Диаграмма Фейнмана

В теоретической физике диаграмма Фейнмана — это графическое представление математических выражений, описывающих поведение и взаимодействие субатомных частиц . Схема названа в честь американского физика Ричарда Фейнмана , который представил диаграммы в 1948 году. Взаимодействие субатомных частиц может быть сложным и трудным для понимания; диаграммы Фейнмана дают простую визуализацию того, что в противном случае было бы загадочной и абстрактной формулой. По словам Дэвида Кайзера , «С середины 20-го века физики-теоретики все чаще обращаются к этому инструменту, чтобы провести критические вычисления. Диаграммы Фейнмана произвели революцию почти во всех аспектах теоретической физики». ^[1] Хотя диаграммы применяются в основном в квантовой теории поля , их также можно использовать в других областях физики, таких как теория твердого тела . Фрэнк Вильчек писал, что вычисления, которые принесли ему Нобелевскую премию по физике 2004 года , «были бы буквально немыслимы без диаграмм Фейнмана, как и вычисления [Вильчека], которые установили путь к получению и наблюдению частицы Хиггса ». ^[2]

Фейнман использовал интерпретацию позитрона Эрнстом Штюкельбергом , как если бы это был электрон, движущийся назад во времени. ^[3] Таким образом, античастицы представлены как движущиеся назад вдоль оси времени на диаграммах Фейнмана.

Расчет амплитуд вероятности в теоретической физике элементарных частиц требует использования довольно больших и сложных интегралов по большому числу переменных . Диаграммы Фейнмана могут представлять эти интегралы графически.

Диаграмма Фейнмана — это графическое представление пертурбативного вклада в амплитуду перехода или корреляционную функцию квантово-механической или статистической теории поля. В канонической формулировке квантовой теории поля диаграмма Фейнмана представляет член в разложении Вика пертурбативной $S$ -матрицы . В качестве альтернативы, формулировка интеграла по траектории квантовой теории поля представляет амплитуду перехода как взвешенную сумму всех возможных историй системы от начального до конечного состояния, в терминах либо частиц, либо полей. Затем амплитуда перехода задается как матричный элемент $S$ -матрицы между начальным и конечным состояниями квантовой системы.

Мотивация и история

На этой диаграмме каон , состоящий из верхнего и странного антикварка , распадается как слабо , так и сильно на три пиона , с промежуточными стадиями, включающими W-бозон и глюон , представленные синусоидой и зеленой спиралью соответственно.

При вычислении сечений рассеяния в физике элементарных частиц взаимодействие между частицами можно описать, начав со свободного поля , описывающего входящие и исходящие частицы, и включив гамильтониан взаимодействия для описания того, как частицы отклоняют друг друга. Амплитуда рассеяния представляет собой сумму каждой возможной истории взаимодействия по всем возможным промежуточным состояниям частиц. Количество раз, когда действует гамильтониан взаимодействия, является порядком разложения возмущения , а зависящая от времени теория возмущений для полей известна как ряд Дайсона . Когда промежуточные состояния в промежуточные моменты времени являются собственными энергетическими состояниями (наборами частиц с определенным импульсом), ряд называется старомодной теорией возмущений (или зависящей от времени/упорядоченной во времени теорией возмущений).

Ряд Дайсона можно альтернативно переписать как сумму по диаграммам Фейнмана, где в каждой вершине сохраняются как энергия , так и импульс , но где длина четырехвектора энергии-импульса не обязательно равна массе, т. е. промежуточные частицы являются так называемыми внеоболочечными . Диаграммы Фейнмана гораздо легче отслеживать, чем «старомодные» члены, потому что старомодный способ рассматривает вклады частиц и античастиц как отдельные. Каждая диаграмма Фейнмана является суммой экспоненциально многих старомодных членов, потому что каждая внутренняя линия может отдельно представлять либо частицу, либо античастицу. В нерелятивистской теории нет античастиц и нет удвоения, поэтому каждая диаграмма Фейнмана включает только один член.

Фейнман дал рецепт вычисления амплитуды (правила Фейнмана, ниже) для любой заданной диаграммы из лагранжиана теории поля . Каждая внутренняя линия соответствует фактору пропагатора виртуальной частицы ; каждая вершина, где линии встречаются, дает фактор, полученный из члена взаимодействия в лагранжиане, а входящие и исходящие линии несут энергию, импульс и спин .

В дополнение к своей ценности как математического инструмента, диаграммы Фейнмана обеспечивают глубокое физическое понимание природы взаимодействия частиц. Частицы взаимодействуют всеми доступными способами; фактически, промежуточные виртуальные частицы могут распространяться быстрее света. Вероятность каждого конечного состояния затем получается путем суммирования по всем таким возможностям. Это тесно связано с функциональной интегральной формулировкой квантовой механики , также изобретенной Фейнманом — см. формулировку интеграла по траектории .

Наивное применение таких вычислений часто приводит к диаграммам, амплитуды которых бесконечны , поскольку взаимодействия частиц на коротких расстояниях требуют тщательной процедуры ограничения, чтобы включить самовзаимодействия частиц . Метод перенормировки , предложенный Эрнстом Штюкельбергом и Гансом Бете и реализованный Дайсоном , Фейнманом, Швингером и Томонагой, компенсирует этот эффект и устраняет проблемные бесконечност. После перенормировки вычисления с использованием диаграмм Фейнмана соответствуют экспериментальным результатам с очень высокой точностью.

Методы диаграммы Фейнмана и интеграла по траекториям также используются в статистической механике и могут быть применены даже к классической механике . ^[4]

Альтернативные названия

Мюррей Гелл-Манн всегда называл диаграммы Фейнмана диаграммами Штюкельберга , в честь швейцарского физика Эрнста Штюкельберга , который придумал похожую нотацию много лет назад. Штюкельберг был мотивирован необходимостью явно ковариантного формализма для квантовой теории поля, но не предоставил автоматизированного способа обработки факторов симметрии и петель, хотя он был первым, кто нашел правильную физическую интерпретацию в терминах прямых и обратных во времени траекторий частиц, все без интеграла по траектории. ^[5]

Исторически, как бухгалтерский инструмент ковариантной теории возмущений, графики назывались диаграммами Фейнмана–Дайсона или графиками Дайсона ^[6] , потому что интеграл по траектории был незнаком, когда они были введены, и вывод Фримена Дайсона из старомодной теории возмущений, заимствованный из пертурбативных разложений в статистической механике, был легче для понимания физиками, обученными более ранним методам. ^[a] Фейнману пришлось упорно лоббировать диаграммы, которые сбивали с толку физиков-основателей, обученных уравнениям и графикам. ^[7]

Представление физической реальности

В своих представлениях фундаментальных взаимодействий , ^[8]^[9], написанных с точки зрения физики элементарных частиц, Джерард 'т Хоофт и Мартинус Вельтман привели веские аргументы в пользу принятия исходных, нерегуляризованных диаграмм Фейнмана как наиболее сжатого представления наших современных знаний о физике квантового рассеяния фундаментальных частиц . Их мотивы согласуются с убеждениями Джеймса Дэниела Бьёркена и Сиднея Дрелла : ^[10]

Графики и правила расчета Фейнмана суммируют квантовую теорию поля в форме, тесно связанной с экспериментальными числами, которые мы хотим понять. Хотя формулировка теории в терминах графиков может подразумевать теорию возмущений , использование графических методов в задаче многих тел показывает, что этот формализм достаточно гибок, чтобы иметь дело с явлениями непертурбативного характера... Некоторые модификации правил расчета Фейнмана могут пережить сложную математическую структуру локальной канонической квантовой теории поля...

В квантовой теории поля диаграммы Фейнмана получаются из лагранжиана по правилам Фейнмана.

Размерная регуляризация — это метод регуляризации интегралов при оценке диаграмм Фейнмана; он присваивает им значения, которые являются мероморфными функциями вспомогательного комплексного параметра $d$ , называемого размерностью. Размерная регуляризация записывает интеграл Фейнмана как интеграл, зависящий от размерности пространства-времени $d$ и точек пространства-времени.

Интерпретация траектории частиц

Диаграмма Фейнмана — это представление процессов квантовой теории поля в терминах взаимодействия частиц . Частицы представлены линиями диаграммы, которые могут быть волнистыми или прямыми, со стрелкой или без нее, в зависимости от типа частицы. Точка, в которой линии соединяются с другими линиями, называется вершиной , и именно здесь частицы встречаются и взаимодействуют: испуская или поглощая новые частицы, отклоняясь друг от друга или меняя тип.

Существует три различных типа линий: внутренние линии соединяют две вершины, входящие линии простираются от «прошлого» к вершине и представляют начальное состояние, а исходящие линии простираются от вершины к «будущему» и представляют конечное состояние (последние две также известны как внешние линии ). Традиционно нижняя часть диаграммы — это прошлое, а верхняя — будущее; в других случаях прошлое находится слева, а будущее — справа. При вычислении корреляционных функций вместо амплитуд рассеяния нет прошлого и будущего, и все линии являются внутренними. Затем частицы начинаются и заканчиваются на маленьких крестиках, которые представляют позиции операторов, корреляция которых вычисляется.

Диаграммы Фейнмана — это наглядное представление вклада в общую амплитуду для процесса, который может происходить несколькими различными способами. Когда группа входящих частиц должна рассеиваться друг от друга, процесс можно рассматривать как процесс, в котором частицы движутся по всем возможным путям, включая пути, идущие назад во времени.

Диаграммы Фейнмана часто путают с пространственно-временными диаграммами и изображениями пузырьковой камеры , потому что все они описывают рассеяние частиц. Диаграммы Фейнмана — это графики , которые представляют взаимодействие частиц, а не физическое положение частицы во время процесса рассеяния. В отличие от изображения пузырьковой камеры, только сумма всех диаграмм Фейнмана представляет любое заданное взаимодействие частиц; частицы не выбирают определенную диаграмму каждый раз, когда взаимодействуют. Закон суммирования соответствует принципу суперпозиции — каждая диаграмма вносит вклад в общую амплитуду процесса.

Описание

Диаграмма Фейнмана представляет собой пертурбативный вклад в амплитуду квантового перехода из некоторого начального квантового состояния в некоторое конечное квантовое состояние.

Например, в процессе электронно-позитронной аннигиляции начальное состояние — один электрон и один позитрон, конечное состояние: два фотона.

Часто предполагается, что начальное состояние находится в левой части диаграммы, а конечное — в правой (хотя довольно часто используются и другие соглашения).

Диаграмма Фейнмана состоит из точек, называемых вершинами, и линий, присоединенных к вершинам.

