Диагональная матрица

Матрица, все ненулевые элементы которой находятся на главной диагонали

В линейной алгебре диагональная матрица — это матрица , в которой все элементы за пределами главной диагонали равны нулю; этот термин обычно относится к квадратным матрицам . Элементы главной диагонали могут быть как нулевыми, так и ненулевыми. Примером диагональной матрицы 2×2 является , в то время как примером диагональной матрицы 3×3 является . Единичная матрица любого размера или любого кратного ей является диагональной матрицей, называемой скалярной матрицей, например, . В геометрии диагональная матрица может использоваться в качестве масштабирующей матрицы , поскольку умножение матриц на нее приводит к изменению масштаба (размера) и, возможно, также формы ; только скалярная матрица приводит к равномерному изменению масштаба. ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]}$

Определение

Как указано выше, диагональная матрица — это матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. То есть матрица D = ( d _{i , j} ) с n столбцами и n строками является диагональной, если $${\displaystyle \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.}$$

Однако входы по главной диагонали не ограничены.

Термин «диагональная матрица» иногда может относиться кпрямоугольная диагональная матрица , которая являетсяm-на-nсо всеми элементами не вида d _{i , i} равно нулю. Например: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$$

Однако чаще всего диагональная матрица относится к квадратным матрицам, которые можно явно указать какКвадратно-диагональная матрица . Квадратно-диагональная матрица являетсясимметричной матрицей, поэтому ее также можно назватьсимметричная диагональная матрица .

Следующая матрица является квадратной диагональной матрицей: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$$

Если элементы являются действительными числами или комплексными числами , то это также обычная матрица .

В оставшейся части статьи мы будем рассматривать только квадратные диагональные матрицы и называть их просто «диагональными матрицами».

Оператор вектор-матрица diag

Диагональную матрицу можно построить из вектора с помощью оператора: ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \operatorname {diag} }$ $${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$$

Более компактно это можно записать как . ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )}$

Этот же оператор используется для представления блочно-диагональных матриц , где каждый аргумент является матрицей. ${\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Оператор можно записать как: где представляет собой произведение Адамара , а — постоянный вектор с элементами 1. ${\displaystyle \operatorname {diag} }$ $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I} }$$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$

Оператор преобразования матрицы в вектор

Оператор обратного преобразования матрицы в вектор иногда обозначается одноименным оператором , где аргументом теперь является матрица, а результатом — вектор ее диагональных элементов. ${\displaystyle \operatorname {diag} }$ ${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

Имеет место следующее свойство: $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1} }$$

Скалярная матрица

Диагональная матрица с равными диагональными элементами является скалярной матрицей ; то есть скалярным кратным λ единичной матрицы I. Ее влияние на вектор — скалярное умножение на λ . Например, скалярная матрица 3×3 имеет вид: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}}$$

Скалярные матрицы являются центром алгебры матриц: то есть, они являются именно теми матрицами, которые коммутируют со всеми другими квадратными матрицами того же размера. ^[a] Напротив, над полем (например, действительными числами) диагональная матрица со всеми диагональными элементами, отличными друг от друга, коммутирует только с диагональными матрицами (ее централизатор — это множество диагональных матриц). Это потому, что если диагональная матрица имеет , то заданную матрицу с членом произведений: и и (так как можно делить на ), то они не коммутируют, если только недиагональные члены не равны нулю. ^[b] Диагональные матрицы, где диагональные элементы не все равны или не все различны, имеют централизаторы, промежуточные между всем пространством и только диагональными матрицами. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle m_{ij}\neq 0,}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (\mathbf {D} \mathbf {M} )_{ij}=a_{i}m_{ij}}$ ${\displaystyle (\mathbf {M} \mathbf {D} )_{ij}=m_{ij}a_{j},}$ ${\displaystyle a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}}$ ${\displaystyle m_{ij}}$

Для абстрактного векторного пространства V (а не конкретного векторного пространства ) аналогом скалярных матриц являются скалярные преобразования . Это справедливо в более общем случае для модуля M над кольцом R , при этом алгебра эндоморфизмов End( M ) (алгебра линейных операторов на M ) заменяет алгебру матриц. Формально скалярное умножение является линейным отображением, индуцирующим отображение (из скаляра λ в его соответствующее скалярное преобразование, умножение на λ ), представляющее End( M ) как R - алгебру . Для векторных пространств скалярные преобразования являются в точности центром алгебры эндоморфизмов, и, аналогично, скалярные обратимые преобразования являются центром общей линейной группы GL( V ). Первый из них в более общем случае является истинным свободным модулем , для которого алгебра эндоморфизмов изоморфна матричной алгебре. ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),}$ ${\displaystyle M\cong R^{n}}$

Векторные операции

Умножение вектора на диагональную матрицу умножает каждый из членов на соответствующую диагональную запись. При наличии диагональной матрицы и вектора произведение равно: ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ $${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Это можно выразить более компактно, используя вектор вместо диагональной матрицы, и взяв произведение Адамара векторов (поэлементное произведение), обозначаемое : ${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} \circ \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Это математически эквивалентно, но позволяет избежать хранения всех нулевых членов этой разреженной матрицы . Таким образом, этот продукт используется в машинном обучении , например, для вычисления произведений производных в обратном распространении или умножения весов IDF в TF-IDF , ^[2] поскольку некоторые фреймворки BLAS , которые эффективно умножают матрицы, не включают возможности произведения Адамара напрямую. ^[3]

Матричные операции

Операции сложения и умножения матриц особенно просты для диагональных матриц. Запишите diag( a ₁ , ..., a _n ) для диагональной матрицы, диагональные элементы которой, начинающиеся в верхнем левом углу, равны a ₁ , ..., a _n . Тогда для сложения мы имеем

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})}$$

и для умножения матриц ,

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).}$$

Диагональная матрица diag( a ₁ , ..., a _n ) обратима тогда и только тогда, когда элементы a ₁ , ..., a _n все ненулевые. В этом случае мы имеем

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).}$$

В частности, диагональные матрицы образуют подкольцо кольца всех матриц размера n на n .

