stringtranslate.com

Деформация (механика)

В механике деформация определяется как относительная деформация по сравнению с конфигурацией исходного положения . Для выражения поля деформации могут быть сделаны различные эквивалентные выборы в зависимости от того , определено ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела, и рассматривается ли метрический тензор или его дуальный тензор.

Деформация имеет размерность отношения длины , с основными единицами СИ метр на метр (м/м). Следовательно, деформации безразмерны и обычно выражаются в виде десятичной дроби или процента . Также используется обозначение частей на миллион или частей на миллиард (иногда называемых «микродеформациями» и «нанодеформациями» соответственно), что соответствует мкм /м и нм /м.

Деформация может быть сформулирована как пространственная производная смещения : где Iтензор тождественности . Смещение тела может быть выражено в виде x = F ( X ) , где X — исходное положение материальных точек тела; смещение имеет единицы длины и не различает движения твердого тела (перемещения и вращения) и деформации (изменения формы и размера) тела. Пространственная производная равномерного перемещения равна нулю, таким образом, деформации измеряют, насколько данное смещение локально отличается от движения твердого тела. [1]

В общем случае деформация является тензорной величиной. Физическое понимание деформаций может быть получено путем наблюдения того, что данная деформация может быть разложена на нормальные и сдвиговые компоненты. Величина растяжения или сжатия вдоль материальных линейных элементов или волокон является нормальной деформацией , а величина искажения, связанного со скольжением плоских слоев друг по другу, является сдвиговой деформацией внутри деформируемого тела. [2] Это может быть применено путем удлинения, укорочения или изменения объема, или углового искажения. [3]

Состояние деформации в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , проходящих через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между парами линий, изначально перпендикулярных друг другу, сдвиговая деформация , исходящих из этой точки. Однако достаточно знать нормальную и сдвиговую составляющие деформации на наборе из трех взаимно перпендикулярных направлений.

Если длина материальной линии увеличивается, нормальная деформация называется деформацией растяжения ; в противном случае, если длина материальной линии уменьшается или сжимается, она называется деформацией сжатия .

Режимы деформации

В зависимости от величины деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:

Меры деформации

В каждой из этих теорий деформация определяется по-разному. Инженерная деформация является наиболее распространенным определением, применяемым к материалам, используемым в машиностроении и строительстве, которые подвергаются очень малым деформациям. С другой стороны, для некоторых материалов, например, эластомеров и полимеров, подвергающихся большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичные инженерные деформации больше 1%; [4] поэтому требуются другие, более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая деформация , деформация Грина и деформация Альманси .

Инженерная деформация

Инженерная деформация , также известная как деформация Коши , выражается как отношение полной деформации к исходному размеру материального тела, к которому прилагаются силы. В случае линейного элемента материала или волокна, нагруженного в осевом направлении, его удлинение приводит к инженерной нормальной деформации или инженерной деформации растяжения e , которая равна относительному удлинению или изменению длины Δ L на единицу исходной длины L линейного элемента или волокон (в метрах на метр). Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем , где eинженерная нормальная деформация , L — исходная длина волокна, а l — конечная длина волокна.

Истинная деформация сдвига определяется как изменение угла (в радианах) между двумя линейными элементами материала, изначально перпендикулярными друг другу в недеформированной или исходной конфигурации. Инженерная деформация сдвига определяется как тангенс этого угла и равна длине деформации в ее максимуме, деленной на перпендикулярную длину в плоскости приложения силы, что иногда упрощает расчет.

Коэффициент растяжения

Коэффициент растяжения или коэффициент удлинения (символ λ) является альтернативной мерой, относящейся к растяжению или нормальной деформации элемента дифференциальной линии, нагруженного в осевом направлении. Он определяется как отношение конечной длины l к начальной длине L материальной линии.

Коэффициент удлинения λ связан с инженерной деформацией e следующим образом: Это уравнение подразумевает, что когда нормальная деформация равна нулю, т.е. деформация отсутствует, коэффициент удлинения равен единице.

Коэффициент растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры , которые могут выдерживать коэффициенты растяжения 3 или 4, прежде чем они разрушаются. С другой стороны, традиционные конструкционные материалы, такие как бетон или сталь, разрушаются при гораздо меньших коэффициентах растяжения.

