Магнитный диполь

Магнитный аналог электрического диполя

Магнитное поле, вызванное естественными магнитными диполями (вверху слева), магнитными монополями (вверху справа), электрическим током в круговой петле (внизу слева) или в соленоиде (внизу справа). Все они генерируют один и тот же профиль поля, когда расположение бесконечно мало. ^[1]

В электромагнетизме магнитный диполь является пределом либо замкнутого контура электрического тока , либо пары полюсов, поскольку размер источника уменьшается до нуля, а магнитный момент сохраняется постоянным.

Это магнитный аналог электрического диполя , но аналогия не идеальна. В частности, истинный магнитный монополь , магнитный аналог электрического заряда , никогда не наблюдался в природе. Однако магнитные монопольные квазичастицы наблюдались как возникающие свойства некоторых систем конденсированных сред. ^[2] Более того, одна из форм магнитного дипольного момента связана с фундаментальным квантовым свойством — спином элементарных частиц .

Поскольку магнитных монополей не существует, магнитное поле на большом расстоянии от любого статического магнитного источника выглядит как поле диполя с тем же дипольным моментом. Для источников более высокого порядка (например, квадруполей ) без дипольного момента их поле спадает до нуля с расстоянием быстрее, чем поле диполя.

Внешнее магнитное поле, создаваемое магнитным дипольным моментом

Электростатический аналог магнитного момента: два противоположных заряда, разделенных конечным расстоянием. Каждая стрелка представляет направление вектора поля в этой точке.

Магнитное поле токовой петли. Кольцо представляет собой токовую петлю, которая входит в страницу в точке x и выходит в точке.

В классической физике магнитное поле диполя рассчитывается как предел либо токовой петли, либо пары зарядов, когда источник сжимается в точку, сохраняя при этом магнитный момент m постоянным. Для токовой петли этот предел проще всего вывести из векторного потенциала : ^[3]

${\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},}$

где μ ₀ — постоянная проницаемости вакуума , а 4 π r ² — поверхность сферы радиусом r . Тогда плотность магнитного потока (напряженность поля B) равна ^[3]

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right].}$

В качестве альтернативы можно сначала получить скалярный потенциал из предела магнитного полюса,

${\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},}$

и, следовательно, напряженность магнитного поля (или напряженность H-поля) равна

${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}.}$

Напряженность магнитного поля симметрична относительно вращений вокруг оси магнитного момента. В сферических координатах, с , и с магнитным моментом, выровненным с осью z, тогда напряженность поля может быть более просто выражена как ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {r}} \cos \theta -{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\sin \theta }$

${\displaystyle \mathbf {H} ({\mathbf {r} })={\frac {|\mathbf {m} |}{4\pi r^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

Внутреннее магнитное поле диполя

Две модели для диполя (токовая петля и магнитные полюса) дают одинаковые прогнозы для магнитного поля вдали от источника. Однако внутри области источника они дают разные прогнозы. Магнитное поле между полюсами имеет противоположное направление относительно магнитного момента (который указывает от отрицательного заряда к положительному заряду), тогда как внутри токовой петли оно имеет то же направление (см. рисунок справа (выше для мобильных пользователей)). Очевидно, что пределы этих полей также должны быть разными, поскольку источники уменьшаются до нулевого размера. Это различие имеет значение только в том случае, если дипольный предел используется для расчета полей внутри магнитного материала.

Если магнитный диполь формируется путем уменьшения и уменьшения контура тока, но при этом произведение тока и площади остается постоянным, то предельное поле равно

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],}$

где δ ( r ) — дельта-функция Дирака в трех измерениях. В отличие от выражений в предыдущем разделе, этот предел справедлив для внутреннего поля диполя.

Если магнитный диполь образован путем взятия «северного полюса» и «южного полюса», сближения их друг с другом, но сохранения постоянным произведения заряда магнитного полюса и расстояния, то предельное поле равно

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$

Эти поля связаны соотношением B = μ ₀ ( H + M ) , где

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )}$

является намагничиванием .

Силы между двумя магнитными диполями

Силу F, оказываемую одним дипольным моментом m ₁ на другой m _{2 ,} разделенный в пространстве вектором r, можно рассчитать с помощью: ^[4]

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$

или ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}$

где r — расстояние между диполями. Сила, действующая на m ₁ , направлена ​​в противоположном направлении.

Крутящий момент можно получить по формуле

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$

Дипольные поля от конечных источников

Магнитный скалярный потенциал ψ, создаваемый конечным источником, но внешним по отношению к нему, может быть представлен мультипольным разложением . Каждый член разложения связан с характерным моментом и потенциалом, имеющим характерную скорость убывания с расстоянием r от источника. Монопольные моменты имеют скорость убывания 1/ r , дипольные моменты имеют скорость 1/ r ² , квадрупольные моменты имеют скорость 1/ r ³ и так далее. Чем выше порядок, тем быстрее спадает потенциал. Поскольку член низшего порядка, наблюдаемый в магнитных источниках, является дипольным членом, он доминирует на больших расстояниях. Поэтому на больших расстояниях любой магнитный источник выглядит как диполь того же магнитного момента .

Примечания

1. IS Grant, WR Phillips (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
2. Магнитные монополи, обнаруженные в спиновых льдах, 3 сентября 2009 г.
3. Chow 2006, стр. 146–150
4. DJ Griffiths (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education. стр. 276. ISBN 978-81-7758-293-2.
5. Фурлани 2001, стр. 140
6. KW Yung; PB Landecker; DD Villani (1998). "Аналитическое решение для силы между двумя магнитными диполями" (PDF) . Получено 24 ноября 2012 г. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

Ссылки

• Chow, Tai L. (2006). Введение в электромагнитную теорию: современная перспектива. Jones & Bartlett Learning . ISBN 978-0-7637-3827-3.
• Джексон, Джон Д. (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Wiley . ISBN 0-471-43132-X.
• Furlani, Edward P. (2001). Постоянные магниты и электромеханические устройства: материалы, анализ и применение. Academic Press . ISBN 0-12-269951-3.
• Schill, RA (2003). "Общее соотношение для векторного магнитного поля кругового контура тока: более пристальный взгляд". IEEE Transactions on Magnetics . 39 (2): 961–967. Bibcode : 2003ITM....39..961S. doi : 10.1109/TMAG.2003.808597.