В математике , в области теории категорий , дискретная категория — это категория, единственными морфизмами которой являются тождественные морфизмы :
Поскольку по аксиомам всегда существует тождественный морфизм между одними и теми же объектами, мы можем выразить вышесказанное как условие на мощность hom-множества
Некоторые авторы предпочитают более слабое понятие, где дискретная категория просто должна быть эквивалентна такой категории.
Любой класс объектов определяет дискретную категорию, если он дополнен картами идентичности.
Любая подкатегория дискретной категории является дискретной. Также, категория является дискретной тогда и только тогда, когда все ее подкатегории являются полными .
Предел любого функтора из дискретной категории в другую категорию называется произведением , в то время как копредел называется копроизведением . Таким образом, например, дискретная категория всего с двумя объектами может быть использована как диаграмма или диагональный функтор для определения произведения или копроизведения двух объектов. С другой стороны , для общей категории C и дискретной категории 2 можно рассмотреть категорию функтора C 2 . Диаграммы 2 в этой категории являются парами объектов, а предел диаграммы является произведением.
Функтор из Set в Cat , который переводит множество в соответствующую дискретную категорию, является левым сопряженным функтором, переводящим малую категорию в ее множество объектов. (О правом сопряженном функторе см. indiscrete category .)