Дзета-функция Артина–Мазура

В математике дзета-функция Артина –Мазура , названная в честь Майкла Артина и Барри Мазура , — это функция, которая используется для изучения итерационных функций , возникающих в динамических системах и фракталах .

Он определяется по заданной функции как формальный степенной ряд ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \zeta _{f}(z)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}\operatorname {Fix} (f^{n}){\bigr |}{\frac {z^{n}}{n}}\right),}$

где — множество неподвижных точек -й итерации функции , а — число неподвижных точек (т.е. мощность этого множества). ${\displaystyle \operatorname {Fix} (f^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |\operatorname {Fix} (f^{n})|}$

Обратите внимание, что дзета-функция определена только в том случае, если множество неподвижных точек конечно для каждого . Это определение формально в том смысле, что ряд не всегда имеет положительный радиус сходимости . ${\displaystyle n}$

Дзета-функция Артина–Мазура инвариантна относительно топологического сопряжения .

Теорема Милнора –Терстона утверждает, что дзета-функция Артина–Мазура интервального отображения является обратной величиной определителя замешивания . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Аналоги

Дзета-функция Артина–Мазура формально аналогична локальной дзета-функции , когда диффеоморфизм на компактном многообразии заменяет отображение Фробениуса для алгебраического многообразия над конечным полем .

Дзета- функцию Ихара графика можно интерпретировать как пример дзета-функции Артина–Мазура.

Смотрите также

• Число Лефшеца
• Дзета-функция Лефшеца

Ссылки

• Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1965), «О периодических точках», Annals of Mathematics , вторая серия, 81 (1), Annals of Mathematics: 82–99, doi : 10.2307/1970384, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970384, MR  0176482
• Рюэль, Дэвид (2002), «Динамические дзета-функции и операторы переноса» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 49 (8): 887–895, MR  1920859
• Котани, Мотоко ; Сунада, Тошиказу (2000), «Дзета-функции конечных графов», J. Math. наук. унив. Токио , 7 :7–25, CiteSeerX  10.1.1.531.9769
• Террас, Одри (2010), Дзета-функции графов: прогулка по саду , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 128, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-11367-0, ЗБЛ  1206.05003