Частицы в начальном состоянии изображаются линиями, выступающими в направлении начального состояния (например, влево), частицы в конечном состоянии изображаются линиями, выступающими в направлении конечного состояния (например, вправо).

В КЭД есть два типа частиц: частицы материи, такие как электроны или позитроны (называемые фермионами ) и обменные частицы (называемые калибровочными бозонами ). Они представлены в диаграммах Фейнмана следующим образом:

Электрон в исходном состоянии представлен сплошной линией со стрелкой, указывающей спин частицы, например, направленной к вершине (→•).
Электрон в конечном состоянии представлен линией со стрелкой, указывающей спин частицы, например, направленной от вершины: (•→).
Позитрон в исходном состоянии представлен сплошной линией со стрелкой, указывающей спин частицы, например, направленной от вершины: (←•).
Позитрон в конечном состоянии представлен линией со стрелкой, указывающей спин частицы, например, направленной к вершине: (•←).
Виртуальный фотон в начальном и конечном состоянии представлен волнистой линией ( ~• и •~ ).

В КЭД к вершине всегда присоединены три линии: одна бозонная линия, одна фермионная линия со стрелкой, направленной к вершине, и одна фермионная линия со стрелкой, направленной от вершины.

Вершины могут быть соединены бозонным или фермионным пропагатором . Бозонный пропагатор представлен волнистой линией, соединяющей две вершины (•~•). Фермионный пропагатор представлен сплошной линией (со стрелкой в одном или другом направлении), соединяющей две вершины, (•←•).

Число вершин определяет порядок члена в разложении ряда возмущений амплитуды перехода.

Пример аннигиляции электрона и позитрона

Взаимодействие аннигиляции электрона и позитрона :

е ⁺ + е ⁻ → 2γ

имеет вклад от диаграммы Фейнмана второго порядка, показанной рядом:

В начальном состоянии (внизу; раннее время) имеется один электрон (e− ⁾ и один позитрон (e ⁺ ), а в конечном состоянии (вверху; позднее время) имеется два фотона (γ).

Формулировка канонического квантования

Амплитуда вероятности перехода квантовой системы (между асимптотически свободными состояниями) из начального состояния $|i⟩$ в конечное состояние $| f ⟩$ задается матричным элементом

S_{\rm {fi}}=\langle \mathrm {f} |S|\mathrm {i} \rangle \;,

где $S$ — это $S$ -матрица . В терминах оператора эволюции во времени $U$ это просто

S=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }U(t_{2},t_{1})\;.

В картине взаимодействия это расширяется до

S={\mathcal {T}}e^{-i\int _{-\infty }^{+\infty }d\tau H_{V}(\tau )}.

где $H V$ — гамильтониан взаимодействия, а $T$ означает упорядоченное по времени произведение операторов. Формула Дайсона разлагает упорядоченную по времени матричную экспоненту в ряд возмущений по степеням плотности гамильтониана взаимодействия,

S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {H}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.

Эквивалентно, с лагранжианом взаимодействия $L V$ , это

S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.

Диаграмма Фейнмана представляет собой графическое представление одного слагаемого в разложении Вика упорядоченного по времени произведения в члене $n$ -го порядка $S (n)$ ряда Дайсона S $-$ матрицы,

{\mathcal {T}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)=\sum _{\text{A}}(\pm ){\mathcal {N}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\;,

где $N$ обозначает нормально-упорядоченное произведение операторов, а (±) учитывает возможное изменение знака при коммутации фермионных операторов для объединения их для свертки ( пропагатора ), а $A$ представляет все возможные свертки.

Правила Фейнмана

Диаграммы построены по правилам Фейнмана, которые зависят от лагранжиана взаимодействия. Для лагранжиана взаимодействия QED

L_{v}=-g{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }

Описывая взаимодействие фермионного поля $ψ$ с бозонным калибровочным полем $A μ$ , правила Фейнмана можно сформулировать в координатном пространстве следующим образом:

Каждая координата интегрирования $x j$ представлена точкой (иногда называемой вершиной);
Бозонный пропагатор представлен волнистой линией, соединяющей две точки;
Фермионный пропагатор изображается сплошной линией, соединяющей две точки;
Бозонное поле представлено волнистой линией, прикрепленной к точке $x$ $i$ ; $A_{\mu }(x_{i})$
Фермионное поле $ψ (x i)$ изображается сплошной линией, прикрепленной к точке $x i$ со стрелкой, направленной к этой точке;
Антифермионное поле $ψ (x i)$ изображается сплошной линией, присоединенной к точке $x i$ со стрелкой, направленной от точки;

Пример: процессы второго порядка в КЭД

Член возмущения второго порядка в $S$ -матрице равен

S^{(2)}={\frac {(ie)^{2}}{2!}}\int d^{4}x\,d^{4}x'\,T{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,\psi (x)\,A_{\mu }(x)\,{\bar {\psi }}(x')\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\nu }(x').\;

Рассеяние фермионов

Расширение Вика подынтегрального выражения дает (среди прочего) следующий член

N{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')\gamma ^{\nu }\psi (x'){\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}\;,

где

{\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i0}}e^{-ik(x-x')}

является электромагнитным сжатием (пропагатором) в калибровке Фейнмана. Этот термин представлен диаграммой Фейнмана справа. Эта диаграмма дает вклады в следующие процессы:

e ⁻ e ⁻ рассеяние (начальное состояние справа, конечное состояние слева на диаграмме);
e ⁺ e ⁺ рассеяние (начальное состояние слева, конечное состояние справа на диаграмме);
e ⁻ e ⁺ рассеяние (начальное состояние внизу/вверху, конечное состояние вверху/внизу диаграммы).

Комптоновское рассеяние и аннигиляция/генерация е⁻е⁺пары

Еще один интересный термин в расширении —

N{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,{\underline {\psi (x)\,{\bar {\psi }}(x')}}\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\mu }(x)\,A_{\nu }(x')\;,

где

{\underline {\psi (x){\bar {\psi }}(x')}}=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{\gamma p-m+i0}}e^{-ip(x-x')}

— фермионное сокращение (пропагатор).

Формулировка интеграла по траектории

В интеграле по траектории лагранжиан поля, интегрированный по всем возможным историям поля, определяет амплитуду вероятности перехода от одной конфигурации поля к другой. Чтобы иметь смысл, теория поля должна иметь четко определенное основное состояние , а интеграл должен быть выполнен немного повернутым в мнимое время, т. е. вращением Вика . Формализм интеграла по траектории полностью эквивалентен формализму канонического оператора выше.

Скалярное поле Лагранжиан

Простым примером является свободное релятивистское скалярное поле в $d$ измерениях, интеграл действия которого равен:

S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x\,.

Амплитуда вероятности для процесса равна:

\int _{A}^{B}e^{iS}\,D\phi \,,

где $A$ и $B$ — пространственноподобные гиперповерхности, определяющие граничные условия. Совокупность всех $φ (A)$ на начальной гиперповерхности дает начальное значение поля, аналогичное начальному положению точечной частицы, а значения поля $φ (B)$ в каждой точке конечной гиперповерхности определяют конечное значение поля, которому разрешено изменяться, давая различную амплитуду, чтобы в итоге прийти к различным значениям. Это амплитуда перехода от поля к полю.

Интеграл по траектории дает математическое ожидание операторов между начальным и конечным состоянием:

\int _{A}^{B}e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi =\left\langle A\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|B\right\rangle \,,

и в пределе, когда A и B отступают в бесконечное прошлое и бесконечное будущее, единственный вклад, который имеет значение, исходит от основного состояния (это строго верно только в том случае, если интеграл по траектории определен слегка повернутым в мнимое время). Интеграл по траектории можно рассматривать как аналог распределения вероятностей, и удобно определить его так, чтобы умножение на константу ничего не меняло:

{\frac {\displaystyle \int e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{iS}\,D\phi }}=\left\langle 0\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|0\right\rangle \,.

Нормировочный множитель внизу называется статистической суммой для поля, и он совпадает со статистической механической суммой при нулевой температуре при повороте в мнимое время.

Начальные и конечные амплитуды плохо определены, если думать о пределе континуума с самого начала, потому что флуктуации в поле могут стать неограниченными. Поэтому интеграл по траектории можно рассматривать как дискретную квадратную решетку с шагом решетки $a,$ и предел $a \to 0$ следует рассматривать осторожно ^{[ необходимо разъяснение ]} . Если конечные результаты не зависят от формы решетки или значения $a$ , то предел континуума существует.

На решетке

На решетке (i) поле можно разложить по модам Фурье :

\phi (x)=\int {\frac {dk}{(2\pi )^{d}}}\phi (k)e^{ik\cdot x}=\int _{k}\phi (k)e^{ikx}\,.

Здесь область интегрирования по $k$ ограничена кубом с длиной стороны $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠2π/а⁠$ , так что большие значения $k$ не допускаются. Важно отметить, что $k$ -мера содержит множители 2 $π$ из преобразований Фурье , это лучшее стандартное соглашение для $k$ -интегралов в QFT. Решетка означает, что флуктуации при больших $k$ не могут вносить вклад сразу, они начинают вносить вклад только в пределе $a \to 0$ . Иногда вместо решетки полевые моды просто обрезаются при высоких значениях $k$ .

Также удобно время от времени считать объем пространства-времени конечным, так что моды $k$ также являются решеткой. Это не так строго необходимо, как предел пространства-решетки, поскольку взаимодействия в $k$ не локализованы, но это удобно для отслеживания факторов перед $k$ -интегралами и дельта-функциями сохранения импульса, которые возникнут.

На решетке (ii) действие необходимо дискретизировать:

S=\sum _{\langle x,y\rangle }{\tfrac {1}{2}}{\big (}\phi (x)-\phi (y){\big )}^{2}\,,

где $⟨ x, y ⟩$ — пара ближайших соседей решетки $x$ и $y$ . Дискретизацию следует рассматривать как определение того, что означает производная $\partial μ φ$ .

В терминах решеточных мод Фурье действие можно записать:

S=\int _{k}{\Big (}{\big (}1-\cos(k_{1}){\big )}+{\big (}1-\cos(k_{2}){\big )}+\cdots +{\big (}1-\cos(k_{d}){\big )}{\Big )}\phi _{k}^{*}\phi ^{k}\,.

Для $k,$ близкого к нулю, это:

S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}\,.

Теперь у нас есть непрерывное преобразование Фурье исходного действия. В конечном объеме величина $d d k$ не является бесконечно малой, а становится объемом ящика, образованного соседними модами Фурье, или $(⁠ 2π / В ⁠) г$ .

Поле $φ$ является действительным, поэтому преобразование Фурье имеет вид:

\phi (k)^{*}=\phi (-k)\,.

