Дисдякис триаконтаэдр

Каталонское тело со 120 гранями

В геометрии дисдьякис триаконтаэдр , гексакис икосаэдр , декакис додекаэдр или кисромбический триаконтаэдр ^[1] — это каталонское тело со 120 гранями и двойственное архимедову усеченному икосододекаэдру . Как таковой он имеет однородные грани, но с неправильными многоугольниками граней . Он немного напоминает раздутый ромбический триаконтаэдр : если заменить каждую грань ромбического триаконтаэдра одной вершиной и четырьмя треугольниками правильным образом, то получится дисдьякис триаконтаэдр. То есть дисдьякис триаконтаэдр является вершиной Клее ромбического триаконтаэдра. Он также является барицентрическим подразделением правильного додекаэдра и икосаэдра . Он имеет наибольшее количество граней среди архимедовых и каталонских тел, на втором месте — плосконосый додекаэдр с 92 гранями.

Если исключить бипирамиды , криволинейные бипирамиды и трапецоэдры , то дисдьякистриаконтаэдр имеет наибольшее количество граней среди всех других строго выпуклых многогранников , у которых все грани имеют одинаковую форму.

Проецируемые на сферу , ребра дисдьякистриаконтаэдра определяют 15 больших окружностей . Бакминстер Фуллер использовал эти 15 больших окружностей, а также 10 и 6 других в двух других многогранниках, чтобы определить свои 31 большую окружность сферического икосаэдра .

Геометрия

Так как дисдьякистриаконтаэдр является каталонским телом с треугольными гранями, три угла его граней и общий двугранный угол должны подчиняться следующим ограничениям, аналогичным ограничениям других каталонских тел: ${\displaystyle \alpha _{4},\alpha _{6},\alpha _{10}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /4)/\cos(\alpha _{4}/2)}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /6)/\cos(\alpha _{6}/2)}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /10)/\cos(\alpha _{10}/2)}$

${\displaystyle \alpha _{4}+\alpha _{6}+\alpha _{10}=\pi }$

Приведенные выше четыре уравнения решаются одновременно, чтобы получить следующие углы грани и двугранный угол:

${\displaystyle \alpha _{4}=\arccos \left({\frac {7-4\phi }{30}}\right)\approx 88.992^{\circ }}$

${\displaystyle \alpha _{6}=\arccos \left({\frac {17-4\phi }{20}}\right)\approx 58.238^{\circ }}$

${\displaystyle \alpha _{10}=\arccos \left({\frac {2+5\phi }{12}}\right)\approx 32.770^{\circ }}$

${\displaystyle \theta =\arccos \left(-{\frac {155+48\phi }{241}}\right)\approx 164.888^{\circ }}$

где находится золотое сечение . ${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618}$

Как и у всех каталонских тел, двугранные углы на всех ребрах одинаковы, даже если ребра имеют разную длину.

Декартовы координаты

Фундаментальные области икосаэдрической симметрии образуют сферическую версию дисдьякис-триаконтаэдра. Каждый треугольник может быть отображен в другой треугольник того же цвета с помощью одного лишь трехмерного вращения. Треугольники разных цветов могут быть отображены друг на друга с помощью отражения или инверсии в дополнение к вращениям.

Оболочки триаконтаэдра Дисдякиса.

62 вершины дисдьякистриаконтаэдра определяются следующим образом: ^[2]

• Двенадцать вершин и их циклические перестановки, ${\displaystyle \left(0,{\frac {\pm 1}{\sqrt {\phi +2}}},{\frac {\pm \phi }{\sqrt {\phi +2}}}\right)}$

• Восемь вершин , ${\displaystyle \left(\pm R,\pm R,\pm R\right)}$

• Двенадцать вершин и их циклические перестановки, ${\displaystyle \left(0,\pm R\phi ,\pm {\frac {R}{\phi }}\right)}$

• Шесть вершин и их циклические перестановки. ${\displaystyle \left(\pm S,0,0\right)}$

• Двадцать четыре вершины и их циклические перестановки, ${\displaystyle \left(\pm {\frac {S\phi }{2}},\pm {\frac {S}{2}},\pm {\frac {S}{2\phi }}\right)}$

где

${\displaystyle R={\frac {5}{3\phi {\sqrt {\phi +2}}}}={\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{3}}\approx 0.5415328270548438}$,

${\displaystyle S={\frac {(7\phi -6){\sqrt {\phi +2}}}{11}}={\frac {(2{\sqrt {5}}-3){\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{11}}\approx 0.9210096876986302}$, и

${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618}$это золотое сечение .

