В математике , особенно в динамических системах , бифуркационная диаграмма показывает значения, которые посещаются или приближаются асимптотически (неподвижные точки, периодические орбиты или хаотические аттракторы ) системы как функция параметра бифуркации в системе. [ нужна цитация ] Обычно стабильные значения обозначаются сплошной линией, а нестабильные значения — пунктирной линией, хотя часто нестабильные точки опускаются. Бифуркационные диаграммы позволяют визуализировать теорию бифуркаций . В контексте динамических систем с дискретным временем диаграмма также называется орбитальной диаграммой .
Примером может служить бифуркационная диаграмма логистической карты :
Параметр бифуркации r показан на горизонтальной оси графика, а вертикальная ось показывает набор значений логистической функции , посещаемой асимптотически почти из всех начальных условий.
Бифуркационная диаграмма показывает разветвление периодов устойчивых орбит от 1 до 2, от 4 до 8 и т. д. Каждая из этих точек бифуркации представляет собой бифуркацию удвоения периода . Отношение длин последовательных интервалов между значениями r , при которых происходит бифуркация, сходится к первой константе Фейгенбаума .
На диаграмме также показано удвоение периода от 3 до 6, до 12 и т. д., от 5 до 10, до 20 и т. д. и так далее.
В такой динамической системе, как
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений , описывающую некоторую физическую величину, которая для конкретности может представлять собой один из трех примеров: 1. положение и скорость незатухающего маятника без трения, 2. мембранный потенциал нейрона с течением времени и 3. среднюю концентрацию. вируса в кровотоке пациента. Дифференциальные уравнения для этих примеров включают *параметры*, которые могут повлиять на выходные данные уравнений. Изменение массы и длины маятника повлияет на частоту его колебаний, изменение величины тока, подаваемого в нейрон, может перевести мембранный потенциал из состояния покоя в пиковый, а долговременная вирусная нагрузка в кровотоке может снизиться при тщательно рассчитанном лечении.
В общем, исследователи могут попытаться количественно оценить, как меняется долгосрочное (асимптотическое) поведение системы дифференциальных уравнений при изменении параметра. В разделе математики динамических систем бифуркационная диаграмма количественно определяет эти изменения, показывая, как неподвижные точки, периодические орбиты или хаотические аттракторы системы изменяются в зависимости от параметра бифуркации . Для визуализации этих изменений используются бифуркационные диаграммы.