В терминах действительных и мнимых частей, действительная часть $φ (k)$ является четной функцией k , а мнимая часть — нечетной. Преобразование Фурье позволяет избежать двойного счета, поэтому его можно записать $:$

S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi (k)\phi (-k)

по области интегрирования, которая интегрирует по каждой паре $(k,-k) ровно$ один раз.

Для комплексного скалярного поля с действием

S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x

преобразование Фурье не имеет ограничений:

S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}

и интеграл берется по всем $k$ .

Интегрирование по всем различным значениям $φ (x)$ эквивалентно интегрированию по всем модам Фурье, поскольку выполнение преобразования Фурье является унитарным линейным преобразованием координат поля. Когда вы изменяете координаты в многомерном интеграле с помощью линейного преобразования, значение нового интеграла задается определителем матрицы преобразования. Если

y_{i}=A_{ij}x_{j}\,,

затем

\det(A)\int dx_{1}\,dx_{2}\cdots \,dx_{n}=\int dy_{1}\,dy_{2}\cdots \,dy_{n}\,.

Если $A$ — это вращение, то

A^{\mathrm {T} }A=I

так что $det A = \pm1$ , а знак зависит от того, включает ли вращение отражение или нет.

Матрицу, которая изменяет координаты с $φ (x)$ на $φ (k),$ можно найти в определении преобразования Фурье.

A_{kx}=e^{ikx}\,

а теорема об обращении Фурье говорит вам об обратном:

A_{kx}^{-1}=e^{-ikx}\,

что является комплексным сопряжением-транспонированием, с точностью до множителей 2 $π$ . На решетке конечного объема определитель отличен от нуля и не зависит от значений поля.

\det A=1\,

а интеграл по траектории представляет собой отдельный множитель при каждом значении $k$ .

\int \exp \left({\frac {i}{2}}\sum _{k}k^{2}\phi ^{*}(k)\phi (k)\right)\,D\phi =\prod _{k}\int _{\phi _{k}}e^{{\frac {i}{2}}k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,

Фактор $d d k$ представляет собой бесконечно малый объем дискретной ячейки в $k$ -пространстве, в квадратной решетчатой коробке.

d^{d}k=\left({\frac {1}{L}}\right)^{d}\,,

где $L$ — длина стороны ящика. Каждый отдельный фактор — это осциллирующий гауссиан, а ширина гауссиана расходится по мере того, как объем стремится к бесконечности.

В мнимом времени евклидово действие становится положительно определенным и может быть интерпретировано как распределение вероятностей. Вероятность того, что поле имеет значения $φ k,$ равна

e^{\int _{k}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi _{k}^{*}\phi _{k}}=\prod _{k}e^{-k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,.

Ожидаемое значение поля — это статистическое ожидание значения поля, выбранное в соответствии с распределением вероятностей:

\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}

Поскольку вероятность $φ k$ является произведением, значение $φ k$ при каждом отдельном значении $k$ независимо распределено по Гауссу. Дисперсия гауссианы равна $⁠$ $1 / к 2 д д к ⁠$ , что формально бесконечно, но это просто означает, что флуктуации неограниченны в бесконечном объеме. В любом конечном объеме интеграл заменяется дискретной суммой, а дисперсия интеграла равна $⁠$ $В / к 2 ⁠$ .

Монте-Карло

Интеграл пути определяет вероятностный алгоритм для генерации конфигурации евклидового скалярного поля. Случайным образом выбираем действительную и мнимую части каждой моды Фурье при волновом числе $k,$ чтобы получить гауссовскую случайную величину с дисперсией $⁠$ $1 / к 2 ⁠$ . Это генерирует конфигурацию $φ C (k)$ случайным образом, а преобразование Фурье дает $φ C (x)$ . Для действительных скалярных полей алгоритм должен генерировать только одно из каждой пары $φ (k), φ (- k)$ и сделать второе комплексно сопряженным первым.

Чтобы найти любую корреляционную функцию, снова и снова генерируйте поле с помощью этой процедуры и найдите статистическое среднее:

\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle =\lim _{|C|\rightarrow \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{C}\phi _{C}(x_{1})\cdots \phi _{C}(x_{n})}{|C|}}

где $| C |$ — число конфигураций, а сумма — произведение значений поля в каждой конфигурации. Евклидова корреляционная функция — это то же самое, что и корреляционная функция в статистике или статистической механике. Квантово-механические корреляционные функции являются аналитическим продолжением евклидовых корреляционных функций.

Для свободных полей с квадратичным действием распределение вероятностей является многомерным гауссовым, а статистическое среднее задается явной формулой. Но метод Монте-Карло также хорошо работает для теорий бозонных взаимодействующих полей, где нет замкнутой формы для корреляционных функций.

Скалярный пропагатор

Каждая мода независимо распределена по Гауссу. Ожидание мод поля легко вычислить:

\left\langle \phi _{k}\phi _{k'}\right\rangle =0\,

для $k \neq k'$ , поскольку тогда две гауссовские случайные величины независимы и обе имеют нулевое среднее значение.

\left\langle \phi _{k}\phi _{k}\right\rangle ={\frac {V}{k^{2}}}

в конечном объеме $V$ , когда два значения $k$ совпадают, так как это дисперсия гауссиана. В пределе бесконечного объема,

\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{k^{2}}}

Строго говоря, это приближение: пропагатор решетки имеет вид:

\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{2{\big (}d-\cos(k_{1})+\cos(k_{2})\cdots +\cos(k_{d}){\big )}}}

Но вблизи $k = 0$ , для флуктуаций поля, больших по сравнению с периодом решетки, эти две формы совпадают.

Дельта-функции содержат множители 2π $,$ поэтому они сокращают множители 2π $в$ мере для $k$ интегралов.

\delta (k)=(2\pi )^{d}\delta _{D}(k_{1})\delta _{D}(k_{2})\cdots \delta _{D}(k_{d})\,

где $δ D (k)$ — обычная одномерная дельта-функция Дирака. Это соглашение для дельта-функций не является универсальным — некоторые авторы сохраняют множители 2 $π$ в дельта-функциях (и в $k$ -интегрировании) явными.

Уравнение движения

Форму пропагатора можно легче найти, используя уравнение движения для поля. Из лагранжиана уравнение движения имеет вид:

\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi =0\,

и в значении ожидания это говорит:

\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\left\langle \phi (x)\phi (y)\right\rangle =0

Где производные действуют на $x$ , и тождество истинно везде, кроме случаев, когда $x$ и $y$ совпадают, и порядок оператора имеет значение. Форму сингулярности можно понять из канонических коммутационных соотношений как дельта-функцию. Определение (евклидова) пропагатора Фейнмана $Δ$ как преобразования Фурье упорядоченной по времени двухточечной функции (той, которая получается из интеграла по траектории):

\partial ^{2}\Delta (x)=i\delta (x)\,

Так что:

\Delta (k)={\frac {i}{k^{2}}}

Если уравнения движения линейны, пропагатор всегда будет обратной величиной квадратичной матрицы, которая определяет свободный лагранжиан, поскольку это дает уравнения движения. Это также легко увидеть непосредственно из интеграла по траектории. Множитель $i$ исчезает в евклидовой теории.

Теорема Вика

Поскольку каждая мода поля является независимой гауссовой функцией, ожидаемые значения для произведения многих мод поля подчиняются теореме Вика :

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\cdots \phi (k_{n})\right\rangle

равен нулю, если моды поля не совпадают попарно. Это означает, что он равен нулю для нечетного числа $φ$ , а для четного числа $φ$ он равен вкладу каждой пары в отдельности с дельта-функцией.

\left\langle \phi (k_{1})\cdots \phi (k_{2n})\right\rangle =\sum \prod _{i,j}{\frac {\delta \left(k_{i}-k_{j}\right)}{k_{i}^{2}}}

где сумма берется по каждому разбиению мод поля на пары, а произведение — по парам. Например,

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\delta (k_{1}-k_{2})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{3}-k_{4})}{k_{3}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{3})}{k_{3}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{4})}{k_{2}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{4})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{3})}{k_{2}^{2}}}

Интерпретация теоремы Вика заключается в том, что каждую вставку поля можно рассматривать как свисающую линию, а ожидаемое значение вычисляется путем соединения линий в пары, добавления множителя дельта-функции, который гарантирует, что импульс каждого партнера в паре равен, и деления на пропагатор.

Высшие гауссовские моменты — завершение теоремы Вика

Остался тонкий момент, прежде чем будет доказана теорема Вика — что, если более двух s имеют одинаковый импульс? Если это нечетное число, интеграл равен нулю; отрицательные значения сокращаются с положительными значениями. Но если число четное, интеграл положительный. Предыдущая демонстрация предполагала, что s будут совпадать только парами. $\phi$ $\phi$

Но теорема верна даже тогда, когда произвольное число из равны, и это примечательное свойство гауссовой интеграции: $\phi$

I=\int e^{-ax^{2}/2}dx={\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}

{\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}I=\int {\frac {x^{2n}}{2^{n}}}e^{-ax^{2}/2}dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 2\cdot 2\ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;}}{\sqrt {2\pi }}\,a^{-{\frac {2n+1}{2}}}

Разделив на $I$ ,

\left\langle x^{2n}\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}}{\displaystyle \int e^{-ax^{2}/2}}}=1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1){\frac {1}{a^{n}}}

\left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {1}{a}}

Если бы теорема Вика была верна, то высшие моменты были бы даны всеми возможными парами списка из $2 n$ различных $x$ :

\left\langle x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{2n}\right\rangle

где $x$ — это все те же переменные, индекс нужен только для отслеживания количества способов их спаривания. Первый $x$ может быть спаренным с $2 n - 1$ другими, оставляя $2 n - 2$ . Следующий непарный $x$ может быть спаренным с $2 n - 3$ различными $x,$ оставляя $2 n - 4$ , и так далее. Это означает, что теорема Вика, неисправленная, гласит, что ожидаемое значение $x 2 n$ должно быть:

\left\langle x^{2n}\right\rangle =(2n-1)\cdot (2n-3)\ldots \cdot 5\cdot 3\cdot 1\left\langle x^{2}\right\rangle ^{n}

и это на самом деле правильный ответ. Так что теорема Вика верна независимо от того, сколько импульсов внутренних переменных совпадают.

Взаимодействие

Взаимодействия представлены вкладами более высокого порядка, поскольку квадратичные вклады всегда гауссовы. Простейшее взаимодействие — это квартикальное самовзаимодействие с действием:

S=\int \partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi +{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.

