Диаграмма Эйлера

Диаграмма Эйлера ( / ˈ ɔɪ l ər / , OY -lər ) — это схематическое средство представления множеств и их отношений. Они особенно полезны для объяснения сложных иерархий и пересекающихся определений. Они похожи на другой метод построения диаграмм множеств — диаграммы Венна . В отличие от диаграмм Венна, которые показывают все возможные отношения между различными множествами, диаграмма Эйлера показывает только соответствующие отношения.

Первое использование «кругов Эйлера» обычно приписывают швейцарскому математику Леонхарду Эйлеру (1707–1783). В Соединенных Штатах диаграммы Венна и Эйлера были включены в обучение теории множеств в рамках нового математического движения 1960-х годов. С тех пор они также были приняты в других областях учебных программ, таких как чтение ^[1] , а также в организациях и предприятиях.

Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых фигур в двухмерной плоскости, каждая из которых изображает набор или категорию. То, как эти формы перекрываются, демонстрирует отношения между наборами. Каждая кривая делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы множества , и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами множества. Кривые, которые не перекрываются, представляют собой непересекающиеся множества , не имеющие общих элементов. Две перекрывающиеся кривые представляют собой пересекающиеся множества , имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет собой совокупность элементов, общих для обоих множеств (пересечение множеств ). Кривая, полностью находящаяся внутри другой, является ее подмножеством .

Диаграммы Венна представляют собой более ограничительную форму диаграмм Эйлера. Диаграмма Венна должна содержать все 2 ⁿ логически возможных зон перекрытия между n ее кривыми, представляющих все комбинации включения/исключения составляющих ее множеств. Области, не входящие в набор, обозначаются черным цветом, в отличие от диаграмм Эйлера, где членство в наборе обозначается как перекрытием, так и цветом.

История

Как показано на иллюстрации справа, сэр Уильям Гамильтон в своих посмертно опубликованных « Лекциях по метафизике и логике» (1858–1860 гг.) ошибочно утверждает, что первоначальное использование кругов для «ощущения… абстракций логики» (стр. 180) был не Леонард Пауль Эйлер (1707–1783), а скорее Кристиан Вайзе (1642–1708) в своей книге « Nucleus Logicae Weisianae» , вышедшей в 1712 году посмертно, однако последняя книга на самом деле была написана Иоганном Кристианом Ланге, а не Вайзе. ^[2]^[3] Он ссылается на «Письма Эйлера к немецкой принцессе» [Часть II, Письмо XXXV, 17 февраля 1791 г., изд. Курно (1842), стр. 412–417. – Ред.] ^{[nb 1]}

В иллюстрации Гамильтона четыре категоричных суждения , которые могут встречаться в силлогизме , символизированном рисунками A, E, I и O, таковы: ^[4]

A: Универсальное утвердительное утверждение . Пример: «Все металлы являются элементами».
E: Универсальный негатив . Пример: «Никакие металлы не являются сложными веществами».
I: Частное утвердительное предложение . Пример: «Некоторые металлы хрупкие».
О: Особый негатив . Пример: «Некоторые металлы не хрупкие».

В своей главе V «Символическая логика » 1881 года «Диаграмматическое представление» Джон Венн (1834–1923) комментирует поразительную распространенность диаграммы Эйлера:

«...из первых шестидесяти логических трактатов, опубликованных в течение последнего столетия или около того, к которым обращались с этой целью - несколько случайно, поскольку они оказались наиболее доступными: - оказалось, что тридцать четыре обратились за помощью к диаграммы, почти все из которых используют схему Эйлера». (Сноска 1, стр. 100)

Но, тем не менее, он утверждал, что «неприменимость этой схемы для целей действительно общей логики» (стр. 100) и на стр. 101 заметил, что «она плохо согласуется даже с четырьмя положениями общей логики, к которым она относится». обычно применяется». Венн заканчивает свою главу наблюдением, проиллюстрированным в примерах ниже, — их использование основано на практике и интуиции, а не на строгой алгоритмической практике:

«На самом деле... эти диаграммы не только не вписываются в обычную схему предложений, для иллюстрации которой они используются, но, по-видимому, не имеют какой-либо признанной схемы предложений, к которой их можно было бы последовательно отнести». (стр. 124–125)

Наконец, в своей главе XX «ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ» Венн переходит к решающей критике (выделена курсивом в цитате ниже); обратите внимание на иллюстрацию Гамильтона, что буквы O ( частный отрицательный ) и I ( частный утвердительный ) просто повернуты:

«Теперь мы подходим к хорошо известным кружкам Эйлера, которые впервые были описаны в его «Письмах к принцессе Аллеманской» (Письма 102–105). Слабое место этих кругов состоит в том, что они лишь строго иллюстрируют действительные отношения классов. друг другу, а не несовершенное знание этих отношений, которыми мы можем обладать или которые хотим передать посредством предложения. Соответственно, они не согласуются с предложениями общей логики, а требуют образования новой группы отношений. соответствующие элементарные предложения... Этот недостаток должен был быть замечен с самого начала в случае частных утвердительных и отрицательных предложений, поскольку одна и та же диаграмма обычно используется для обозначения их обоих, что она делает одинаково хорошо ». (курсив добавлен: стр. 424)

(Сандифер 2003 сообщает, что Эйлер тоже делает такие наблюдения; Эйлер сообщает, что его фигура 45 (простое пересечение двух кругов) имеет 4 разные интерпретации). В любом случае, вооружившись этими наблюдениями и критикой, Венн затем демонстрирует (стр. 100–125), как он вывел то, что стало известно как его диаграммы Венна , из «... старомодных диаграмм Эйлера». В частности, он приводит пример, показанный слева.

К 1914 году Луи Кутюра (1868–1914) обозначил термины, как показано на рисунке справа. Более того, он также обозначил внешнюю область (показанную как a'b'c'). Он лаконично объясняет, как пользоваться диаграммой — нужно вычеркнуть области, которые должны исчезнуть:

«Метод ВЕННА воплощен в геометрических диаграммах, которые представляют все составляющие, так что для получения результата нам нужно только зачеркнуть (заштриховать) те, которые исчезают из-за данных задачи». (курсив добавлен, стр. 73)

Таким образом, учитывая назначения Венна, незаштрихованные области внутри кругов можно просуммировать, чтобы получить следующее уравнение для примера Венна:

«Ни один Y не есть Z, а ВСЕ X есть Y: следовательно, ни один X не есть Z» имеет уравнение x'yz' + xyz' + x'y'z для незаштрихованной области внутри кругов (но это не совсем правильно; см. следующий абзац).

В Венне не появляется нулевой член x'y'z', т.е. фон вокруг кругов. Нигде это не обсуждается и не обозначается, но Кутюра исправляет это в своем рисунке. Правильное уравнение должно включать незаштрихованную область, выделенную жирным шрифтом:

«Никакой Y не является Z, и ВСЕ X есть Y: следовательно, ни один X не является Z» имеет уравнение x'yz' + xyz' + x'y'z + x'y'z' .

В современном использовании диаграмма Венна включает в себя «коробку», окружающую все круги; это называется вселенной дискурса или областью дискурса .

Кутюра теперь отмечает, что прямым алгоритмическим (формальным, систематическим) способом невозможно вывести сокращенные булевы уравнения, а также не показывает, как прийти к выводу «Нет X не есть Z». Кутюра пришел к выводу, что этот процесс «имеет… серьезные неудобства как метод решения логических задач»:

«Он не показывает, как данные представляются путем исключения определенных составляющих, а также не показывает, как объединить оставшиеся составляющие, чтобы получить искомые последствия. Короче говоря, он служит только для демонстрации одного единственного шага в аргументации, а именно уравнение задачи, оно не обходится ни с предыдущими шагами, т. е. «сведением задачи в уравнение» и преобразованием посылок, ни с последующими шагами, т. е. комбинациями, приводящими к различным следствиям. от него очень мало пользы, поскольку составляющие могут быть представлены алгебраическими символами так же, как и плоские области, и с ними гораздо легче иметь дело в этой форме» (стр. 75).

