Дискретизация

Преобразование непрерывных функций в дискретные аналоги

Решение дискретизированного уравнения в частных производных, полученное с помощью метода конечных элементов .

В прикладной математике дискретизация — это процесс перевода непрерывных функций, моделей, переменных и уравнений в дискретные аналоги. Этот процесс обычно выполняется как первый шаг к тому, чтобы сделать их пригодными для численной оценки и реализации на цифровых компьютерах. Дихотомизация — это особый случай дискретизации, в котором число дискретных классов равно 2, что позволяет аппроксимировать непрерывную переменную как бинарную переменную (создавая дихотомию для целей моделирования , как в бинарной классификации ).

Дискретизация также связана с дискретной математикой и является важным компонентом гранулярных вычислений . В этом контексте дискретизация может также относиться к модификации гранулярности переменной или категории , например, когда несколько дискретных переменных агрегируются или несколько дискретных категорий объединяются.

Всякий раз, когда непрерывные данные дискретизируются , всегда есть некоторая величина ошибки дискретизации . Цель состоит в том, чтобы уменьшить величину до уровня, который считается незначительным для целей моделирования .

Термины «дискретизация» и «квантование» часто имеют одинаковое значение , но не всегда идентичные коннотации . (В частности, эти два термина разделяют одно семантическое поле .) То же самое относится к ошибке дискретизации и ошибке квантования .

Математические методы, связанные с дискретизацией, включают метод Эйлера–Маруямы и метод нулевого порядка .

Дискретизация линейных моделей пространства состояний

Дискретизация также связана с преобразованием непрерывных дифференциальных уравнений в дискретные разностные уравнения , пригодные для численных вычислений .

Следующая модель пространства состояний с непрерывным временем

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)+\mathbf {w} (t)\\[2pt]\mathbf {y} (t)&=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t)+\mathbf {v} (t)\end{aligned}}}$$

где v и w — непрерывные источники белого шума с нулевым средним и спектральной плотностью мощности

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} (t)&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\[2pt]\mathbf {v} (t)&\sim N(0,\mathbf {R} )\end{aligned}}}$$

можно дискретизировать, предполагая сохранение нулевого порядка для входного сигнала u и непрерывное интегрирование для шума v , чтобы

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=\mathbf {A_{d}x} [k]+\mathbf {B_{d}u} [k]+\mathbf {w} [k]\\[2pt]\mathbf {y} [k]&=\mathbf {C_{d}x} [k]+\mathbf {D_{d}u} [k]+\mathbf {v} [k]\end{aligned}}}$$

с ковариациями

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} [k]&\sim N(0,\mathbf {Q_{d}} )\\[2pt]\mathbf {v} [k]&\sim N(0,\mathbf {R_{d}} )\end{aligned}}}$$

где

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A_{d}} &=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\Bigr \}}_{t=T}\\[4pt]\mathbf {B_{d}} &=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} \\[4pt]\mathbf {C_{d}} &=\mathbf {C} \\[8pt]\mathbf {D_{d}} &=\mathbf {D} \\[2pt]\mathbf {Q_{d}} &=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau \\[2pt]\mathbf {R_{d}} &=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}\end{aligned}}}$$

и T - время выборки . Если A невырожденный , ${\displaystyle \mathbf {B_{d}} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A_{d}} -\mathbf {I} )\mathbf {B} .}$

Уравнение для дискретизированного шума измерения является следствием того, что непрерывный шум измерения определяется спектральной плотностью мощности. ^[1]

Хитрый трюк для вычисления A _d и B _d за один шаг заключается в использовании следующего свойства: ^{[2] : стр. 215}

$${\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$

Где A _d и B _d — дискретизированные матрицы пространства состояний.

Дискретизация технологического шума

Численная оценка Q _d немного сложнее из-за матричного экспоненциального интеграла. Однако ее можно вычислить, сначала построив матрицу и вычислив ее экспоненту ^[3]. Затем шум дискретизированного процесса оценивается путем умножения транспонированного нижнего правого разбиения G на верхнее правое разбиение G : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T\\[2pt]\mathbf {G} &=e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {A_{d}} ^{\top }\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {Q_{d}} =(\mathbf {A_{d}} ^{\top })^{\top }(\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} )=\mathbf {A_{d}} (\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} ).}$$

Вывод

Начиная с непрерывной модели, мы знаем, что матричная экспонента равна , и, умножая модель пополам, получаем , что мы распознаем как , а путем интегрирования получаем аналитическое решение непрерывной модели. $${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$$ $${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Ax} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Bu} (t)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\Bigl [}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t){\Bigr ]}=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Bu} (t)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)&=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} (t)&=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \end{aligned}}}$$

Теперь мы хотим дискретизировать приведенное выше выражение. Мы предполагаем, что u является постоянным в течение каждого временного шага. Мы распознаем выражение в скобках как , а второй член можно упростить, заменив его функцией . Обратите внимание, что . Мы также предполагаем, что u является постоянным в течение интеграла , что в свою очередь дает $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k]&\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)\\[6pt]\mathbf {x} [k]&=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[4pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} [(k+1)T-\tau ]}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$ ${\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau }$ ${\displaystyle d\tau =-dv}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[4pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {Bu} [k]\end{aligned}}}$$

что является точным решением проблемы дискретизации.