Причина комбинаторного множителя 4! скоро станет ясна. Запись действия в терминах решетчатых (или континуальных) мод Фурье:

S=\int _{k}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\int _{k_{1}k_{2}k_{3}k_{4}}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\delta (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})=S_{F}+X.

Где $S F$ — свободное действие, корреляционные функции которого задаются теоремой Вика. Экспонента $S$ в интеграле по траектории может быть разложена по степеням $λ$ , что дает ряд поправок к свободному действию.

e^{-S}=e^{-S_{F}}\left(1+X+{\frac {1}{2!}}XX+{\frac {1}{3!}}XXX+\cdots \right)

Интеграл пути для взаимодействующего действия тогда является степенным рядом поправок к свободному действию. Член, представленный $X,$ следует рассматривать как четыре полупрямых, по одной для каждого фактора $φ (k)$ . Полупрямые встречаются в вершине, что вносит вклад в дельта-функцию, которая гарантирует, что сумма импульсов все равны.

Для вычисления корреляционной функции во взаимодействующей теории теперь есть вклад членов $X.$ Например, интеграл по траектории для четырехполевого коррелятора:

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})D\phi }{Z}}

который в свободном поле был ненулевым только тогда, когда импульсы $k$ были равны попарно, теперь ненулевой для всех значений $k$ . Импульсы вставок $φ (k i)$ теперь могут совпадать с импульсами X $s$ в расширении. Вставки также следует рассматривать как полупрямые, четыре в данном случае, которые несут импульс $k$ , но один, который не интегрирован.

Вклад низшего порядка исходит от первого нетривиального члена $e - S F X$ в разложении Тейлора действия. Теорема Вика требует, чтобы импульсы в полупрямых $X , факторы$ $φ (k)$ в $X$ , совпадали с импульсами внешних полупрямых парами. Новый вклад равен:

\lambda {\frac {1}{k_{1}^{2}}}{\frac {1}{k_{2}^{2}}}{\frac {1}{k_{3}^{2}}}{\frac {1}{k_{4}^{2}}}\,.

4! внутри $X$ отменяется, поскольку существует ровно 4! способа сопоставить полупрямые в $X$ с внешними полупрямыми. Каждый из этих различных способов сопоставить полупрямые вместе в парах вносит ровно один вклад, независимо от значений $k 1,2,3,4$ , по теореме Вика.

Диаграммы Фейнмана

Разложение действия по степеням $X$ дает ряд членов с постепенно увеличивающимся числом $X.$ Вклад члена с ровно $n$ $X$ называется $n-$ м порядком.

Член $n$ -го порядка имеет:

$4 n$ внутренних полупрямых, которые являются множителями $φ (k)$ из $X$ s. Все они заканчиваются на вершине и интегрируются по всем возможным $k$ .
внешние полупрямые, которые возникают в результате вставок $φ (k)$ в интеграл.

По теореме Вика каждая пара полупрямых должна быть соединена вместе, чтобы образовать прямую , и эта прямая дает множитель

{\frac {\delta (k_{1}+k_{2})}{k_{1}^{2}}}

что умножает вклад. Это означает, что две полупрямые, которые составляют линию, вынуждены иметь равный и противоположный импульс. Сама линия должна быть помечена стрелкой, нарисованной параллельно линии и помеченной импульсом в линии $k$ . Полупрямая в хвосте стрелки несет импульс $k$ , в то время как полупрямая в головном конце несет импульс $- k$ . Если одна из двух полупрямых является внешней, это убивает интеграл по внутреннему $k$ , поскольку заставляет внутреннее $k$ быть равным внешнему $k$ . Если обе являются внутренними, интеграл по $k$ остается.

Диаграммы, которые образуются путем соединения полупрямых в $X$ с внешними полупрямыми, представляющими вставки, являются диаграммами Фейнмана этой теории. Каждая линия несет фактор $⁠$ $1 / к 2 ⁠$ , пропагатор, и либо идет от вершины к вершине, либо заканчивается вставкой. Если он внутренний, он интегрируется по. В каждой вершине общий входящий $k$ равен общему исходящему $k$ .

Число способов построения диаграммы путем соединения полупрямых в прямые почти полностью исключает факториальные множители, получаемые из ряда Тейлора экспоненты и 4! в каждой вершине.

Порядок цикла

Диаграмма леса — это диаграмма, в которой все внутренние линии имеют импульс, полностью определяемый внешними линиями и условием, что входящий и исходящий импульсы равны в каждой вершине. Вклад этих диаграмм является произведением пропагаторов, без какой-либо интеграции. Диаграмма дерева — это связанная диаграмма леса.

Примером древовидной диаграммы является та, где каждая из четырех внешних линий заканчивается на $X$ . Другой пример — когда три внешних линии заканчиваются на $X$ , а оставшаяся полулиния соединяется с другой $X$ , а оставшиеся полулинии этой $X$ расходятся к внешним линиям. Все это также диаграммы леса (поскольку каждое дерево является лесом); примером леса, который не является деревом, является случай, когда восемь внешних линий заканчиваются на двух $X$ .

Легко убедиться, что во всех этих случаях импульсы на всех внутренних линиях определяются внешними импульсами и условием сохранения импульса в каждой вершине.

Диаграмма, которая не является диаграммой леса, называется диаграммой цикла , и примером является диаграмма, в которой две линии $X$ соединены с внешними линиями, в то время как оставшиеся две линии соединены друг с другом. Две линии, соединенные друг с другом, могут иметь любой импульс, поскольку они обе входят и выходят из одной и той же вершины. Более сложный пример — это диаграмма, в которой два $X$ соединены друг с другом путем сопоставления ножек друг с другом. Эта диаграмма вообще не имеет внешних линий.

Причина, по которой петлевые диаграммы называются петлевыми диаграммами, заключается в том, что число $k$ -интегралов, которые остаются неопределенными из-за сохранения импульса, равно числу независимых замкнутых петель в диаграмме, где независимые петли подсчитываются как в теории гомологии . Гомология имеет вещественное значение (фактически имеет значение $R d$ ), значение, связанное с каждой линией, является импульсом. Граничный оператор переводит каждую линию в сумму конечных вершин с положительным знаком в начале и отрицательным знаком в конце. Условие сохранения импульса в точности совпадает с условием, что граница $k$ -значного взвешенного графа равна нулю.

Набор допустимых значений $k$ может быть произвольно переопределен всякий раз, когда есть замкнутый цикл. Замкнутый цикл — это циклический путь смежных вершин, который никогда не посещает одну и ту же вершину. Такой цикл можно рассматривать как границу гипотетической 2-клетки. $K$ -маркировки графа, сохраняющие импульс (т. е. имеющие нулевую границу) вплоть до переопределений $k$ (т. е. до границ 2-клеток), определяют первую гомологию графа. Число независимых импульсов, которые не определены, тогда равно числу независимых гомологических петель. Для многих графов это равно числу петель, подсчитанных наиболее интуитивным способом.

Факторы симметрии

Число способов формирования данной диаграммы Фейнмана путем соединения полупрямых велико, и по теореме Вика каждый способ объединения полупрямых вносит одинаковый вклад. Часто это полностью отменяет факториалы в знаменателе каждого члена, но иногда отмена неполная.

Несокращенный знаменатель называется фактором симметрии диаграммы. Вклад каждой диаграммы в корреляционную функцию должен быть разделен на ее фактор симметрии.

Например, рассмотрим диаграмму Фейнмана, образованную из двух внешних линий, соединенных с одной $X$ , и оставшихся двух полулиний в $X,$ соединенных друг с другом. Существует 4 × 3 способа соединить внешние полулинии с $X$ , а затем есть только один способ соединить две оставшиеся линии друг с другом. $X$ делится на 4! = 4 × 3 × 2 , но количество способов соединить полулинии $X$ , чтобы составить диаграмму, составляет всего 4 × 3, поэтому вклад этой диаграммы делится на два.

В качестве другого примера рассмотрим диаграмму, образованную путем соединения всех полупрямых одного $X$ со всеми полупрямыми другого $X.$ Эта диаграмма называется вакуумным пузырем , потому что она не соединяется ни с какими внешними линиями. Существует 4! способа сформировать эту диаграмму, но знаменатель включает 2! (из расширения экспоненты, есть два $X$ s) и два множителя 4!. Вклад умножается на ⁠4!/2 × 4! × 4!⁠ = ⁠1/48⁠ .

Другим примером является диаграмма Фейнмана, образованная из двух $X$ , где каждый $X$ соединяет до двух внешних линий, а оставшиеся две полулинии каждого $X$ соединены друг с другом. Число способов связать $X$ с двумя внешними линиями равно 4 × 3, и любой $X$ может соединиться с любой парой, что дает дополнительный множитель 2. Оставшиеся две полулинии в двух $X$ могут быть соединены друг с другом двумя способами, так что общее число способов сформировать диаграмму равно 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2 , в то время как знаменатель равен 4! × 4! × 2! . Общий фактор симметрии равен 2, и вклад этой диаграммы делится на 2.

Теорема о факторе симметрии дает фактор симметрии для общей диаграммы: вклад каждой диаграммы Фейнмана должен быть разделен на порядок ее группы автоморфизмов, число симметрий, которые она имеет.

Автоморфизм графа Фейнмана — это перестановка M $линий$ и перестановка $N$ вершин со следующими свойствами:

Если линия $l$ идет от вершины $v$ к вершине $v'$ , то $M (l)$ идет от $N (v)$ к $N (v')$ . Если линия ненаправленная, как для действительного скалярного поля, то $M (l)$ может идти и от $N (v')$ к $N (v)$ .
Если линия $l$ заканчивается на внешней линии, то $M (l)$ заканчивается на той же внешней линии.
Если существуют разные типы линий, $M (l)$ должен сохранить тип.

Эта теорема имеет интерпретацию в терминах траекторий частиц: при наличии идентичных частиц интеграл по всем промежуточным частицам не должен дважды учитывать состояния, которые отличаются только заменой идентичных частиц.

Доказательство: Чтобы доказать эту теорему, обозначьте все внутренние и внешние линии диаграммы уникальным именем. Затем сформируйте диаграмму, связав полупрямую с именем, а затем с другой полупрямой.

Теперь посчитайте количество способов формирования именованной диаграммы. Каждая перестановка $X$ дает разную схему связывания имен с полупрямыми, и это множитель $n!$ . Каждая перестановка полупрямых в одном $X$ дает множитель 4!. Таким образом, именованная диаграмма может быть сформирована ровно таким же количеством способов, как и знаменатель разложения Фейнмана.

Но число неименованных диаграмм меньше числа именованных диаграмм на порядок группы автоморфизмов графа.

