Дигамма-функция

Математическая функция

Дигамма-функция , визуализируемая с помощью доменной окраски ${\displaystyle \psi (z)}$

Графики реальной части дигаммы и следующих трех полигамма-функций вдоль действительной линии

В математике дигамма -функция определяется как логарифмическая производная гамма -функции : ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.}$

Это первая из полигамма-функций . Эта функция строго возрастает и строго вогнута на , ^[4] и асимптотически ведет себя как ^[5] ${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},}$

для больших аргументов ( ) в секторе с некоторой бесконечно малой положительной константой . ${\displaystyle |z|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Дигамма-функция часто обозначается как или Ϝ ^[6] (заглавная форма архаичного греческого согласного дигамма, означающего двойную гамма ). ${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$

Связь с номерами гармоник

Гамма-функция подчиняется уравнению

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}$

Логарифмирование обеих частей дает:

${\displaystyle \ln(\Gamma (z+1))=\ln(z)+\ln(\Gamma (z)),}$

Дифференцирование обеих частей по z дает:

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

Поскольку числа гармоник определяются для натуральных чисел n как

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

дигамма-функция связана с ними соотношением

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

где H ₀ = 0, а γ — постоянная Эйлера–Машерони . Для полуцелых аргументов дигамма-функция принимает значения

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.}$

Интегральные представления

Если действительная часть z положительна, то дигамма-функция имеет следующее интегральное представление Гаусса: ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

Объединение этого выражения с интегральным тождеством для постоянной Эйлера – Маскерони дает: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.}$

Интеграл — это номер гармоники Эйлера , поэтому предыдущую формулу также можно записать ${\displaystyle H_{z}}$

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

Следствием является следующее обобщение рекуррентного соотношения:

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

Интегральное представление Дирихле таково: ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.}$

Интегральным представлением Гаусса можно манипулировать, чтобы дать начало асимптотическому расширению . ^[8] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

Эта формула также является следствием первого интеграла Бине для гамма-функции. Интеграл можно рассматривать как преобразование Лапласа .

Второй интеграл Бине для гамма-функции дает другую формулу, для которой также даются первые несколько членов асимптотического разложения: ^[9] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Из определения и интегрального представления гамма-функции получаем ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,}$

с . ^[10] ${\displaystyle \Re z>0}$

Бесконечное представление продукта

Функция является целой функцией ^[11] и может быть представлена ​​бесконечным произведением ${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

Здесь – k- й ноль (см. ниже), – константа Эйлера–Машерони . ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma }$

Примечание. Это также соответствует определению дигамма-функции: . ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$

Представление серии

Формула ряда

Формула произведения Эйлера для гамма-функции в сочетании с функциональным уравнением и тождеством константы Эйлера-Машерони дает следующее выражение для дигамма-функции, действительное в комплексной плоскости за пределами отрицательных целых чисел (Абрамовиц и Стегун 6.3.16): ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}}$

Эквивалентно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\\end{aligned}}}$

Вычисление сумм рациональных функций

Приведенное выше тождество можно использовать для оценки сумм вида

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},}$

где p ( n ) и q ( n ) — полиномы от n .

Выполняя дробь от un в комплексном поле, в случае, когда все корни q ( n ) являются _{простыми} корнями,

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.}$

Чтобы ряд сходился,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,}$

в противном случае ряд будет больше гармонического ряда и, следовательно, расходится. Следовательно

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}}$

При разложении в ряд полигамма-функции более высокого ранга обобщенную формулу можно записать как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}$

при условии, что ряд слева сходится.

Серия Тейлора

Дигамма имеет рациональный дзета-ряд , заданный рядом Тейлора при z = 1 . Это

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k},}$

который сходится для | г | < 1 . Здесь ζ ( n ) — дзета-функция Римана . Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица .

серия Ньютона

Ряд Ньютона для дигаммы, иногда называемый рядом Штерна , ^{[12] [13]} гласит:

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}}$

где (^с
_к) –биномиальный коэффициент. Его также можно обобщить на

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,}$

где m = 2,3,4,... ^[13]

Ряды с коэффициентами Грегори, числами Коши и полиномами Бернулли второго рода

Существуют различные ряды для дигаммы, содержащие рациональные коэффициенты только для рациональных аргументов. В частности, ряд с коэффициентами Грегори G _n имеет вид

${\displaystyle \psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

где ( v ) _n — возрастающий факториал ( v ) _n = v ( v +1) ( v +2) ... ( v + n -1) , G _n ( k ) — коэффициенты Грегори более высокого порядка с G _n (1) = G _n , Γ – гамма-функция и ζ – дзета-функция Гурвица . ^{[14] [13]} Аналогичный ряд с числами Коши второго рода C _n имеет вид ^{[14] [13]}

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,}$

Ряд с полиномами Бернулли второго рода имеет следующий вид ^[13]

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$

где ψ _n ( a ) — полиномы Бернулли второго рода , определяемые производящим уравнением

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,}$

Это может быть обобщено на

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots }$

где многочлены N _n,r ( a ) задаются следующим производящим уравнением

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,}$

так что N _n,1 ( a ) знак равно ψ _n ( a ) . ^[13] Подобные выражения с логарифмом гамма-функции включают в себя эти формулы ^[13]

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,}$

и

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},}$

где и . ${\displaystyle \Re (v)>-a}$ ${\displaystyle r=2,3,4,\ldots }$

Формула отражения

Дигамма-функция удовлетворяет формуле отражения , аналогичной формуле гамма-функции :

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$

Формула рекуррентности и характеристика

Дигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

Таким образом, можно сказать, что он «телескопирует» 1/ x , поскольку у него есть

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

где ∆ — оператор прямой разности . Это удовлетворяет рекуррентному соотношению частичной суммы гармонического ряда , отсюда следует формула

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони .

В более общем смысле, у человека есть

${\displaystyle \psi (1+z)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{z+k}}\right).}$

для . Еще одно расширение серии: ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}$

${\displaystyle \psi (1+z)=\ln(z)+{\frac {1}{2z}}-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {B_{2j}}{2jz^{2j}}}}$,

где числа Бернулли. Этот ряд расходится при всех z и известен как ряд Стирлинга . ${\displaystyle B_{2j}}$

Фактически ψ является единственным решением функционального уравнения

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

которое является монотонным на R ⁺ и удовлетворяет условию F (1) = − γ . Этот факт непосредственно следует из единственности Г- функции с учетом ее рекуррентного уравнения и ограничения выпуклости. Отсюда следует полезное разностное уравнение:

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

Некоторые конечные суммы, включающие дигамма-функцию

Существует множество конечных формул суммирования для дигамма-функции. Основные формулы суммирования, такие как

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m.}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

принадлежат Гауссу. ^{[15] [16]} Более сложные формулы, такие как

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

связаны с работами некоторых современных авторов (см., например, Приложение Б в работе Благоушина (2014) ^[17] ).

У нас также есть ^[18]

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma ={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...}$

Дигамма-теорема Гаусса

Для натуральных чисел r и m ( r < m ) дигамма-функция может быть выражена через константу Эйлера и конечное число элементарных функций ^[19]

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

которое, благодаря своему рекуррентному уравнению, справедливо для всех рациональных аргументов.

Асимптотическое расширение

Дигамма-функция имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},}$

где Bk _— k - е число Бернулли , а ζ — дзета-функция Римана . Первые несколько условий этого расширения:

${\displaystyle \psi (z)\approx \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

Хотя бесконечная сумма не сходится ни при каком z , любая конечная частичная сумма становится все более точной по мере увеличения z .

