Дискретная оценка

В математике дискретная оценка — это целочисленная оценка поля K , то есть функция : ^[1]

${\displaystyle \nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

удовлетворяющий условиям:

${\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}$

${\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}$

${\displaystyle \nu (x)=\infty \iff x=0}$

для всех . ${\displaystyle x,y\in K}$

Обратите внимание, что часто тривиальная оценка, которая учитывает только значения, явно исключается. ${\displaystyle 0,\infty }$

Поле с нетривиальной дискретной оценкой называется полем дискретной оценки .

Дискретные кольца оценки и оценки по полям

Каждому полю с дискретным значением можно сопоставить подкольцо ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

из , которое является дискретным кольцом оценки . Наоборот, оценка на дискретном кольце оценки может быть расширена единственным образом до дискретной оценки на поле частного ; связанное дискретное кольцо оценки — это просто . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K={\text{Quot}}(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle A}$

Примеры

• Для фиксированного простого числа и для любого элемента, отличного от нуля, запишем с таким, что не делит . Тогда есть дискретная оценка на , называемая p-адической оценкой . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x=p^{j}{\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle j,a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \nu (x)=j}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Для данной римановой поверхности можно рассмотреть поле мероморфных функций . Для фиксированной точки мы определяем дискретное оценивание на следующим образом: тогда и только тогда, когда — наибольшее целое число, такое, что функция может быть продолжена до голоморфной функции в . Это означает: если то имеет корень порядка в точке ; если то имеет полюс порядка в . Аналогичным образом можно также определить дискретное оценивание на функциональном поле алгебраической кривой для каждой регулярной точки на кривой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K=M(X)}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \nu (f)=j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f(z)/(z-p)^{j}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu (f)=j>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu (f)=j<0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -j}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Больше примеров можно найти в статье о кольцах дискретного оценивания .

Цитаты

1. Кассельс и Фрелих 1967, с. 2.

Ссылки

• Касселс, Дж. В. С .; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl  0153.07403
• Фесенко, Иван Б.; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, т. 121 (Второе издание), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, г-н  1915966