Связанные диаграммы:теорема о связанных кластерах

Грубо говоря, диаграмма Фейнмана называется связанной , если все вершины и линии пропагаторов связаны последовательностью вершин и пропагаторов самой диаграммы. Если рассматривать ее как неориентированный граф, то она связана. Замечательная значимость таких диаграмм в квантовых теориях поля обусловлена тем, что они достаточны для определения квантовой статистической суммы $Z [J]$ . Точнее, связанные диаграммы Фейнмана определяют

iW[J]\equiv \ln Z[J].

Чтобы увидеть это, следует вспомнить, что

Z[J]\propto \sum _{k}{D_{k}}

с $D k ,$ построенным из некоторой (произвольной) диаграммы Фейнмана, которую можно считать состоящей из нескольких связанных компонентов $C i$ . Если мы сталкиваемся $с n i$ (идентичными) копиями компонента $C i$ в диаграмме Фейнмана $D k ,$ то нам нужно включить фактор симметрии $n i!$ . Однако в конечном итоге каждый вклад диаграммы Фейнмана $D k$ в функцию распределения имеет общую форму

\prod _{i}{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}

где $i$ обозначает (бесконечно) множество возможных связанных диаграмм Фейнмана.

Схема последовательного создания таких вкладов от $D k$ до $Z [J]$ получается следующим образом:

\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {C_{1}}{1!}}+{\frac {C_{1}^{2}}{2!}}+\cdots \right)\left(1+C_{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}^{2}+\cdots \right)\cdots

и поэтому дает

Z[J]\propto \prod _{i}{\sum _{n_{i}=0}^{\infty }{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}=\exp {\sum _{i}{C_{i}}}\propto \exp {W[J]}\,.

Для установления нормировки Z $0 = exp W [0] = 1$ просто вычисляются все связанные вакуумные диаграммы , т. е. диаграммы без каких-либо источников $J$ (иногда называемые внешними ветвями диаграммы Фейнмана).

Теорема о связанных кластерах была впервые доказана для порядка четыре Кейтом Брукнером в 1955 году, а для бесконечных порядков — Джеффри Голдстоуном в 1957 году ^{. [11]}

Вакуумные пузыри

Непосредственным следствием теоремы о связанном кластере является то, что все вакуумные пузыри, диаграммы без внешних линий, отменяют друг друга при вычислении корреляционных функций. Корреляционная функция задается отношением интегралов по траектории:

\left\langle \phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}\,.

Верхняя часть представляет собой сумму по всем диаграммам Фейнмана, включая несвязанные диаграммы, которые вообще не связаны с внешними линиями. В терминах связанных диаграмм числитель включает те же вклады вакуумных пузырьков, что и знаменатель:

\int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi =\left(\sum E_{i}\right)\left(\exp \left(\sum _{i}C_{i}\right)\right)\,.

Где сумма по диаграммам $E$ включает только те диаграммы, каждая из связных компонент которых заканчивается хотя бы на одной внешней линии. Вакуумные пузыри одинаковы, независимо от внешних линий, и дают общий мультипликативный множитель. Знаменатель — это сумма по всем вакуумным пузырям, а деление избавляет от второго множителя.

Вакуумные пузырьки тогда полезны только для определения самого $Z$ , который из определения интеграла по траектории равен:

Z=\int e^{-S}D\phi =e^{-HT}=e^{-\rho V}

где $ρ$ — плотность энергии в вакууме. Каждый вакуумный пузырек содержит фактор $δ (k),$ обнуляющий общее $k$ в каждой вершине, а когда нет внешних линий, он содержит фактор $δ (0)$ , поскольку сохранение импульса избыточно. В конечном объеме этот фактор можно определить как общий объем пространства-времени. Разделив на объем, оставшийся интеграл для вакуумного пузыря имеет интерпретацию: это вклад в плотность энергии вакуума.

Источники

Корреляционные функции являются суммой связанных диаграмм Фейнмана, но формализм по-разному трактует связанные и несвязанные диаграммы. Внутренние линии заканчиваются вершинами, а внешние линии уходят во вставки. Введение источников объединяет формализм, создавая новые вершины там, где может заканчиваться одна линия.

Источники — это внешние поля, поля, которые вносят вклад в действие, но не являются динамическими переменными. Источник скалярного поля — это другое скалярное поле $h$ , которое вносит член в (лоренцев) лагранжиан:

\int h(x)\phi (x)\,d^{d}x=\int h(k)\phi (k)\,d^{d}k\,

В разложении Фейнмана это вносит H-члены с одной полупрямой, заканчивающейся на вершине. Линии в диаграмме Фейнмана теперь могут заканчиваться либо на вершине $X$ , либо на вершине $H$ , и только одна линия входит в вершину $H.$ Правило Фейнмана для вершины $H$ заключается в том, что линия из $H$ с импульсом $k$ получает множитель $h (k)$ .

Сумма связанных диаграмм при наличии источников включает в себя термин для каждой связанной диаграммы при отсутствии источников, за исключением того, что теперь диаграммы могут заканчиваться на источнике. Традиционно источник представлен маленьким "×" с одной вытянутой линией, точно как вставка.

\log {\big (}Z[h]{\big )}=\sum _{n,C}h(k_{1})h(k_{2})\cdots h(k_{n})C(k_{1},\cdots ,k_{n})\,

где $C (k 1,..., k n)$ — связанная диаграмма с $n$ внешними линиями, несущими импульс, как указано. Сумма берется по всем связанным диаграммам, как и прежде.

Поле $h$ не является динамическим, что означает, что нет интеграла по траектории по $h$ : $h$ — это просто параметр в лагранжиане, который меняется от точки к точке. Интеграл по траектории для поля равен:

Z[h]=\int e^{iS+i\int h\phi }\,D\phi \,

и это функция значений $h$ в каждой точке. Один из способов интерпретировать это выражение состоит в том, что оно принимает преобразование Фурье в пространстве поля. Если есть плотность вероятности на $R n$ , преобразование Фурье плотности вероятности равно:

\int \rho (y)e^{iky}\,d^{n}y=\left\langle e^{iky}\right\rangle =\left\langle \prod _{i=1}^{n}e^{ih_{i}y_{i}}\right\rangle \,

Преобразование Фурье — это ожидание колебательной экспоненты. Интеграл по траектории при наличии источника $h (x)$ равен:

Z[h]=\int e^{iS}e^{i\int _{x}h(x)\phi (x)}\,D\phi =\left\langle e^{ih\phi }\right\rangle

который на решетке является произведением колебательной экспоненты для каждого значения поля:

\left\langle \prod _{x}e^{ih_{x}\phi _{x}}\right\rangle

Преобразование Фурье дельта-функции является константой, которая дает формальное выражение для дельта-функции:

\delta (x-y)=\int e^{ik(x-y)}\,dk

Это говорит вам, как выглядит дельта-функция поля в интеграле по траектории. Для двух скалярных полей $φ$ и $η$ ,

\delta (\phi -\eta )=\int e^{ih(x){\big (}\phi (x)-\eta (x){\big )}\,d^{d}x}\,Dh\,,

которая интегрируется по координате преобразования Фурье, по $h$ . Это выражение полезно для формального изменения координат поля в интеграле по траектории, подобно тому, как дельта-функция используется для изменения координат в обычном многомерном интеграле.

Функция распределения теперь является функцией поля $h$ , а физическая функция распределения — это значение, когда $h$ — нулевая функция:

Корреляционные функции являются производными интеграла по траектории относительно источника:

\left\langle \phi (x)\right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h(x)}}Z[h]={\frac {\partial }{\partial h(x)}}\log {\big (}Z[h]{\big )}\,.

В евклидовом пространстве вклады источников в действие по-прежнему могут появляться с множителем $i$ , так что они по-прежнему выполняют преобразование Фурье.

Вращаться⁠1/2⁠; "фотоны" и "призраки"

Вращаться⁠1/2⁠: Интегралы Грассмана

Интеграл по траектории поля может быть расширен до случая Ферми, но только если понятие интегрирования расширено. Интеграл Грассмана свободного поля Ферми — это многомерный определитель или Пфаффиан , который определяет новый тип гауссовой интеграции, подходящий для полей Ферми.

Две основные формулы интегрирования Грассмана:

\int e^{M_{ij}{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{j}}\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)\,,

где $M$ — произвольная матрица, а $ψ, ψ$ — независимые переменные Грассмана для каждого индекса $i$ , и

\int e^{{\frac {1}{2}}A_{ij}\psi ^{i}\psi ^{j}}\,D\psi =\mathrm {Pfaff} (A)\,,

где $A$ — антисимметричная матрица, $ψ$ — набор переменных Грассмана, а ⁠1/2⁠ заключается в предотвращении двойного счета (поскольку $ψ i ψ j = - ψ j ψ i$ ).

В матричной записи, где $ψ$ и $η$ — грассмановозначные векторы-строки, $η$ и $ψ$ — грассмановозначные векторы-столбцы, а $M$ — вещественная матрица:

Z=\int e^{{\bar {\psi }}M\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\int e^{\left({\bar {\psi }}+{\bar {\eta }}M^{-1}\right)M\left(\psi +M^{-1}\eta \right)-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)e^{-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,,

где последнее равенство является следствием инвариантности грассманова интеграла относительно трансляции. Переменные Грассмана $η$ являются внешними источниками для $ψ$ , и дифференцирование по $η$ снижает множители $ψ$ .

\left\langle {\bar {\psi }}\psi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\eta }}}}Z|_{\eta ={\bar {\eta }}=0}=M^{-1}

снова, в схематической матричной записи. Смысл формулы выше в том, что производная по соответствующему компоненту $η$ и $η$ дает матричный элемент $M -1$ . Это в точности аналогично формуле интегрирования бозонного пути для гауссова интеграла комплексного бозонного поля:

\int e^{\phi ^{*}M\phi +h^{*}\phi +\phi ^{*}h}\,D\phi ^{*}\,D\phi ={\frac {e^{h^{*}M^{-1}h}}{\mathrm {Det} (M)}}

\left\langle \phi ^{*}\phi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h}}{\frac {\partial }{\partial h^{*}}}Z|_{h=h^{*}=0}=M^{-1}\,.

Таким образом, пропагатор является обратной матрицей в квадратичной части действия как в случае Бозе, так и в случае Ферми.

Для реальных полей Грассмана, для фермионов Майораны , интеграл по траектории — это пфаффиан, умноженный на исходную квадратичную форму, и формулы дают квадратный корень определителя, как и для реальных бозонных полей. Пропагатор по-прежнему является обратной величиной квадратичной части.

