Частный случай полилогарифма
Дилогарифм по вещественной оси В математике дилогарифм (или функция Спенса ), обозначаемый как Li 2 ( z ) , является частным случаем полилогарифма . Две связанные специальные функции называются функцией Спенса, то есть самим дилогарифмом:
Ли 2 ( я ) "=" − ∫ 0 я Ин ( 1 − ты ) ты д ты , я € С {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,du{\text{, }}z \in \mathbb {C} } и его отражение. Для | г | < 1 , также применяется бесконечный ряд (интегральное определение представляет собой его аналитическое расширение на комплексную плоскость ):
Ли 2 ( я ) "=" ∑ к "=" 1 ∞ я к к 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.} Альтернативно, функция дилогарифма иногда определяется как
∫ 1 в Ин т 1 − т д т "=" Ли 2 ( 1 − в ) . {\displaystyle \int _{1}^{v}{\frac {\ln t}{1-t}}dt=\operatorname {Li} _{2}(1-v).} В гиперболической геометрии дилогарифм можно использовать для вычисления объема идеального симплекса. В частности, симплекс, вершины которого имеют перекрестное отношение z, имеет гиперболический объем.
Д ( я ) "=" Я Ли 2 ( я ) + аргумент ( 1 − я ) бревно | я | . {\displaystyle D(z)=\operatorname {Im} \operatorname {Li} _{2}(z)+\arg(1-z)\log |z|.} Функцию D ( z ) иногда называют функцией Блоха-Вигнера. [1] Функция Лобачевского и функция Клаузена — тесно связанные функции.
Уильям Спенс , в честь которого функция была названа первыми авторами в этой области, был шотландским математиком, работавшим в начале девятнадцатого века. [2] Он учился в школе с Джоном Галтом , [3] который позже написал биографический очерк о Спенсе.
Аналитическая структура Используя прежнее определение, приведенное выше, функция дилогарифма является аналитической всюду на комплексной плоскости, кроме точки , где она имеет логарифмическую точку ветвления. Стандартный выбор среза ветки — вдоль положительной действительной оси . Однако в точке ветвления функция непрерывна и принимает значение . я "=" 1 {\displaystyle z=1} ( 1 , ∞ ) {\displaystyle (1,\infty)} Ли 2 ( 1 ) "=" π 2 / 6 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\pi ^{2}/6}
Личности Ли 2 ( я ) + Ли 2 ( − я ) "=" 1 2 Ли 2 ( я 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}( z^{2}).} [4] Ли 2 ( 1 − я ) + Ли 2 ( 1 − 1 я ) "=" − ( Ин я ) 2 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1- {\frac {1}{z}}\right)=- {\frac {(\ln z)^{2}}{2}}.} [5] Ли 2 ( я ) + Ли 2 ( 1 − я ) "=" π 2 6 − Ин я ⋅ Ин ( 1 − я ) . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}-\ ln z\cdot \ln(1-z).} [4] Ли 2 ( − я ) − Ли 2 ( 1 − я ) + 1 2 Ли 2 ( 1 − я 2 ) "=" − π 2 12 − Ин я ⋅ Ин ( я + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2 }(1-z^{2})=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}-\ln z\cdot \ln(z+1).} [5] Ли 2 ( я ) + Ли 2 ( 1 я ) "=" − π 2 6 − ( Ин ( − я ) ) 2 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=- {\frac {\pi ^ {2}}{6}}-{\frac {(\ln(-z))^{2}}{2}}.} [4] Особые ценностные идентичности Ли 2 ( 1 3 ) − 1 6 Ли 2 ( 1 9 ) "=" π 2 18 − ( Ин 3 ) 2 6 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left ({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{6} }.} [5] Ли 2 ( − 1 3 ) − 1 3 Ли 2 ( 1 9 ) "=" − π 2 18 + ( Ин 3 ) 2 6 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\ left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+{\frac {(\ln 3)^{2}}{ 6}}.} [5] Ли 2 ( − 1 2 ) + 1 6 Ли 2 ( 1 9 ) "=" − π 2 18 + Ин 2 ⋅ Ин 3 − ( Ин 2 ) 2 2 − ( Ин 3 ) 2 3 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(- {\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\ left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+\ln 2\cdot \ln 3-{\frac {(\ ln 2)^{2}}{2}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{3}}.