Когда A является единственным числом, последнее выражение все еще можно использовать, заменив его разложением Тейлора . Это дает форму, которая используется на практике. ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}}$ $${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}(\mathbf {A} T)^{k}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}(\mathbf {A} T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\mathbf {A} ^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {Bu} [k],\end{aligned}}}$$

Приближения

Точная дискретизация иногда может быть неразрешимой из-за тяжелых матричных экспоненциальных и интегральных операций. Гораздо проще вычислить приближенную дискретную модель, основанную на ней для малых временных шагов . Тогда приближенное решение становится: ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$ $${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {Bu} [k]}$$

Это также известно как метод Эйлера , который также известен как прямой метод Эйлера. Другие возможные приближения — это , также известный как обратный метод Эйлера и , который известен как билинейное преобразование или преобразование Тастина. Каждое из этих приближений имеет различные свойства устойчивости. Билинейная трансформация сохраняет неустойчивость непрерывной системы. ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} -\mathbf {A} T)^{-1}}$ ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)(\mathbf {I} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)^{-1}}$

Дискретизация непрерывных признаков

В статистике и машинном обучении дискретизация относится к процессу преобразования непрерывных признаков или переменных в дискретизированные или номинальные признаки. Это может быть полезно при создании функций массы вероятности.

Дискретизация гладких функций

В теории обобщенных функций дискретизация возникает как частный случай теоремы о свертке для умеренных распределений.

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*\operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot \operatorname {III} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\alpha \cdot \operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*\operatorname {III} }$

где — гребень Дирака , — дискретизация, — периодизация , — быстро убывающее темперированное распределение (например, дельта-функция Дирака или любая другая функция с компактным носителем ), — гладкая , медленно растущая обычная функция (например, функция, которая постоянна , или любая другая функция с ограниченной полосой частот ), а — (унитарное, обычное частотное) преобразование Фурье . Функции , которые не являются гладкими, можно сделать гладкими с помощью смягчителя перед дискретизацией. ${\displaystyle \operatorname {III} }$ ${\displaystyle \cdot \operatorname {III} }$ ${\displaystyle *\operatorname {III} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Например, дискретизация функции, которая постоянно , дает последовательность , которая, интерпретируемая как коэффициенты линейной комбинации дельта -функций Дирака , образует гребень Дирака . Если дополнительно применить усечение , то получатся конечные последовательности, например . Они дискретны как по времени, так и по частоте. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [..,1,1,1,..]}$ ${\displaystyle [1,1,1,1]}$

Смотрите также

• Дискретное событийное моделирование
• Дискретное пространство
• Дискретное время и непрерывное время
• Метод конечных разностей
• Метод конечных объемов для нестационарного течения
• Сглаживание
• Стохастическое моделирование
• Исчисление шкалы времени

Ссылки

1. Analytic Sciences Corporation. Технический персонал. (1974). Прикладная оптимальная оценка . Гелб, Артур, 1937-. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 121. ISBN 0-262-20027-9. OCLC  960061.
2. Рэймонд ДеКарло: Линейные системы: подход с переменными состояния и численная реализация , Prentice Hall, NJ, 1989
3. Чарльз Ван Лоан: Вычисление интегралов, включающих матричную экспоненту , IEEE Transactions on Automatic Control. 23 (3): 395–404, 1978

Дальнейшее чтение

• Роберт Гровер Браун и Патрик YC Хванг (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана (3-е изд.). ISBN 978-0471128397.
• Чи-Цон Чен (1984). Теория и проектирование линейных систем . Филадельфия, Пенсильвания, США: Saunders College Publishing. ISBN 978-0030716911.
• C. Van Loan (июнь 1978 г.). «Вычисление интегралов с участием матричной экспоненты» (PDF) . IEEE Transactions on Automatic Control . 23 (3): 395–404. doi :10.1109/TAC.1978.1101743. hdl : 1813/7095 .
• RH Middleton & GC Goodwin (1990). Цифровое управление и оценка: единый подход . Prentice Hall. стр. 33f. ISBN 978-0132116657.

Внешние ссылки

• Дискретизация в геометрии и динамике: исследование дискретизации дифференциальной геометрии и динамики