Свободный лагранжиан Дирака:

\int {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi

формально дает уравнения движения и антикоммутационные соотношения поля Дирака, так же как лагранжиан Клейна-Гордона в обычном интеграле по траектории дает уравнения движения и коммутационные соотношения скалярного поля. Используя пространственное преобразование Фурье поля Дирака в качестве нового базиса для алгебры Грассмана, квадратичная часть действия Дирака становится просто инвертируемой:

S=\int _{k}{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m\right)\psi \,.

Пропагатор является обратной матрицей $M,$ связывающей $ψ (k)$ и $ψ (k)$ , поскольку различные значения $k$ не смешиваются.

\left\langle {\bar {\psi }}(k')\psi (k)\right\rangle =\delta (k+k'){\frac {1}{\gamma \cdot k-m}}=\delta (k+k'){\frac {\gamma \cdot k+m}{k^{2}-m^{2}}}

Аналог теоремы Вика сопоставляет $ψ$ и $ψ$ попарно:

\left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}

где S — знак перестановки, которая переупорядочивает последовательность $ψ$ и $ψ,$ чтобы поместить те, которые объединены в пары, чтобы сделать дельта-функции рядом друг с другом, причем $ψ$ идет прямо перед $ψ$ . Поскольку пара $ψ, ψ$ является коммутирующим элементом алгебры Грассмана, неважно, в каком порядке находятся пары. Если более чем одна пара $ψ, ψ$ имеет одинаковое $k$ , интеграл равен нулю, и легко проверить, что сумма по парам дает в этом случае ноль (их всегда четное количество). Это грассманов аналог высших гауссовых моментов, которые ранее завершили бозонную теорему Вика.

Правила спин- ⁠1/2⁠ Частицы Дирака следующие: пропагатор является обратным оператору Дирака, линии имеют стрелки, как для комплексного скалярного поля, и диаграмма приобретает общий множитель −1 для каждой замкнутой петли Ферми. Если имеется нечетное количество петель Ферми, диаграмма меняет знак. Исторически правило −1 было очень трудно открыть Фейнману. Он открыл его после долгого процесса проб и ошибок, поскольку у него не было надлежащей теории интегрирования Грассмана.

Правило следует из наблюдения, что число линий Ферми в вершине всегда четно. Каждый член в лагранжиане всегда должен быть бозонным. Петля Ферми подсчитывается путем следования фермионным линиям до тех пор, пока не вернешься в начальную точку, а затем удаляя эти линии из диаграммы. Повторение этого процесса в конечном итоге стирает все фермионные линии: это алгоритм Эйлера для двухцветной раскраски графа, который работает, когда каждая вершина имеет четную степень. Число шагов в алгоритме Эйлера равно только числу независимых фермионных гомологических циклов в общем частном случае, когда все члены в лагранжиане являются точно квадратичными в полях Ферми, так что каждая вершина имеет ровно две фермионные линии. Когда есть взаимодействия с четырьмя Ферми (как в эффективной теории Ферми слабых ядерных взаимодействий ), $k$ -интегралов больше, чем фермионных петель. В этом случае правило подсчета должно применять алгоритм Эйлера, объединяя линии Ферми в каждой вершине в пары, которые вместе образуют бозонный множитель члена в лагранжиане, и при входе в вершину по одной линии алгоритм должен всегда выходить с линией-партнером.

Чтобы прояснить и доказать правило, рассмотрим диаграмму Фейнмана, образованную вершинами, членами в лагранжиане, с фермионными полями. Полный член — бозонный, это коммутирующий элемент алгебры Грассмана, поэтому порядок, в котором появляются вершины, не важен. Линии Ферми связаны в петли, и при обходе петли можно переупорядочивать члены вершин одну за другой по мере обхода без каких-либо затрат на знак. Исключением является случай, когда вы возвращаетесь в начальную точку, и конечная полупрямая должна быть соединена с несвязанной первой полупрямой. Это требует одной перестановки, чтобы переместить последнюю $ψ$ так, чтобы она оказалась перед первой $ψ$ , и это дает знак.

Это правило является единственным видимым эффектом принципа исключения во внутренних линиях. Когда есть внешние линии, амплитуды антисимметричны, когда две фермиевставки для идентичных частиц меняются местами. Это происходит автоматически в формализме источника, поскольку источники для фермиевских полей сами по себе являются грассмановскими.

Спин 1: фотоны

Наивный пропагатор для фотонов бесконечен, поскольку лагранжиан для А-поля равен:

S=\int {\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=\int -{\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A_{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\mu }A_{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }\right)\,.

Квадратичная форма, определяющая пропагатор, необратима. Причина в калибровочной инвариантности поля; добавление градиента к $A$ не меняет физику.

Чтобы исправить эту проблему, нужно исправить калибровку. Самый удобный способ — потребовать, чтобы дивергенция $A$ была некоторой функцией $f$ , значение которой случайно от точки к точке. Интеграция по значениям $f$ не повредит , поскольку она определяет только выбор калибровки. Эта процедура вставляет следующий множитель в интеграл по траектории для $A$ :

\int \delta \left(\partial _{\mu }A^{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\,Df\,.

Первый фактор, дельта-функция, фиксирует калибровку. Второй фактор суммирует по разным значениям $f$ , которые являются неэквивалентными фиксациями калибровок. Это просто

e^{-{\frac {\left(\partial _{\mu }A_{\mu }\right)^{2}}{2}}}\,.

Дополнительный вклад от фиксации калибровки отменяет вторую половину свободного лагранжиана, давая лагранжиан Фейнмана:

S=\int \partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }

что похоже на четыре независимых свободных скалярных поля, по одному для каждого компонента $A.$ Пропагатор Фейнмана имеет вид:

\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}}}.

Единственное отличие состоит в том, что знак одного пропагатора неверен в случае Лоренца: времениподобный компонент имеет пропагатор с противоположным знаком. Это означает, что эти состояния частиц имеют отрицательную норму — они не являются физическими состояниями. В случае фотонов легко показать с помощью методов диаграмм, что эти состояния не являются физическими — их вклад сокращается с продольными фотонами, оставляя только два физических вклада поляризации фотона для любого значения $k$ .

Если усреднение по $f$ выполняется с коэффициентом, отличным от ⁠1/2⁠ , два члена не отменяют полностью. Это дает ковариантный лагранжиан с коэффициентом , который ни на что не влияет: $\lambda$

S=\int {\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }-\lambda \left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}\right)

и ковариантный пропагатор для QED равен:

\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }-\lambda {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}}}.

Спин 1: неабелевы призраки

Чтобы найти правила Фейнмана для неабелевых калибровочных полей, необходимо тщательно скорректировать процедуру, которая выполняет фиксацию калибровки, чтобы учесть изменение переменных в интеграле по траектории.

Фактор фиксации калибра имеет дополнительный определитель от выталкивания дельта-функции:

\delta \left(\partial _{\mu }A_{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\det M

Чтобы найти форму определителя, рассмотрим сначала простой двумерный интеграл функции $f$ , зависящий только от $r$ , а не от угла $θ$ . Подставим интеграл по $θ$ :

\int f(r)\,dx\,dy=\int f(r)\int d\theta \,\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy

Производный фактор гарантирует, что удаление дельта-функции в $θ$ удаляет интеграл. Меняя порядок интегрирования,

\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta \,\int f(r)\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy

но теперь дельта-функцию можно подставить в $y$ ,

\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta _{0}\,\int f(x)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,.

Интеграл по $θ$ дает всего лишь общий множитель 2π $,$ тогда как скорость изменения $y$ при изменении $θ$ равна просто $x$ , поэтому это упражнение воспроизводит стандартную формулу для полярного интегрирования радиальной функции:

\int f(r)\,dx\,dy=2\pi \int f(x)x\,dx

В интеграле по траектории для неабелева калибровочного поля аналогичная манипуляция имеет вид:

\int DA\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)\,DGe^{iS}=\int DG\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS}\,

Фактор впереди — это объем группы калибров, и он вносит константу, которую можно отбросить. Оставшийся интеграл — по фиксированному действию калибра.

\int \det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS_{GF}}\,DA\,

Чтобы получить ковариантную калибровку, условие фиксации калибровки такое же, как и в абелевом случае:

\partial _{\mu }A^{\mu }=f\,,

Изменение которой при бесконечно малом калибровочном преобразовании определяется выражением:

\partial _{\mu }\,D_{\mu }\alpha \,,

где $α$ — сопряженный элемент алгебры Ли в каждой точке, которая выполняет бесконечно малое калибровочное преобразование. Это добавляет определитель Фаддеева-Попова к действию:

\det \left(\partial _{\mu }\,D_{\mu }\right)\,

который можно переписать как интеграл Грассмана, введя призрачные поля:

\int e^{{\bar {\eta }}\partial _{\mu }\,D^{\mu }\eta }\,D{\bar {\eta }}\,D\eta \,

Определитель не зависит от $f$ , поэтому интеграл по траектории по $f$ может дать пропагатор Фейнмана (или ковариантный пропагатор), выбрав меру для $f$ как в абелевом случае. Полное фиксированное действие калибровки тогда является действием Янга-Миллса в калибровке Фейнмана с дополнительным действием-призраком:

S=\int \operatorname {Tr} \partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+f_{jk}^{i}\partial ^{\nu }A_{i}^{\mu }A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}+f_{jr}^{i}f_{kl}^{r}A_{i}A_{j}A^{k}A^{l}+\operatorname {Tr} \partial _{\mu }{\bar {\eta }}\partial ^{\mu }\eta +{\bar {\eta }}A_{j}\eta \,

Диаграммы получены из этого действия. Пропагатор для полей спина 1 имеет обычную форму Фейнмана. Есть вершины степени 3 с факторами импульса, связи которых являются структурными константами, и вершины степени 4, связи которых являются произведениями структурных констант. Есть дополнительные петли-призраки, которые отменяют временные и продольные состояния в петлях $A.$

В абелевом случае определитель для ковариантных калибровок не зависит от $A$ , поэтому призраки не вносят вклад в связные диаграммы.

Представление траектории частиц

Диаграммы Фейнмана были первоначально открыты Фейнманом методом проб и ошибок как способ представления вклада в S-матрицу различных классов траекторий частиц.

Швингер представительство

Евклидов скалярный пропагатор имеет наводящее представление:

{\frac {1}{p^{2}+m^{2}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-\tau \left(p^{2}+m^{2}\right)}\,d\tau

Смысл этого тождества (являющегося элементарной интеграцией) становится более понятным благодаря преобразованию Фурье к реальному пространству.

\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-m^{2}\tau }{\frac {1}{({4\pi \tau })^{d/2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\tau }}

Вклад в пропагатор при любом значении $τ$ представляет собой гауссиану шириной $\sqrt τ$ . Полная функция распространения от 0 до $x$ представляет собой взвешенную сумму по всем собственным временам $τ$ нормализованной гауссианы, вероятность оказаться в точке $x$ после случайного блуждания за время $τ$ .