В приведенных выше координатах первые 12 вершин образуют правильный икосаэдр , следующие 20 вершин (с R ) образуют правильный додекаэдр , а последние 30 вершин (с S ) образуют икосододекаэдр .

Нормализация всех вершин к единичной сфере дает сферический дисдьякистриаконтаэдр, показанный на соседнем рисунке. На этом рисунке также изображены 120 преобразований, связанных с полной икосаэдрической группой Ih .

Симметрия

Ребра многогранника, спроецированные на сферу, образуют 15 больших окружностей и представляют все 15 зеркальных плоскостей отражательной I _h икосаэдрической симметрии . Объединение пар светлых и темных треугольников определяет фундаментальные области неотражательной ( I ) икосаэдрической симметрии. Ребра соединения пяти октаэдров также представляют 10 зеркальных плоскостей икосаэдрической симметрии.

Ортогональные проекции

Дисдиакистриаконтаэдр имеет три типа вершин, которые могут быть центрированы в ортогональной проекции:

Использует

Головоломка Big Chop

Дисдякис триаконтаэдр , как правильный додекаэдр с пятиугольниками, разделенными на 10 треугольников каждый, считается «святым Граалем» для комбинационных головоломок, таких как кубик Рубика . Такая головоломка в настоящее время не имеет удовлетворительного механизма. Это самая значительная нерешенная проблема в механических головоломках, часто называемая проблемой «большой рубки». ^[3]

Эта форма была использована для изготовления 120-гранных игральных костей с помощью 3D-печати. ^​​[4]

С 2016 года Dice Lab использует триаконтаэдр дисдьякиса для массового рынка литой 120-гранной игральной кости . ^[5] Утверждается, что 120 — это наибольшее возможное число граней на честной игровой кости, за исключением бесконечных семейств (таких как прямые правильные призмы , бипирамиды и трапецоэдры ), которые были бы непрактичны в реальности из-за тенденции к длительному вращению. ^[6]

Дисдиакистриконтаэдр, спроецированный на сферу, используется в качестве логотипа Brilliant , веб-сайта, содержащего серию уроков по темам, связанным с STEM . ^[7]

Связанные многогранники и мозаики

Он топологически связан с последовательностью многогранников, определяемой конфигурацией граней V4.6.2n . Эта группа является особенной, так как имеет все четное число ребер на вершину и образует биссекторные плоскости через многогранники и бесконечные линии в плоскости, и продолжается в гиперболическую плоскость для любого n ≥ 7.

При четном числе граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно изобразить, чередуя два цвета так, чтобы все смежные грани имели разные цвета.

Каждая грань на этих доменах также соответствует фундаментальной области группы симметрии с порядком 2,3, n зеркал в каждой вершине треугольной грани. Это * n 32 в нотации орбифолда и [ n ,3] в нотации Коксетера .

Ссылки

1. Конвей, Симметрии вещей, стр. 284
2. ДисдякисТриаконтаэдр
3. Большая Отбивная
4. Сайт коллекционера игральных костей Кевина Кука: d120, напечатанный на 3D-принтере художником Shapeways SirisC
5. "The Dice Lab". Архивировано из оригинала 2016-12-08 . Получено 2016-04-07 .
6. "Этот D120 — самый большой математически справедливый кубик из возможных | Nerdist". Архивировано из оригинала 2016-05-03.
7. "Блестящий | Учитесь думать". brilliant.org . Получено 2020-02-01 .
8. Симметроэдры: многогранники из симметричного размещения правильных многоугольников Архивировано 17.03.2017 на Wayback Machine Крейг С. Каплан

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 3-9)
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, МР  0730208(Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойственные, Страница 25, Дисдиакистриаконтаэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургил, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, kisРомбический триаконтаэдр) 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Триаконтаэдр Дисдякиса» («Каталонское тело») на MathWorld .
• Дисдякис триаконтаэдр (гексакис икосаэдр) – интерактивная модель многогранника