Таким образом, вопрос будет оставаться в силе до 1952 года, когда Морис Карно (1924–2022) адаптирует и расширит метод, предложенный Эдвардом В. Вейтчем ; эта работа будет опираться на метод таблицы истинности , точно определенный в докторской диссертации Эмиля Поста 1921 года «Введение в общую теорию элементарных высказываний», а также на применение логики высказываний для логики переключения (среди прочих) Клодом Шенноном , Джорджем Стибицем и Алан Тьюринг . ^{[nb 2]} Например, в главе «Булева алгебра» Хилл и Петерсон (1968, 1964) представляют разделы 4.5ff «Теория множеств как пример булевой алгебры», и в нем они представляют диаграмму Венна с штриховкой и всем остальным. Они приводят примеры диаграмм Венна для решения задач с коммутационными цепями, но в итоге приходят к следующему утверждению:

«Для более чем трех переменных основная иллюстративная форма диаграммы Венна недостаточна. Однако возможны расширения, наиболее удобным из которых является карта Карно, которая будет обсуждаться в главе 6». (стр. 64)

В главе 6, раздел 6.4 «Представление булевых функций картой Карно» они начинаются с:

«Карта Карно ¹ [ ¹ Karnaugh 1953] является одним из самых мощных инструментов в арсенале разработчика логики. ... Карту Карно можно рассматривать либо как графическую форму таблицы истинности, либо как расширение карты Венна. диаграмма». (стр. 103–104)

История развития Карно его метода «диаграммы» или «карты» неясна. Карно в своей книге 1953 года ссылался на Veitch 1951, Veitch ссылался на Claude E. Shannon 1938 (по сути, на магистерскую диссертацию Шеннона в Массачусетском технологическом институте ), а Шеннон, в свою очередь, ссылался, среди других авторов текстов по логике, на Couturat 1914. В методе Вейтча переменные расположены в прямоугольнике. или квадратный; Как описано в карте Карно , Карно в своем методе изменил порядок переменных, чтобы он соответствовал тому, что стало известно как (вершины) гиперкуба .

Связь между диаграммами Эйлера и Венна

Примеры небольших диаграмм Венна *(слева)* с заштрихованными областями, представляющими пустые множества , показывающие, как их можно легко преобразовать в эквивалентные диаграммы Эйлера *(справа)*

Диаграммы Венна представляют собой более ограничительную форму диаграмм Эйлера. Диаграмма Венна должна содержать все 2 ⁿ логически возможных зон перекрытия между ее n кривыми, представляющими все комбинации включения/исключения составляющих ее множеств. Области, не входящие в набор, обозначаются черным цветом, в отличие от диаграмм Эйлера, где членство в наборе обозначается как перекрытием, так и цветом. Когда количество наборов превышает 3, диаграмма Венна становится визуально сложной, особенно по сравнению с соответствующей диаграммой Эйлера. Разницу между диаграммами Эйлера и Венна можно увидеть на следующем примере. Возьмите три комплекта:

$A=\{1,\,2,\,5\}$
$B=\{1,\,6\}$
$C=\{4,\,7\}$

Диаграммы Эйлера и Венна этих наборов:

Диаграмма Эйлера
Диаграмма Венна

В логической ситуации можно использовать теоретико-модельную семантику для интерпретации диаграмм Эйлера в рамках вселенной дискурса . В приведенных ниже примерах диаграмма Эйлера показывает, что множества Animal и Mineral не пересекаются, поскольку соответствующие кривые не пересекаются, а также что набор Four Legs является подмножеством множества Animal s. Диаграмма Венна, в которой используются одни и те же категории « Животное », «Минерал » и «Четыре ноги », не инкапсулирует эти отношения. Традиционно пустота множества на диаграммах Венна изображается штриховкой в этой области. Диаграммы Эйлера представляют пустоту либо заштриховкой, либо отсутствием области.

