

В результате получается полная формулировка фазового пространства квантовой механики, полностью эквивалентная представлению оператора в гильбертовом пространстве , со звездными умножениями, изоморфно параллельными операторным умножениям. ^[1]

Ожидаемые значения в квантовании фазового пространства получаются изоморфно отслеживанию наблюдаемых операторов Φ с матрицей плотности в гильбертовом пространстве: они получаются с помощью интегралов фазового пространства наблюдаемых, таких как f выше , с распределением квазивероятности Вигнера, эффективно служащим мерой.

Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (тот же объем, что и для классической механики), приведенное выше отображение Вейля облегчает распознавание квантовой механики как деформации (обобщения, ср. принцип соответствия ) классической механики с параметром деформации ħ / S. (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую с параметром деформации v / c ; или деформацию ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиус Шварцшильда/характеристическая размерность. Наоборот, групповое сокращение приводит к недеформированным теориям с исчезающим параметром — классическим пределам .)

Классические выражения, наблюдаемые величины и операции (такие как скобки Пуассона) модифицируются квантовыми поправками, зависящими от ħ , поскольку обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике, обобщается до некоммутативного звездного умножения, характеризующего квантовую механику и лежащего в основе ее принципа неопределенности.

Смотрите также

• Гипотеза Делиня о когомологиях Хохшильда
• многообразие Пуассона
• Теорема о формальности; на данный момент см. https://mathoverflow.net/questions/32889/a-few-questions-about-kontsevich-formality
• Формула квантования Концевича

Ссылки

1. Curtright, TL; Fairlie, DB; Zachos, CK (2014). Краткий трактат по квантовой механике в фазовом пространстве . World Scientific . ISBN 9789814520430.

Дальнейшее чтение

• Концевич, Максим (1 апреля 1999 г.). «Операды и мотивы в квантовании деформаций». Письма в математическую физику . 48 (1): 35–72. doi :10.1023/A:1007555725247. ISSN  1573-0530.

• Эспозито, Кьяра (2015). Теория формальности: от пуассоновских структур до квантования деформаций. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-319-09290-4. ISBN 978-3-319-09289-8. ISSN  2197-1757.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)

• https://ncatlab.org/nlab/show/deformation+quantization
• https://ncatlab.org/nlab/show/formal+deformation+quantization