Тогда представление интеграла по траектории для пропагатора будет следующим:

\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau \int DX\,e^{-\int \limits _{0}^{\tau }\left({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+m^{2}\right)d\tau '}

что является переписыванием представления Швингера с помощью интеграла по траекториям .

Представление Швингера полезно как для проявления корпускулярного аспекта пропагатора, так и для симметризации знаменателей петлевых диаграмм.

Объединение знаменателей

Представление Швингера имеет непосредственное практическое применение к петлевым диаграммам. Например, для диаграммы в теории $φ 4$ , образованной путем соединения двух $x$ s в две полупрямые и превращения оставшихся прямых во внешние, интеграл по внутренним пропагаторам в петле равен:

\int _{k}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p)^{2}+m^{2}}}\,.

Здесь одна линия несет импульс $k,$ а другая $k + p$ . Асимметрию можно исправить, поместив все в представление Швингера.

\int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'\left((k+p)^{2}+m^{2}\right)}\,dt\,dt'\,.

Теперь показатель степени в основном зависит от $t + t'$ ,

\int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2p\cdot k-t'p^{2}}\,,

за исключением асимметричного маленького бита. Определение переменной $u = t + t'$ и $v = ⁠ т' / ты ⁠$ , переменная $u$ изменяется от 0 до $\infty$ , а $v$ изменяется от 0 до 1. Переменная $u$ — это общее собственное время цикла, а $v$ параметризует долю собственного времени в верхней части цикла по сравнению с нижней.

Якобиан для этого преобразования переменных легко вычислить из тождеств :

d(uv)=dt'\quad du=dt+dt'\,,

и " расклинивание " дает

u\,du\wedge dv=dt\wedge dt'\,

Это позволяет явно оценить интеграл $u :$

\int _{u,v}ue^{-u\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k+vp^{2}\right)}=\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k-vp^{2}\right)^{2}}}\,dv

оставляя только $v$ -интеграл. Этот метод, изобретенный Швингером, но обычно приписываемый Фейнману, называется объединением знаменателя . Абстрактно, это элементарное тождество:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\big (}vA+(1-v)B{\big )}^{2}}}\,dv

Однако эта форма не дает физической мотивации для введения $v$ ; $v$ — это доля собственного времени на одном из участков петли.

После объединения знаменателей сдвиг $k$ до $k' = k + vp$ симметрирует все:

\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+2vp\cdot k+vp^{2}\right)^{2}}}\,dk\,dv=\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k'^{2}+m^{2}+v(1-v)p^{2}\right)^{2}}}\,dk'\,dv

Эта форма показывает, что в момент, когда $p 2$ отрицательнее, чем четырехкратная масса частицы в петле, что происходит в физической области пространства Лоренца , интеграл имеет разрез. Это как раз тот момент, когда внешний импульс может создавать физические частицы.

Чем больше вершин в цикле, тем больше знаменателей нужно объединить:

\int dk\,{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p_{1})^{2}+m^{2}}}\cdots {\frac {1}{(k+p_{n})^{2}+m^{2}}}

Общее правило следует из рецепта Швингера для $n + 1$ знаменателей:

{\frac {1}{D_{0}D_{1}\cdots D_{n}}}=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }e^{-u_{0}D_{0}\cdots -u_{n}D_{n}}\,du_{0}\cdots du_{n}\,.

Интеграл по параметрам Швингера $u i$ можно разбить, как и прежде, на интеграл по полному собственному времени $u = u 0 + u 1 ... + u n$ и интеграл по доле собственного времени во всех сегментах петли, кроме первого, $v i = ⁠ ты я / ты ⁠$ для $i \in {1,2,..., n}$ . $Числа v i$ положительны и в сумме дают меньше 1, так что $интеграл v$ берется по $n$ -мерному симплексу.

Якобиан для преобразования координат можно вычислить, как и прежде:

du=du_{0}+du_{1}\cdots +du_{n}\,

d(uv_{i})=du_{i}\,.

Объединяя все эти уравнения вместе, получаем

u^{n}\,du\wedge dv_{1}\wedge dv_{2}\cdots \wedge dv_{n}=du_{0}\wedge du_{1}\cdots \wedge du_{n}\,.

Это дает интеграл:

\int _{0}^{\infty }\int _{\mathrm {simplex} }u^{n}e^{-u\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}+v_{2}D_{2}\cdots +v_{n}D_{n}\right)}\,dv_{1}\cdots dv_{n}\,du\,,

где симплекс — это область, определяемая условиями

v_{i}>0\quad {\mbox{and}}\quad \sum _{i=1}^{n}v_{i}<1

а также

v_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,.

Выполнение интеграла $u$ дает общее предписание для объединения знаменателей:

{\frac {1}{D_{0}\cdots D_{n}}}=n!\int _{\mathrm {simplex} }{\frac {1}{\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}\cdots +v_{n}D_{n}\right)^{n+1}}}\,dv_{1}\,dv_{2}\cdots dv_{n}

Поскольку числитель подынтегральной функции не задействован, то же самое предписание работает для любого цикла, независимо от того, какие спины несут ноги. Интерпретация параметров $v i$ заключается в том, что они являются долей общего собственного времени, затраченного на каждую ногу.

Рассеивание

Корреляционные функции квантовой теории поля описывают рассеяние частиц. Определение «частицы» в релятивистской теории поля не является самоочевидным, поскольку если попытаться определить положение так, чтобы неопределенность была меньше длины волны Комптона , неопределенность энергии будет достаточно большой, чтобы произвести больше частиц и античастиц того же типа из вакуума. Это означает, что понятие одночастичного состояния в некоторой степени несовместимо с понятием объекта, локализованного в пространстве.

В 1930-х годах Вигнер дал математическое определение для одночастичных состояний: они представляют собой набор состояний, которые образуют неприводимое представление группы Пуанкаре. Одночастичные состояния описывают объект с конечной массой, четко определенным импульсом и спином. Это определение подходит для протонов и нейтронов, электронов и фотонов, но оно исключает кварки, которые постоянно ограничены, поэтому современная точка зрения более приемлема: частица — это все, взаимодействие чего можно описать в терминах диаграмм Фейнмана, которые имеют интерпретацию как сумма по траекториям частиц.

Оператор поля может действовать, чтобы произвести одночастичное состояние из вакуума, что означает, что оператор поля $φ (x)$ производит суперпозицию состояний частиц Вигнера. В теории свободного поля поле производит только одночастичные состояния. Но когда есть взаимодействия, оператор поля может также производить 3-частичные, 5-частичные (если нет симметрии +/−, то также 2, 4, 6) состояния. Для вычисления амплитуды рассеяния для одночастичных состояний требуется только осторожное ограничение, отправка полей на бесконечность и интегрирование по пространству, чтобы избавиться от поправок более высокого порядка.

Связь между функциями рассеяния и корреляции определяется теоремой ЛСЗ: амплитуда рассеяния для $n$ частиц, превращающихся в $m$ частиц в акте рассеяния, определяется суммой диаграмм Фейнмана, которые входят в корреляционную функцию для $n + m$ вставок поля, исключая пропагаторы для внешних ветвей.

Например, для взаимодействия $λφ 4$ из предыдущего раздела вклад порядка $λ$ в корреляционную функцию (Лоренца) равен:

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {i}{k_{1}^{2}}}{\frac {i}{k_{2}^{2}}}{\frac {i}{k_{3}^{2}}}{\frac {i}{k_{4}^{2}}}i\lambda \,

Отбрасывание внешних пропагаторов, то есть удаление факторов $⁠$ $я / к 2 ⁠$ , дает инвариантную амплитуду рассеяния $M$ :

M=i\lambda \,

которая является константой, независимой от входящего и исходящего импульса. Интерпретация амплитуды рассеяния заключается в том, что сумма $| M | 2$ по всем возможным конечным состояниям является вероятностью события рассеяния. Однако нормировка одночастичных состояний должна быть выбрана тщательно, чтобы гарантировать, что $M$ является релятивистским инвариантом.

Нерелятивистские состояния одной частицы помечены импульсом $k$ , и они выбраны так, чтобы иметь одну и ту же норму при каждом значении $k$ . Это происходит потому, что нерелятивистский единичный оператор для состояний одной частицы равен:

\int dk\,|k\rangle \langle k|\,.

В теории относительности интеграл по $k$ -состояниям для частицы массой m интегрируется по гиперболе в пространстве $E, k,$ определяемой соотношением энергии-импульса:

E^{2}-k^{2}=m^{2}\,.

Если интеграл весит каждую точку $k$ одинаково, мера не является Лоренц-инвариантной. Инвариантная мера интегрируется по всем значениям $k$ и $E$ , ограничиваясь гиперболой с Лоренц-инвариантной дельта-функцией:

\int \delta (E^{2}-k^{2}-m^{2})|E,k\rangle \langle E,k|\,dE\,dk=\int {dk \over 2E}|k\rangle \langle k|\,.

Таким образом, нормализованные $k$ -состояния отличаются от релятивистски нормализованных $k$ -состояний в раз

{\sqrt {E}}=\left(k^{2}-m^{2}\right)^{\frac {1}{4}}\,.

Тогда инвариантная амплитуда $M$ представляет собой амплитуду вероятности того, что релятивистски нормализованные входящие состояния станут релятивистски нормализованными исходящими состояниями.

Для нерелятивистских значений $k$ релятивистская нормировка совпадает с нерелятивистской нормировкой (с точностью до постоянного множителя $\sqrt m$ ). В этом пределе инвариантная амплитуда рассеяния $φ 4$ остается постоянной. Частицы, созданные полем $φ,$ рассеиваются во всех направлениях с одинаковой амплитудой.

Нерелятивистский потенциал, рассеивающийся во всех направлениях с одинаковой амплитудой (в приближении Борна ), — это потенциал, преобразование Фурье которого постоянно — дельта-функциональный потенциал. Рассеяние низшего порядка теории раскрывает нерелятивистскую интерпретацию этой теории — она описывает совокупность частиц с дельта-функциональным отталкиванием. Две такие частицы испытывают отвращение к тому, чтобы занимать одну и ту же точку в одно и то же время.

Непертурбативные эффекты

Думая о диаграммах Фейнмана как о рядах возмущений , непертурбативные эффекты, такие как туннелирование, не проявляются, поскольку любой эффект, который стремится к нулю быстрее любого полинома, не влияет на ряд Тейлора. Даже связанные состояния отсутствуют, поскольку в любом конечном порядке частицы обмениваются только конечное число раз, и для создания связанного состояния связующая сила должна существовать вечно.