Разложение можно найти, применив к сумме формулу Эйлера–Маклорена ^[20]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

Разложение также можно получить из интегрального представления, исходящего из второй интегральной формулы Бине для гамма-функции. Разложение в геометрический ряд и замена интегральным представлением чисел Бернулли приводит к тому же асимптотическому ряду, что и выше. Более того, расширение только конечного числа членов ряда дает формулу с явной ошибкой: ${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}$

${\displaystyle \psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Неравенства

Когда x > 0 , функция

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

совершенно монотонна и, в частности, положительна. Это следствие теоремы Бернштейна о монотонных функциях , примененной к интегральному представлению, исходящему из первого интеграла Бине для гамма-функции. Кроме того, в силу неравенства выпуклости подынтегральная функция в этом представлении ограничена сверху величиной . Следовательно ${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$ ${\displaystyle e^{-tz}/2}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)}$

также совершенно монотонна. Отсюда следует, что для всех x > 0

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.}$

Это восстанавливает теорему Хорста Альцера. ^[21] Альцер также доказал, что для s ∈ (0, 1) ,

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

Соответствующие оценки были получены Елезовичем, Джордано и Пекаричем, которые доказали, что для x > 0

${\displaystyle \ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},}$

где – постоянная Эйлера–Машерони . ^[22] Константы ( и ), входящие в эти оценки, являются наилучшими из возможных. ^[23] ${\displaystyle \gamma =-\psi (1)}$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.56}$

Теорема о среднем значении подразумевает следующий аналог неравенства Гаучи : если x > c , где c ≈ 1,461 — единственный положительный действительный корень дигамма-функции, и если s > 0 , то

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

Более того, равенство имеет место тогда и только тогда, когда s = 1 . ^[24]

Вдохновленные гармоническим неравенством среднего значения для классической гамма-функции, Хорцт Альцер и Грэм Джеймсон доказали, среди прочего, гармоническое неравенство среднего значения для дигамма-функции:

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}}$для ${\displaystyle x>0}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда . ^[25] ${\displaystyle x=1}$

Расчет и аппроксимация

Асимптотическое разложение дает простой способ вычислить ψ ( x ) , когда действительная часть x велика. Чтобы вычислить ψ ( x ) для малого x , рекуррентное соотношение

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

может использоваться для смещения значения x к более высокому значению. Бил ^[26] предлагает использовать приведенную выше рекуррентность для сдвига x к значению больше 6, а затем применить приведенное выше расширение с обрезанием членов выше x ¹⁴ , что дает «более чем достаточную точность» (по крайней мере 12 цифр, за исключением нулей). .

Когда x стремится к бесконечности, ψ ( x ) становится сколь угодно близким как к ln ( x − 1/2), так и к ln x . При понижении от x + 1 до x ψ уменьшается на 1/ x , ln( x − 1/2) уменьшается на ln ( x + 1/2)/( x − 1/2) , что больше, чем 1/ x. , а ln x уменьшается на ln (1 + 1/x) , что меньше 1/ x . Отсюда мы видим, что для любого положительного x, большего 1/2 ,

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

или, для любого положительного x ,

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

Экспонента exp ψ ( x ) приблизительно равна x − 1/2 для больших x , но приближается к x при малых x , приближаясь к 0 при x = 0 .

Для x < 1 мы можем вычислить пределы, основываясь на том факте, что между 1 и 2 ψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ] , поэтому

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}$

или

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}$

Из приведенного выше асимптотического ряда для ψ можно вывести асимптотический ряд для exp(− ψ ( x )) . Ряд хорошо соответствует общему поведению, то есть он ведет себя асимптотически так, как и должно быть для больших аргументов, а также имеет нуль неограниченной кратности в начале координат.

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

Это похоже на разложение Тейлора exp(− ψ (1/ y )) при y = 0 , но оно не сходится. ^[27] (Функция не является аналитической на бесконечности.) Аналогичный ряд существует для exp( ψ ( x )) который начинается с ${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

Если вычислить асимптотический ряд для ψ ( x +1/2), то окажется, что нечетных степеней x нет (нет члена x ⁻¹ ). Это приводит к следующему асимптотическому разложению, которое сохраняет вычислительные члены четного порядка.