Часто налагается набор условий правильности; это топологические или геометрические ограничения, налагаемые на структуру диаграммы. Например, можно обеспечить принудительное соединение зон или запретить совмещение кривых или нескольких точек, а также тангенциальное пересечение кривых. На соседней диаграмме примеры небольших диаграмм Венна преобразуются в диаграммы Эйлера с помощью последовательностей преобразований; некоторые из промежуточных диаграмм имеют совмещение кривых. Однако такое преобразование диаграммы Венна с штриховкой в диаграмму Эйлера без штриховки не всегда возможно. Существуют примеры диаграмм Эйлера с 9 наборами, которые невозможно нарисовать с помощью простых замкнутых кривых без создания нежелательных зон, поскольку они должны были бы иметь неплоские двойственные графы.

Пример: диаграмма Эйлера-Венна и карта Карно.

В этом примере показаны диаграммы Эйлера и Венна и карта Карно, позволяющие получить и проверить вывод «Никакие X не являются Z ». На иллюстрации и в таблице использованы следующие логические символы:

1 можно прочитать как «истина», 0 как «ложь».
~ для НЕ и сокращается до ' при иллюстрации минтермов, например, x' = _{определено} НЕ x,
+ для логического ИЛИ (из булевой алгебры : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1)
& (логическое И) между предложениями; в минтерммах AND опускается аналогично арифметическому умножению: например, x'y'z = _{определено} ~x & ~y & z (Из булевой алгебры: 0·0 = 0, 0·1 = 1·0 = 0, 1·1 = 1, где для ясности показано «·»)
→ (логическое ИМПЛИКАЦИЯ): читается как ЕСЛИ ... ТО ... или «ПОДРАЗУЕТСЯ», P → Q = _{определено} НЕ P ИЛИ Q.

Учитывая предложенный вывод, такой как «Ни один X не является Z », можно проверить, является ли этот вывод правильным , используя таблицу истинности . Самый простой метод — поместить исходную формулу слева (сокращенно P ) и поместить (возможный) вывод справа (сокращенно Q ) и соединить их с логической импликацией , т.е. P → Q , читать как IF P THEN Вопрос . Если при вычислении таблицы истинности все единицы под знаком импликации (→, так называемая мажорная связка ), то P → Q является тавтологией . Учитывая этот факт, можно «отсоединить» формулу справа (сокращенно Q ) способом, описанным ниже таблицы истинности.

Учитывая приведенный выше пример, формула диаграмм Эйлера и Венна выглядит следующим образом:

«Нет Y s являются Z s» и «Все X s являются Y s»: ( ~(y & z) & (x → y)) = _{определено} P

И предлагаемый вычет составляет:

«Нет X s не является Z s»: ( ~ (x & z)) = _{определено} Q

Итак, теперь вычисляемую формулу можно сократить до:

( ~(y & z) & (x → y)) → ( ~ (x & z) ): P → Q

ЕСЛИ («Нет Y — это Z » и «Все X — это Y ») ТО («Нет X — это Z »)

На этом этапе приведенная выше импликация P → Q (т. е. ~(y & z) & (x → y)) → ~(x & z) ) по-прежнему остается формулой, а вывод – «отделение» Q от P. → Q – не произошло. Но учитывая демонстрацию того, что P → Q является тавтологией, теперь подготовлена почва для использования процедуры modus ponens для «отделения» Q: «Никакие X не являются Z » и отказа от терминов слева. ^{[номер 3]}