Но эта точка зрения вводит в заблуждение, потому что диаграммы не только описывают рассеяние, но и являются представлением корреляций теории поля на коротких расстояниях. Они кодируют не только асимптотические процессы, такие как рассеяние частиц, они также описывают правила умножения для полей, операторное разложение продукта . Непертурбативные туннельные процессы включают конфигурации полей, которые в среднем становятся большими, когда константа связи становится маленькой, но каждая конфигурация является когерентной суперпозицией частиц, локальные взаимодействия которых описываются диаграммами Фейнмана. Когда связь мала, они становятся коллективными процессами, которые включают большое количество частиц, но где взаимодействия между каждой из частиц являются простыми. ^{[ необходима цитата ]} (Ряд возмущений любой взаимодействующей квантовой теории поля имеет нулевой радиус сходимости , усложняя предел бесконечной серии диаграмм, необходимых (в пределе исчезающей связи) для описания таких конфигураций полей.)

Это означает, что непертурбативные эффекты проявляются асимптотически в пересуммированиях бесконечных классов диаграмм, и эти диаграммы могут быть локально простыми. Графики определяют локальные уравнения движения, в то время как разрешенные крупномасштабные конфигурации описывают непертурбативную физику. Но поскольку пропагаторы Фейнмана нелокальны во времени, перевод полевого процесса на язык когерентных частиц не является полностью интуитивным и был явно разработан только в некоторых особых случаях. В случае нерелятивистских связанных состояний уравнение Бете-Солпитера описывает класс диаграмм, которые следует включить для описания релятивистского атома. Для квантовой хромодинамики правила сумм Шифмана-Вайнштейна-Захарова описывают непертурбативно возбужденные длинноволновые полевые моды на языке частиц, но только феноменологическим образом.

Число диаграмм Фейнмана в высоких порядках теории возмущений очень велико, поскольку существует столько же диаграмм, сколько и графиков с заданным числом узлов. Непертурбативные эффекты оставляют след на том, как расходится число диаграмм и пересуммаций в высоких порядках. Только потому, что непертурбативные эффекты проявляются в скрытой форме в диаграммах, стало возможным анализировать непертурбативные эффекты в теории струн, где во многих случаях описание Фейнмана является единственным доступным.

В популярной культуре

Использование представленной выше диаграммы виртуальной частицы, производящей пару кварк - антикварк, было показано в телевизионном комедийном сериале « Теория большого взрыва », в эпизоде «Гипотеза о банке летучей мыши».
В комиксе «PhD Comics» от 11 января 2012 года показаны диаграммы Фейнмана, которые визуализируют и описывают квантовые академические взаимодействия , т. е. пути, по которым следуют аспиранты при взаимодействии со своими научными руководителями.^[12]
В научно-фантастическом рассказе Стивена Бакстера «Диаграммы вакуума» представлена одноименная диаграмма вакуума — особый тип диаграммы Фейнмана.
Фейнман и его жена Гвинет Ховарт купили Dodge Tradesman Maxivan в 1975 году и разрисовали его диаграммами Фейнмана. ^[13] В настоящее время фургон принадлежит дизайнеру видеоигр и физику Шеймусу Блэкли . ^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22] Номерной знак автомобиля назывался Qantum . ^[23]

Смотрите также

Примечания

^ "Вклад Дайсона состоял в том, чтобы показать, как можно использовать визуальные идеи Фейнмана [...] Он понял, что диаграммы Фейнмана [...] можно также рассматривать как представление логического содержания теорий поля (как указано в их пертурбативных разложениях)". Швебер, цит. (1994)

Ссылки

^ Кайзер, Дэвид (2005). "Физика и диаграммы Фейнмана" (PDF) . American Scientist . 93 (2): 156. doi :10.1511/2005.52.957. Архивировано (PDF) из оригинала 27.05.2012.
^ «Почему диаграммы Фейнмана так важны». Журнал Quanta . 5 июля 2016 г. Получено 16 июня 2020 г.
^ Фейнман, Ричард (1949). "Теория позитронов". Physical Review . 76 (6): 749–759. Bibcode :1949PhRv...76..749F. doi :10.1103/PhysRev.76.749. S2CID 120117564. Архивировано из оригинала 2022-08-09 . Получено 2021-11-12 . В этом решении "отрицательные энергетические состояния" появляются в форме, которую можно изобразить (как у Штюкельберга) в пространстве-времени как волны, распространяющиеся от внешнего потенциала назад во времени. Экспериментально такая волна соответствует позитрону, приближающемуся к потенциалу и уничтожающему электрон.
^ Пенко, Р.; Мауро, Д. (2006). «Теория возмущений через диаграммы Фейнмана в классической механике». European Journal of Physics . 27 (5): 1241–1250. arXiv : hep-th/0605061 . Bibcode : 2006EJPh...27.1241P. doi : 10.1088/0143-0807/27/5/023. S2CID 2895311.
↑ Джордж Джонсон (июль 2000 г.). «Ягуар и Лисица». The Atlantic . Получено 26 февраля 2013 г.
^ Гриббин, Джон; Гриббин, Мэри (1997). "5". Ричард Фейнман: Жизнь в науке . Penguin-Putnam.
^ Млодинов, Леонард (2011). Радуга Фейнмана . Винтаж. стр. 29.
^ Gerardus 't Hooft, Martinus Veltman, Diagrammar , CERN Yellow Report 1973, перепечатано в G. 't Hooft, Under the Spell of Gauge Principle (World Scientific, Сингапур, 1994), Введение онлайн Архивировано 19 марта 2005 г. на Wayback Machine
^ Мартинус Вельтман, Diagrammatica: Путь к диаграммам Фейнмана , Cambridge Lecture Notes in Physics, ISBN 0-521-45692-4
^ Бьёркен, Дж. Д.; Дрелл, С. Д. (1965). Релятивистские квантовые поля . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. viii. ISBN 978-0-07-005494-3.
^ Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Дирк (2003-06-20). Квантовая теория многочастичных систем. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-42827-7.
^ Хорхе Чам , Академическое взаимодействие – Диаграммы Фейнмана, 11 января 2012 г.
^ Джепсен, Кэтрин (2014-08-05). "Спасение фургона Фейнмана". Журнал Symmetry . Получено 2022-06-23 .
^ Dubner, Stephen J. (7 февраля 2024 г.). «Блестящий мистер Фейнман». Freakonomics . Получено 9 февраля 2024 г. .
^ "Фермилаб сегодня". www.fnal.gov .
^
- https://www.flickr.com/photos/122759998@N03/14430191165
- https://www.flickr.com/photos/jkannenberg/14287569353/in/photostream/
^
- https://www.nst.com.my/cbt/2019/04/481648/original-space-van
- мама, жена, Фейнман, дочь, сын, фургон, Энсенада, MX
^ «Фургон Фейнмана». 21 октября 2021 г. – через www.youtube.com.
^
- Пути теоретических достижений в области визуализации
- Январь 2017 г.
- IEEE Компьютерная графика и приложения
- 37(4):103-112
- DOI:10.1109/MCG.2017.3271463
- https://www.researchgate.net/publication/319224539
^ "Fermilab | Выставка TUFTE | 12 апреля — 26 июня 2014 г. | О выставке". www.fnal.gov .
^
- Харальд Фрицш
- https://www.marinabaysands.com/content/dam/singapore/marinabaysands/master/main/home/museum/Feynman/Richard%20Feynman%20by%20Harald%20Fritzsch.pdf
^ "Dr. Feynman's Doodles". 12 июля 2005 г.
^ "Квант". Лиз Альзона Арт .

Источники

Вельтман, Мартинус Дж.Г.; 'Т Хоофт, Герардус (1973). Диаграмма (Отчет). Желтый отчет ЦЕРН. doi : 10.5170/CERN-1973-009.
Кайзер, Дэвид (2005). Разделение теорий: дисперсия диаграмм Фейнмана в послевоенной физике . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-42266-4.
Вельтман, Мартинус (1994-06-16). Diagrammatica: Путь к диаграммам Фейнмана . Cambridge Lecture Notes in Physics. ISBN 0-521-45692-4.(расширенная, обновленная версия 't Hooft & Veltman, 1973, цитируется выше)
Средницки, Марк Аллен (2006). Квантовая теория поля. Сценарий (черновая редакция). Санта-Барбара, Калифорния: Калифорнийский университет, Санта-Барбара . Архивировано из оригинала 25-07-2011 . Получено 28-01-2011 .
Швебер, Сильван С. (1994). QED и люди, которые ее создали: Дайсон, Фейнман, Швингер и Томонага . Серия Принстона по физике. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . ISBN 978-0-691-03327-3.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Диаграммы Фейнмана» .

Статья AMS: «Что нового в математике: конечномерные диаграммы Фейнмана»
Нарисуйте диаграммы Фейнмана, объясненные Флипом Танедо на Quantumdiaries.com
Рисование диаграмм Фейнмана с помощью библиотеки FeynDiagram C++, которая выводит данные в формате PostScript.
Онлайн-инструмент для создания диаграмм Графическое приложение для создания диаграмм, готовых к публикации.
JaxoDraw Программа на Java для рисования диаграмм Фейнмана.
Боули, Роджер; Коупленд, Эд (2010). «Диаграммы Фейнмана». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .

Диаграмма Фейнмана

Мотивация и история

Альтернативные названия

Представление физической реальности

Интерпретация траектории частиц

Описание

Пример аннигиляции электрона и позитрона

Формулировка канонического квантования

Правила Фейнмана

Пример: процессы второго порядка в КЭД

Рассеяние фермионов

Комптоновское рассеяние и аннигиляция/генерация е−е+пары

Формулировка интеграла по траектории

Скалярное поле Лагранжиан

На решетке

Монте-Карло

Скалярный пропагатор

Уравнение движения

Теорема Вика

Высшие гауссовские моменты — завершение теоремы Вика

Взаимодействие

Диаграммы Фейнмана

Порядок цикла

Факторы симметрии

Связанные диаграммы:теорема о связанных кластерах

Вакуумные пузыри

Источники

Вращаться⁠1/2⁠; "фотоны" и "призраки"

Вращаться⁠1/2⁠: Интегралы Грассмана

Спин 1: фотоны

Спин 1: неабелевы призраки

Представление траектории частиц

Швингер представительство

Объединение знаменателей

Рассеивание

Непертурбативные эффекты

В популярной культуре

Смотрите также

Примечания

Ссылки

Источники

Внешние ссылки

Комптоновское рассеяние и аннигиляция/генерация е⁻е⁺пары