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

Особые значения

Дигамма-функция имеет значения в замкнутой форме для рациональных чисел в результате дигамм-теоремы Гаусса. Некоторые из них перечислены ниже:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

Более того, взяв логарифмическую производную от или где имеет действительное значение, можно легко вывести, что ${\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}}$ ${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

За исключением дигамм-теоремы Гаусса, для вещественной части вообще не известна такая замкнутая формула. Мы имеем, например, в мнимой единице числовое приближение

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}$

Корни дигамма-функции

Корни дигамма-функции являются седловыми точками комплекснозначной гамма-функции. Таким образом, все они лежат на действительной оси . Единственный на положительной действительной оси — это единственный минимум действительной гамма-функции на R ⁺ при x ₀ =1,461 632 144 968 362 341 26 ... . Все остальные возникают одиночно между полюсами на отрицательной оси:

х ₁ =−0,504 083 008 264 455 409 25 ...

х ₂ =−1,573 498 473 162 390 458 77 ...

х ₃ =−2,610 720 868 444 144 650 00 ...

х ₄ =−3,635 293 366 436 901 097 83 ...

${\displaystyle \vdots }$

Уже в 1881 году Чарльз Эрмит заметил ^[28] , что

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

выполняется асимптотически. Лучшее приближение расположения корней дает выражение

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

а используя еще один термин, становится еще лучше

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}$

которые оба вытекают из формулы отражения через

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

и подставляя ψ ( x _n ) его несходящимся асимптотическим разложением. Правильный второй член этого разложения — 1/2 n , где данный член хорошо подходит для аппроксимации корней с малыми n .

Можно дать еще одно усовершенствование формулы Эрмита: ^[11]

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

Что касается нулей, то Иштван Мезё и Майкл Хоффман недавно доказали следующие тождества бесконечной суммы ^{[11] [29]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

В общем, функция

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

может быть определена и подробно изучена цитируемыми авторами.

Следующие результаты ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

также верны.

Регуляризация

Дигамма-функция появляется при регуляризации расходящихся интегралов.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

этот интеграл можно аппроксимировать расходящимся общим гармоническим рядом, но ряду можно придать следующее значение

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

Смотрите также

• Полигамма-функция
• Тригамма-функция
• Чебышевские разложения дигамма-функции в Wimp, Jet (1961). «Полиномиальные приближения к интегральным преобразованиям». Математика. Комп . 15 (74): 174–178. дои : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3 .