Логарифмическая деформация

Логарифмическая деформация ε , также называемая истинной деформацией или деформацией Генки . [5] При рассмотрении инкрементной деформации (Людвик) логарифмическая деформация получается путем интегрирования этой инкрементной деформации: где e — инженерная деформация. Логарифмическая деформация обеспечивает правильную меру конечной деформации, когда деформация происходит в серии инкрементов, принимая во внимание влияние пути деформации. [2]

Зеленый штамм

Зеленый штамм определяется как:

Штамм Альманси

Деформация Эйлера-Альманси определяется как

Тензор деформации

(Бесконечно малый) тензор деформации (символ ) определяется в Международной системе величин (ISQ), более конкретно в ISO 80000-4 (Механика), как «тензорная величина, представляющая деформацию вещества, вызванную напряжением. Тензор деформации симметричен и имеет три линейных компонента деформации и три компонента деформации сдвига (декартовых)». [6] ISO 80000-4 далее определяет линейную деформацию как «частное изменения длины объекта и его длины», а деформацию сдвига как «частное параллельного смещения двух поверхностей слоя и толщины слоя». [6] Таким образом, деформации классифицируются как нормальные или сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярна грани элемента, а деформация сдвига параллельна ей. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига .

Тогда тензор деформации можно выразить через нормальную и сдвиговую составляющие следующим образом:

Геометрическая установка

Двумерная геометрическая деформация бесконечно малого материального элемента

Рассмотрим двумерный, бесконечно малый, прямоугольный материальный элемент с размерами dx × dy , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем смещения u . Из геометрии смежной фигуры имеем и Для очень малых градиентов смещения квадраты производной и пренебрежимо малы и мы имеем

Нормальная деформация

Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука , нормальное напряжение вызовет нормальную деформацию. Нормальные деформации вызывают расширения .

Нормальная деформация в направлении x прямоугольного элемента определяется как Аналогично нормальная деформация в направлениях y и z становится

Деформация сдвига

Инженерная деформация сдвига ( γ xy ) определяется как изменение угла между линиями AC и AB . Следовательно,

Из геометрии рисунка имеем Для малых градиентов смещения имеем Для малых вращений, т. е. α и β ≪ 1, имеем tan αα , tan ββ . Следовательно, таким образом Поменяв местами x и y и u x и u y , можно показать, что γ xy = γ yx .

Аналогично для плоскостей yz и xz имеем

Объемная деформация

Объемная деформация, также называемая объемной деформацией, представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора: Фактически, если мы рассмотрим куб с длиной ребра a , то после деформации (изменения углов не изменяют объем) он представляет собой квазикуб с размерами и V 0 = a 3 , поэтому , поскольку мы рассматриваем малые деформации, то формула имеет вид.

Реальное изменение объема (вверху) и приближенное (внизу): зеленый рисунок показывает расчетный объем, а оранжевый рисунок — пренебрегаемый объем.

В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема не происходит.

Метрический тензор

Поле деформации, связанное со смещением, определяется в любой точке изменением длины касательных векторов , представляющих скорости произвольно параметризованных кривых, проходящих через эту точку. Основной геометрический результат, полученный Фреше , фон Нейманом и Жорданом , гласит, что если длины касательных векторов удовлетворяют аксиомам нормы и закону параллелограмма , то длина вектора является квадратным корнем значения квадратичной формы , связанной с формулой поляризации с положительно определенным билинейным отображением , называемым метрическим тензором .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Люблинер, Якоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренное издание). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-03-31.
  2. ^ ab Rees, David (2006). Основы инженерной пластичности: Введение в инженерные и производственные приложения. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-8025-3. Архивировано из оригинала 2017-12-22.
  3. ^ "Земля".Энциклопедия Британника из DVD-диска Encyclopaedia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite .[2009].
  4. ^ Риз, Дэвид (2006). Основы инженерной пластичности: Введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. стр. 41. ISBN 0-7506-8025-3. Архивировано из оригинала 2017-12-22.
  5. ^ Хенки, Х. (1928). «Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei Ideal Elastischen Stoffen». Zeitschrift für technische Physik . 9 : 215–220.
  6. ^ ab "ISO 80000-4:2019". ISO . 2013-08-20 . Получено 2023-08-28 .