В математике диофантова геометрия — это изучение диофантовых уравнений с помощью мощных методов алгебраической геометрии . К 20 веку некоторым математикам стало ясно, что методы алгебраической геометрии являются идеальными инструментами для изучения этих уравнений. [1] Диофантова геометрия является частью более широкой области арифметической геометрии .
Четыре теоремы диофантовой геометрии, имеющие фундаментальное значение, включают: [2]
Серж Ланг опубликовал книгу «Диофантова геометрия» в этом районе в 1962 году, и в этой книге он ввел термин «Диофантова геометрия». [1] Традиционно материал по диофантовым уравнениям располагался по степени и количеству переменных , как в « Диофантовых уравнениях» Морделла (1969). Книга Морделла начинается с замечания об однородных уравнениях f = 0 над рациональным полем , приписываемого К.Ф. Гауссу , о том, что ненулевые решения в целых числах (даже примитивные точки решетки) существуют, если существуют ненулевые рациональные решения, и отмечает предостережение LE. Диксона , посвященного параметрическим решениям. [3] Результат Гильберта – Гурвица 1890 года , сводящий диофантову геометрию кривых рода 0 к степеням 1 и 2 ( конические сечения ), встречается в главе 17, как и гипотеза Морделла . Теорема Зигеля о целых точках встречается в главе 28. Теорема Морделла о конечном порождении группы рациональных точек на эллиптической кривой находится в главе 16, а о целых точках на кривой Морделла - в главе 26.
В враждебной рецензии на книгу Ланга Морделл написал:
В последнее время были разработаны новые мощные геометрические идеи и методы, с помощью которых были найдены и доказаны важные новые арифметические теоремы и связанные с ними результаты, причем некоторые из них нелегко доказать другим способом. Кроме того, возникла тенденция облечь старые результаты, их расширения и доказательства в новый геометрический язык. Однако иногда все последствия результатов лучше всего описать в геометрической форме. В этой книге Ланг уделяет большое внимание этим аспектам и, похоже, не упускает возможности геометрического представления. Этим объясняется его название «Диофантова геометрия». [4]
Он отмечает, что содержание книги представляет собой в основном версии теоремы Морделла-Вейля , теоремы Туэ-Зигеля-Рота , теоремы Зигеля с трактовкой теоремы о неприводимости Гильберта и ее приложений (в стиле Зигеля). Оставляя в стороне вопросы общности и совершенно разного стиля, основное математическое различие между двумя книгами состоит в том, что Ланг использовал абелевы многообразия и предложил доказательство теоремы Зигеля, в то время как Морделл отметил, что доказательство «носит очень продвинутый характер» (стр. . 263).
Несмотря на поначалу плохую прессу, концепция Ланга получила достаточно широкое признание, чтобы в 2006 году книга была названа «провидческой». [5] Более крупная область, которую иногда называют арифметикой абелевых многообразий, теперь включает диофантову геометрию наряду с теорией полей классов , комплексным умножением , локальными дзета-функциями и L-функциями . [6] Пол Войта писал:
Одно уравнение определяет гиперповерхность , а одновременные диофантовы уравнения порождают общее алгебраическое многообразие V над K ; типичный вопрос касается природы множества V ( K ) точек на V с координатами в K , и с помощью функций высоты могут быть поставлены количественные вопросы о «размере» этих решений, а также о Качественные вопросы о том, существуют ли какие-либо точки, и если да, то есть ли их бесконечное число. Учитывая геометрический подход, рассмотрение однородных уравнений и однородных координат является фундаментальным по тем же причинам, по которым проективная геометрия является доминирующим подходом в алгебраической геометрии. Поэтому решения с рациональными числами являются первоочередным соображением; но целочисленные решения (т.е. точки решетки ) можно рассматривать так же, как аффинное многообразие можно рассматривать внутри проективного многообразия, имеющего дополнительные точки на бесконечности .
Общий подход диофантовой геометрии иллюстрируется теоремой Фалтингса (гипотеза Л. Дж. Морделла ), утверждающей, что алгебраическая кривая C рода g > 1 над рациональными числами имеет лишь конечное число рациональных точек . Первым результатом такого рода могла быть теорема Гильберта и Гурвица, касающаяся случая g = 0. Теория состоит как из теорем, так и из множества гипотез и открытых вопросов.