Умножение матрицы A размером n на n слева на diag ( a 1 _, ..., an ) равносильно умножению i -й _строки матрицы A на a i _для всех i ; умножение матрицы A справа на diag ( a ₁ , ..., an ₎ равносильно умножению i -го столбца матрицы A на a _i для всех i .

Операторная матрица в собственном базисе

Как объяснялось при определении коэффициентов операторной матрицы , существует специальный базис, e ₁ , ..., e _n , для которого матрица принимает диагональную форму. Следовательно, в определяющем уравнении все коэффициенты с i ≠ j равны нулю, оставляя только один член в сумме. Оставшиеся диагональные элементы, , известны как собственные значения и обозначены в уравнении, которое сводится к . Полученное уравнение известно как уравнение собственных значений ^[4] и используется для вывода характеристического полинома и, далее, собственных значений и собственных векторов . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle a_{i,i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$

Другими словами, собственными значениями diag ( λ ₁ , ..., λ _n ) являются λ ₁ , ..., λ _n с соответствующими собственными векторами e ₁ , ..., e _n .

Характеристики

• Определитель diag ( a ₁ , ..., a _n ) равен произведению a ₁ ⋯ a _n .
• Сопряжение диагональной матрицы снова является диагональным .
• Где все матрицы квадратные,
  • Матрица диагональна тогда и только тогда, когда она треугольная и нормальная .
  • Матрица является диагональной тогда и только тогда, когда она является как верхне- , так и нижнетреугольной .
  • Диагональная матрица симметрична .
• Единичная матрица I _n и нулевая матрица являются диагональными.
• Матрица 1×1 всегда диагональна.
• Квадрат матрицы 2×2 с нулевым следом всегда диагонален.

Приложения

Диагональные матрицы встречаются во многих областях линейной алгебры. Из-за простого описания матричной операции и собственных значений/собственных векторов, приведенных выше, обычно желательно представлять заданную матрицу или линейную карту диагональной матрицей.

Фактически, заданная n -на- n матрица A подобна диагональной матрице ( что означает, что существует матрица X такая, что X ⁻¹ AX является диагональной) тогда и только тогда, когда она имеет n линейно независимых собственных векторов. Такие матрицы называются диагонализируемыми .

Над полем действительных или комплексных чисел верно больше. Спектральная теорема утверждает , что каждая нормальная матрица унитарно подобна диагональной матрице (если AA ^∗ = A ^∗ A, то существует унитарная матрица U такая, что UAU ^∗ диагональна). Более того, разложение по сингулярным значениям подразумевает, что для любой матрицы A существуют унитарные матрицы U и V такие, что U ^∗ AV диагональна с положительными элементами.

Теория операторов

В теории операторов , в частности, при изучении уравнений в частных производных , операторы особенно легко понять, а уравнения в частных производных легко решить, если оператор диагонален по отношению к базису, с которым мы работаем; это соответствует разделимому уравнению в частных производных . Поэтому ключевым приемом для понимания операторов является изменение координат — на языке операторов, интегральное преобразование — которое изменяет базис на собственный базис собственных функций : что делает уравнение разделимым. Важным примером этого является преобразование Фурье , которое диагонализирует операторы дифференцирования с постоянным коэффициентом (или, в более общем смысле, инвариантные относительно трансляции операторы), такие как оператор Лапласа, скажем, в уравнении теплопроводности .

Особенно просты операторы умножения , которые определяются как умножение на (значения) фиксированной функции – значения функции в каждой точке соответствуют диагональным элементам матрицы.

Смотрите также

• Антидиагональная матрица
• Полосчатая матрица
• Двудиагональная матрица
• Диагонально доминирующая матрица
• Диагонализуемая матрица
• Нормальная форма Жордана
• Оператор умножения
• Трёхдиагональная матрица
• Матрица Теплица
• Торическая алгебра Ли
• Циркулярная матрица

Примечания

1. Доказательство: если задана элементарная матрица , то это матрица только с i -й строкой M , а это квадратная матрица только с j -м столбцом M , поэтому недиагональные элементы должны быть равны нулю, а i -й диагональный элемент должен быть равен j -му диагональному элементу. ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle Me_{ij}}$ ${\displaystyle e_{ij}M}$
2. Для более общих колец это не выполняется, поскольку не всегда можно выполнить деление.

Ссылки

1. «Всегда ли диагональные матрицы коммутируют?». Stack Exchange. 15 марта 2016 г. Получено 4 августа 2018 г.
2. Сахами, Мехран (2009-06-15). Текстовый анализ: классификация, кластеризация и приложения. CRC Press. стр. 14. ISBN 9781420059458.
3. "Поэлементное вектор-векторное умножение в BLAS?". stackoverflow.com . 2011-10-01 . Получено 2020-08-30 .
4. Ниринг, Джеймс (2010). "Глава 7.9: Собственные значения и собственные векторы" (PDF) . Математические инструменты для физики. ISBN 978-0486482125. Получено 1 января 2012 г. .

Источники

• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройял (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6