Абсолютно выпуклое множество

Выпуклый и сбалансированный набор

В математике подмножество C действительного или комплексного векторного пространства называется абсолютно выпуклым или дисковидным, если оно выпукло и сбалансировано ( некоторые используют термин «окруженный» вместо «сбалансированный»), в этом случае оно называется диском . Дисковая оболочка или абсолютно выпуклая оболочка множества — это пересечение всех дисков, содержащих это множество.

Определение

Светло-серая область — абсолютно выпуклая оболочка креста.

Подмножество действительного или комплексного векторного пространства называется ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$диск и, как говорят,дискованный ,абсолютно выпуклый , ивыпукло сбалансированным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. ${\displaystyle S}$является выпуклым и сбалансированным множеством .
2. для любых скаляров и если тогда ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$ ${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. для всех скаляров и если тогда ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$ ${\displaystyle aS+bS\subseteq cS.}$
4. для любых скаляров и если тогда ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq |c|}$ ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.}$
5. для любых скаляров, если тогда ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1}$ ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.}$

Наименьшее выпуклое (соответственно, сбалансированное ) подмножество, содержащее заданное множество, называется выпуклой оболочкой (соответственно, сбалансированной оболочкой) этого множества и обозначается (соответственно, ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$

Аналогично,дисковый корпус ,абсолютная выпуклая оболочка , иВыпуклая сбалансированная оболочка множестваопределяется как наименьший диск (относительновключения), содержащий^[1] Дисковая оболочкабудет обозначаться какилии она равна каждому из следующих множеств: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {disk} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

1. ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$которая является выпуклой оболочкой сбалансированной оболочки ; таким образом, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$
   • В общем случае это возможно даже в конечномерных векторных пространствах. ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
2. пересечение всех дисков, содержащих ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \left\{a_{1}s_{1}+\cdots a_{n}s_{n}~:~n\in \mathbb {N} ,\,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S,\,{\text{ and }}a_{1},\ldots ,a_{n}{\text{ are scalars satisfying }}|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1\right\}.}$

Достаточные условия

Пересечение произвольного числа абсолютно выпуклых множеств снова является абсолютно выпуклым; однако объединения абсолютно выпуклых множеств больше не обязаны быть абсолютно выпуклыми.

Если есть диск в , то является поглощающим в тогда и только тогда, когда ^[2] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$

Характеристики

Если — поглощающий диск в векторном пространстве , то существует поглощающий диск в такой, что ^[3] Если — диск, а и — скаляры, то и ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E+E\subseteq S.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sD=|s|D}$ ${\displaystyle (rD)\cap (sD)=(\min _{}\{|r|,|s|\})D.}$

Абсолютно выпуклая оболочка ограниченного множества в локально выпуклом топологическом векторном пространстве снова ограничена.

Если — ограниченный диск в TVS , а если — последовательность в , то частичные суммы являются суммами Коши , где для всех ^[4] В частности, если, кроме того , — последовательно полное подмножество, то этот ряд сходится в к некоторой точке из ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$

Выпуклая сбалансированная оболочка содержит как выпуклую оболочку , так и сбалансированную оболочку Кроме того, она содержит сбалансированную оболочку выпуклой оболочки таким образом , где пример ниже показывает, что это включение может быть строгим. Однако для любых подмножеств, если то что подразумевает ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S;}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$ ${\displaystyle S,T\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} (\operatorname {bal} S).}$

Примеры

Хотя выпуклая сбалансированная оболочка не обязательно равна сбалансированной оболочке выпуклой оболочки ^[1] Для примера, где пусть будет действительным векторным пространством и пусть Тогда будет строгим подмножеством , которое даже не является выпуклым; в частности, этот пример также показывает, что сбалансированная оболочка выпуклого множества не обязательно является выпуклой. Множество равно замкнутому и заполненному квадрату в с вершинами и (это потому, что сбалансированное множество должно содержать как и , где поскольку также является выпуклым, оно должно, следовательно, содержать сплошной квадрат , который для этого конкретного примера также оказывается сбалансированным, так что ). Однако равно горизонтальному замкнутому отрезку прямой между двумя точками в , так что вместо этого представляет собой замкнутое подмножество «в форме песочных часов », которое пересекает ось точно в начале координат и является объединением двух замкнутых и заполненных равнобедренных треугольников : одного, вершины которого являются началом координат вместе с , и другого треугольника, вершины которого являются началом координат вместе с Эти невыпуклые заполненные «песочные часы» являются собственным подмножеством заполненного квадрата. ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S:=\{(-1,1),(1,1)\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (-1,1),(1,1),(-1,-1),}$ ${\displaystyle (1,-1)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {co} ((-S)\cup S),}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} ((-S)\cup S)}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$

Обобщения

Дано фиксированное действительное число a ${\displaystyle 0<p\leq 1,}$ ${\displaystyle p}$-выпуклое множество - это любое подмножествовекторного пространства,обладающее тем свойством, чтовсякий раз, когдаиявляются неотрицательными скалярами, удовлетворяющими условию Оно называется ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle rc+sd\in C}$ ${\displaystyle c,d\in C}$ ${\displaystyle r,s\geq 0}$ ${\displaystyle r^{p}+s^{p}=1.}$абсолютно -выпуклое множество ${\displaystyle p}$ или ${\displaystyle p}$-диск, есливсякий раз, когдаиявляются скалярами, удовлетворяющими^[5] ${\displaystyle rc+sd\in C}$ ${\displaystyle c,d\in C}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle |r|^{p}+|s|^{p}\leq 1.}$

А ${\displaystyle p}$-полунорма ^[6]— любая неотрицательная функция, удовлетворяющая следующим условиям: ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$

1. Субаддитивность / Неравенство треугольника : для всех ${\displaystyle q(x+y)\leq q(x)+q(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Абсолютная однородность степени ${\displaystyle p}$ : для всех и всех скаляров ${\displaystyle q(sx)=|s|^{p}q(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$

Это обобщает определение полунорм , поскольку отображение является полунормой тогда и только тогда, когда оно является -полунормой (используя ). Существуют -полунормы, которые не являются полунормами . Например, всякий раз, когда то отображение, используемое для определения пространства Lp, является -полунормой, но не полунормой. ^[6] ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p:=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle q(f)=\int _{\mathbb {R} }|f(t)|^{p}dt}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle p}$

Если топологическое векторное пространство является -полунормируемым (то есть его топология индуцируется некоторой -полунормой), то и только тогда, когда оно имеет ограниченную -выпуклую окрестность начала координат. ^[5] ${\displaystyle 0<p\leq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Смотрите также

• Поглощающий набор  – набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Вспомогательное нормированное пространство
• Сбалансированный набор  – Построение в функциональном анализе
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  – Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество  — в геометрии множество, пересечение которого с каждой прямой представляет собой один отрезок прямой.
• Звездная область  – Свойство точечных множеств в евклидовых пространствах
• Симметричное множество  – Свойство групповых подмножеств (математика)
• Вектор (геометрический)  – геометрический объект, имеющий длину и направление Pages displaying short descriptions of redirect targets, для векторов в физике.
• Вектор поля  – Присвоение вектора каждой точке в подмножестве евклидова пространства.

Ссылки

1. Trèves 2006, стр. 68.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 67–113.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 149–153.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 471.
5. Narici & Beckenstein 2011, стр. 174.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 86.

Библиография

• Робертсон, А. П.; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Cambridge University Press . С. 4–6.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.