Modus ponens (или «фундаментальное правило вывода» ^[5] ) часто записывают следующим образом: Два термина слева, P → Q и P , называются посылками (по соглашению, соединенными запятой), символ ⊢ означает «выходит» (в смысле логической дедукции), а член справа называется выводом :

П → Q , П ⊢ Q

Для успеха modus ponens обе посылки P → Q и P должны быть истинными . Поскольку, как показано выше, посылка P → Q является тавтологией, «истина» всегда имеет место, независимо от того, как оцениваются x, y и z, но «истина» имеет место только для P в тех обстоятельствах, когда P оценивается как « true» (например, строки 0 ИЛИ 1 ИЛИ 2 ИЛИ 6 : x'y'z' + x'y'z + x'yz' + xyz' = x'y' + yz'). ^{[номер 4]}

П → Q , П ⊢ Q

т.е.: ( ~(y & z) & (x → y) ) → ( ~ (x & z) ) , ( ~ (y & z) & (x → y) ) ⊢ ( ~ (x & z) )
то есть: ЕСЛИ «Нет Y — это Z » и «Все X — это Y » ТО «Нет X — это Z », «Нет Y — это Z » и «Все X — это Y » ⊢ «Нет» Xs - это Zs "

Теперь можно «отделить» вывод «Никакие X не являются Z », возможно, чтобы использовать его в последующих выводах (или в качестве темы для разговора).

Использование тавтологической импликации означает, что существуют и другие возможные выводы, кроме «Ни один X не является Z »; критерием успешного вывода является то, что единицы под большой связкой справа включают в себя все единицы под большой связкой слева (главная связка является импликацией, приводящей к тавтологии). Например, в таблице истинности в правой части импликации (→, главный соединительный символ) в столбце, выделенном жирным шрифтом под главным символом связи « ~ », есть все те же единицы, что и в жирном шрифте. столбец под левой подмажорной связкой & (строки 0 , 1 , 2 и 6 ) плюс еще две (строки 3 и 4 ).

Галерея

Кликабельная диаграмма Эйлера ^[файл] , показывающая отношения между различными многонациональными европейскими организациями и соглашениями.

Диаграмма Венна показывает все возможные пересечения.
Диаграмма Эйлера, визуализирующая реальную ситуацию, взаимоотношения между различными наднациональными европейскими организациями . ( кликабельная версия )
Юмористическая диаграмма сравнения диаграмм Эйлера и Венна .
Диаграмма Эйлера типов треугольников , использующая определение, согласно которому равнобедренные треугольники имеют по крайней мере (а не ровно) 2 равные стороны.
Диаграмма Эйлера терминологии Британских островов .
Диаграмма Эйлера, которая классифицирует различные типы метаэвристики .
Диаграмма Эйлера, показывающая связь между омографами, омофонами и синонимами.
22 (из 256) существенно разных диаграмм Венна с 3 кружками (вверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (внизу).
Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Области заштрихованы, чтобы указать, что они не содержат элементов.
Диаграмма взаимоотношений позвоночных животных Анри Милна-Эдвардса (1844 г.), иллюстрированная серией вложенных наборов.

Смотрите также

Интерсекциональность
Радужная коробка
Диаграмма паука - расширение диаграмм Эйлера, добавляющее существование пересечениям контуров.
Модель трех кругов

Примечания

↑ К тому времени, когда эти лекции Гамильтона были опубликованы, Гамильтон тоже умер. Его редакторами (обозначенными ED.), ответственными за большую часть сносок, были логики Генри Лонгвиль Мансель и Джон Вейтч .
^ См. сноску у Джорджа Стибитца .
^ Это сложная концепция. Рассел и Уайтхед (2-е издание, 1927 г.) в своих Principia Mathematica описывают это следующим образом: «Доверие к выводу — это вера в то, что если два предыдущих утверждения [посылки P, P→Q] не ошибочны, то окончательное утверждение не является ошибочным. в ошибке... Вывод — это отказ от истинной посылки [sic]; это растворение импликации» (стр. 9). Дальнейшее обсуждение этого вопроса появляется в «Примитивных идеях и предложениях» как первое из их «примитивных предложений» (аксиом): *1.1 Все, что подразумевается из истинного элементарного предложения, истинно» (стр. 94). В сноске авторы ссылаются на Читатель возвращается к §38 «Принципов математики» Рассела 1903 года .
^ Райхенбах обсуждает тот факт, что импликация P → Q не обязательно должна быть тавтологией (так называемая «тавтологическая импликация»). Даже «простая» импликация (связочная или адъюнктивная) работает, но только для тех строк таблицы истинности, которые оцениваются как истинные, ср. Reichenbach 1947:64–66.