} [5] Ли 2 ( 1 4 ) + 1 3 Ли 2 ( 1 9 ) "=" π 2 18 + 2 Ин 2 ⋅ Ин 3 − 2 ( Ин 2 ) 2 − 2 3 ( Ин 3 ) 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left ({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}+2\ln 2\cdot \ln 3-2(\ln 2)^ {2}-{\frac {2}{3}}(\ln 3)^{2}.} [5] Ли 2 ( − 1 8 ) + Ли 2 ( 1 9 ) "=" − 1 2 ( Ин 9 8 ) 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{8}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {9}{8}}\right)^{2}.} [5] 36 Li 2 ( 1 2 ) − 36 Li 2 ( 1 4 ) − 12 Li 2 ( 1 8 ) + 6 Li 2 ( 1 64 ) = π 2 . {\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{8}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{64}}\right)={\pi }^{2}.} Особые значения Li 2 ( − 1 ) = − π 2 12 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}.} Li 2 ( 0 ) = 0. {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0.} Li 2 ( 1 2 ) = π 2 12 − ( ln 2 ) 2 2 . {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{12}}-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}.} Li 2 ( 1 ) = ζ ( 2 ) = π 2 6 , {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\zeta (2)={\frac {{\pi }^{2}}{6}},} где – дзета-функция Римана . ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} Li 2 ( 2 ) = π 2 4 − i π ln 2. {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\frac {{\pi }^{2}}{4}}-i\pi \ln 2.} Li 2 ( − 5 − 1 2 ) = − π 2 15 + 1 2 ( ln 5 + 1 2 ) 2 = − π 2 15 + 1 2 arcsch 2 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}} Li 2 ( − 5 + 1 2 ) = − π 2 10 − ln 2 5 + 1 2 = − π 2 10 − arcsch 2 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}} Li 2 ( 3 − 5 2 ) = π 2 15 − ln 2 5 + 1 2 = π 2 15 − arcsch 2 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}} Li 2 ( 5 − 1 2 ) = π 2 10 − ln 2 5 + 1 2 = π 2 10 − arcsch 2 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}} В физике элементарных частиц Функция Спенса обычно встречается в физике элементарных частиц при расчете радиационных поправок. В этом контексте функция часто определяется с абсолютным значением внутри логарифма:
Φ ( x ) = − ∫ 0 x ln | 1 − u | u d u = { Li 2 ( x ) , x ≤ 1 ; π 2 3 − 1 2 ( ln x ) 2 − Li 2 ( 1 x ) , x > 1. {\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln |1-u|}{u}}\,du={\begin{cases}\operatorname {Li} _{2}(x),&x\leq 1;\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-\operatorname {Li} _{2}({\frac {1}{x}}),&x>1.\end{cases}}} Смотрите также Примечания ^ Загер с. 10 ^ "Уильям Спенс - Биография" . ^ "Биография - ГАЛТ, ДЖОН - Том VII (1836-1850) - Словарь канадской биографии" . ^ abc Загер ^ abcdefg Вайсштейн, Эрик В. «Дилогарифм». Математический мир . Рекомендации Левин, Л. (1958). Дилогарифмы и связанные с ними функции . Предисловие Дж. К. П. Миллера. Лондон: Макдональд. МР 0105524. Моррис, Роберт (1979). «Дилогарифмическая функция вещественного аргумента». Математика. Комп . 33 (146): 778–787. doi : 10.1090/S0025-5718-1979-0521291-X . МР 0521291. Локстон, Дж. Х. (1984). «Особые значения дилогарифма». Акта Арит . 18 (2): 155–166. дои : 10.4064/aa-43-2-155-166 . МР 0736728. Кириллов, Анатолий Николаевич (1995). «Дилогарифмические тождества». Приложение «Прогресс теоретической физики» . 118 : 61–142. arXiv : hep-th/9408113 . Бибкод : 1995ПТПС.118...61К. дои : 10.1143/PTPS.118.61. S2CID 119177149. Осакар, Карлос; Паласиан, Иисус; Паласиос, Мануэль (1995). «Численная оценка дилогарифма комплексного аргумента». Селеста. Мех. Дин. Астрон . 62 (1): 93–98. Бибкод : 1995CeMDA..62...93O. дои : 10.1007/BF00692071. S2CID 121304484. Загер, Дон (2007). «Функция дилогарифма». У Пьера Картье; Пьер Мусса; Бернар Джулия; Пьер Ванхов (ред.). Границы теории чисел, физики и геометрии II (PDF) . стр. 3–65. дои : 10.1007/978-3-540-30308-4_1. ISBN 978-3-540-30308-4 . дальнейшее чтение Внешние ссылки