Рекомендации

1. Абрамовиц, М.; Стегун, Айова, ред. (1972). «Функция 6,3 фунтов на квадратный дюйм (дигамма)». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (10-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. стр. 258–259.
2. "NIST. Цифровая библиотека математических функций (DLMF), Глава 5" .
3. Вайсштейн, Эрик В. «Дигамма-функция». Математический мир .
4. Альцер, Хорст; Джеймсон, Грэм (2017). «Гармоническое среднее неравенство для дигамма-функции и связанные с ним результаты» (PDF) . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 137 : 203–209. дои : 10.4171/RSMUP/137-10.
5. "NIST. Цифровая библиотека математических функций (DLMF), 5.11" .
6. Парман, Элеонора (1919). Таблицы дигамма- и тригамма-функций. Издательство Кембриджского университета. п. 5.
7. Уиттакер и Ватсон, 12.3.
8. Уиттакер и Ватсон, 12.31.
9. Уиттакер и Уотсон, 12.32, пример.
10. "NIST. Цифровая библиотека математических функций (DLMF), 5.9" .
11. Mezo, Иштван; Хоффман, Майкл Э. (2017). «Нули дигамма-функции и ее аналог G -функции Барнса». Интегральные преобразования и специальные функции . 28 (11): 846–858. дои : 10.1080/10652469.2017.1376193. S2CID  126115156.
12. Нёрлунд, штат Невада (1924). Vorlesungen über Differenzenrechnung . Берлин: Шпрингер.
13. Благоушин, Я. В. (2018). «Три примечания к представлениям Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF) . ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: Электронный журнал комбинаторной теории чисел . 18А : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Бибкод : 2016arXiv160602044B.
14. Благоушин, Я. В. (2016). «Два разложения в ряд для логарифма гамма-функции, включающие числа Стирлинга и содержащие только рациональные коэффициенты для определенных аргументов, связанных с π ^-1 ». Журнал математического анализа и приложений . 442 : 404–434. arXiv : 1408.3902 . Бибкод : 2014arXiv1408.3902B. дои : 10.1016/J.JMAA.2016.04.032. S2CID  119661147.
15. Р. Кэмпбелл. Les intégrales eulériennes et leurs application , Дюно, Париж, 1966.
16. HM Шривастава и Дж. Чой. Серия, связанная с Зетами и связанными с ними функциями , Kluwer Academic Publishers, Нидерланды, 2001.
17. Благоушин, Ярослав В. (2014). «Теорема для оценки в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторые связанные с ней суммирования». Журнал теории чисел . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . дои : 10.1016/j.jnt.2014.08.009.
18. Классические темы теории комплексных функций . п. 46.
19. Чой, Джунсанг; Цвийович, Джурдже (2007). «Значения полигамма-функций при рациональных аргументах». Журнал физики А. 40 (50): 15019. Бибкод : 2007JPhA...4015019C. дои : 10.1088/1751-8113/40/50/007. S2CID  118527596.
20. Бернардо, Хосе М. (1976). «Алгоритм расчета AS 103 psi (дигамма-функция)» (PDF) . Прикладная статистика . 25 : 315–317. дои : 10.2307/2347257. JSTOR  2347257.
21. Альцер, Хорст (1997). «О некоторых неравенствах для гамма- и пси-функций» (PDF) . Математика вычислений . 66 (217): 373–389. дои : 10.1090/S0025-5718-97-00807-7. JSTOR  2153660.
22. Елезович, Невен; Джордано, Карла; Печарич, Йосип (2000). «Наилучшие оценки неравенства Гаучи». Математические неравенства и приложения (2): 239–252. дои : 10.7153/МИА-03-26 .
23. Го, Бай-Ни; Ци, Фэн (2014). «Резкие неравенства для пси-функции и чисел гармоник». Анализ . 34 (2). arXiv : 0902.2524 . doi : 10.1515/anly-2014-0001. S2CID  16909853.
24. Лафоргия, Андреа; Наталини, Пьерпаоло (2013). «Экспоненциальные, гамма- и полигамма-функции: простые доказательства классических и новых неравенств». Журнал математического анализа и приложений . 407 (2): 495–504. дои : 10.1016/j.jmaa.2013.05.045 .
25. Альцер, Хорст; Джеймсон, Грэм (2017). «Гармоническое среднее неравенство для дигамма-функции и связанные с ним результаты» (PDF) . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 70 (201): 203–209. дои : 10.4171/RSMUP/137-10. ISSN  0041-8994. LCCN  50046633. OCLC  01761704. S2CID  41966777.
26. Бил, Мэтью Дж. (2003). Вариационные алгоритмы для приближенного байесовского вывода (PDF) (кандидатская диссертация). Отделение вычислительной нейронауки «Гэтсби», Университетский колледж Лондона. стр. 265–266.
27. Если бы он сходился к функции f ( y ) , то ln( f ( y ) / y ) имел бы тот же ряд Маклорена , что и ln (1 / y ) − φ (1 / y ) . Но это не сходится, поскольку не сходится ряд, данный ранее для φ ( x ) .
28. Эрмит, Чарльз (1881). «Sur l'intégrale Eulérienne de Seconde espéce». Журнал für die reine und angewandte Mathematik (90): 332–338. дои : 10.1515/crll.1881.90.332. S2CID  118866486.
29. Мезё, Иштван (2014). «Заметка о нулях и локальных экстремумах функций, связанных с Дигаммой». arXiv : 1409.2971 [math.CV].

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A020759 (десятичное расширение (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2), где Gamma(x) обозначает гамма-функцию) — psi(1/2)

OEIS : A047787 фунтов на квадратный дюйм (1/3), OEIS : A200064 фунтов на квадратный дюйм (2/3) , OEIS : A020777 фунтов на квадратный дюйм (1/4), OEIS : A200134 фунтов на квадратный дюйм (3/4), OEIS : от A200135 до OEIS : A200138 фунтов на квадратный дюйм (1 /5) до фунтов на квадратный дюйм (4/5).