Дзета-функция (оператор)

Дзета -функция математического оператора — это функция, определяемая как ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} \;{\mathcal {O}}^{-s}}$

для тех значений s , где это выражение существует, и как аналитическое продолжение этой функции для других значений s . Здесь "tr" обозначает функциональный след .

Дзета-функция может быть также выражена как спектральная дзета-функция ^[1] через собственные значения оператора : ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{i}\lambda _{i}^{-s}}$.

Он используется для строгого определения функционального определителя оператора, который задается формулой

${\displaystyle \det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;.}$

Примером может служить дзета-функция Минакшисундарама –Плейеля , когда оператором является лапласиан компактного риманова многообразия .

Одной из важнейших мотиваций теории Аракелова являются дзета-функции для операторов с методом тепловых ядер , обобщенных алгебро-геометрически. ^[2]

Смотрите также

• метрика Квиллена

Ссылки

1. Лапидус и ван Франкенхейсен (2006), стр.23
2. Soulé, C.; в сотрудничестве с D. Abramovich, J.-F. Burnol и J. Kramer (1992), Lectures on Arakelov geometry , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 33, Cambridge: Cambridge University Press, стр. viii+177, ISBN 0-521-41669-8, МР  1208731

• Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006), Фрактальная геометрия, комплексные измерения и дзета-функции. Геометрия и спектры фрактальных струн , Springer Monographs in Mathematics, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-33285-5, ЗБЛ  1119.28005
• Фурсаев, Дмитрий; Василевич, Дмитрий (2011), Операторы, геометрия и кванты: методы спектральной геометрии в квантовой теории поля , Теоретическая и математическая физика, Springer-Verlag , стр. 98, ISBN 978-94-007-0204-2