дальнейшее чтение

По дате публикации:

Лекции сэра Уильяма Гамильтона по метафизике и логике 1860 года под редакцией Генри Лонгвиля Мэнсела и Джона Вейча , Уильяма Блэквуда и сыновей , Эдинбург и Лондон.
У. Стэнли Джевонс, 1880 г. «Элементарные уроки логики: дедуктивная и индуктивная». С обильными вопросами и примерами, а также словарем логических терминов , М. А. Макмиллан и компания , Лондон и Нью-Йорк.
Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , 1913 г., 1-е издание, 1927 г., 2-е издание Principia Mathematica до *56 Cambridge At The University Press (издание 1962 г.), Великобритания, без ISBN.
Луи Кутюра, 1914 г. Алгебра логики: авторизованный английский перевод Лидии Джиллингем Робинсон с предисловием Филипа Э.Б. Журдена , The Open Court Publishing Company , Чикаго и Лондон.
Эмиль Пост, 1921 г., «Введение в общую теорию элементарных предложений», перепечатано с комментариями Жана ван Хейеноорта в книге Жана ван Хейеноорта, редактор 1967 г. От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета , Кембридж, Массачусетс. , ISBN 0-674-32449-8 (пбк.)
Клод Э. Шеннон, 1938 «Символический анализ релейных и коммутационных цепей», Труды Американского института инженеров-электриков, том 57, стр. 471–495. Взято из книги Клод Элвуд Шеннон: Сборник статей под редакцией NJA Солейн и Аарона Д. Винера, IEEE Press , Нью-Йорк.
Ганс Райхенбах, 1947 г. , «Элементы символической логики» , переизданные в 1980 г. издательством Dover Publications, Inc. , Нью-Йорк, ISBN 0-486-24004-5 .
Вейч, Эдвард Уэстбрук (3 мая 1952 г.) [02 мая 1952 г.]. «Диаграммный метод для упрощения функций истинности». Протоколы ежегодного собрания ACM 1952 года . Ежегодная конференция/Ежегодное собрание ACM: материалы ежегодного собрания ACM 1952 года (Питтсбург, Пенсильвания, США). Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники (ACM): 127–133. дои : 10.1145/609784.609801. S2CID 17284651.
Карно, Морис (ноябрь 1953 г.) [23 апреля 1953 г., 17 марта 1953 г.]. «Метод карт для синтеза комбинационных логических схем» (PDF) . Труды Американского института инженеров-электриков, Часть I: Связь и электроника . 72 (5): 593–599. дои : 10.1109/TCE.1953.6371932. S2CID 51636736. Документ 53-217. Архивировано из оригинала (PDF) 16 апреля 2017 г. Проверено 16 апреля 2017 г.
Фредерик Дж. Хилл и Джеральд Р. Петерсон, 1968, 1974. Введение в теорию переключения и логическое проектирование , John Wiley & Sons , Нью-Йорк, ISBN 978-0-471-39882-0 .
Сандифер, Эд (январь 2004 г.). «Как это сделал Эйлер» (PDF) . maa.org . Архивировано из оригинала (PDF) 26 января 2013 г.

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с диаграммами Эйлера .

Диаграммы Эйлера. Брайтон, Великобритания (2004). Что такое диаграммы Эйлера?