Дискретное вейвлет-преобразование

Преобразование в численном гармоническом анализе

Пример двумерного дискретного вейвлет-преобразования, используемого в JPEG2000 . Исходное изображение фильтруется высокочастотным фильтром, что дает три больших изображения, каждое из которых описывает локальные изменения яркости (детали) в исходном изображении. Затем оно фильтруется низкочастотным фильтром и уменьшается в масштабе, что дает приблизительное изображение; это изображение фильтруется высокочастотным фильтром, чтобы получить три более мелких детальных изображения, и фильтруется низкочастотным фильтром, чтобы получить окончательное приблизительное изображение в верхнем левом углу. ^{[ требуется пояснение ]}

В численном анализе и функциональном анализе дискретное вейвлет-преобразование ( DWT ) — это любое вейвлет-преобразование, для которого вейвлеты дискретно сэмплируются. Как и в случае с другими вейвлет-преобразованиями, его ключевым преимуществом перед преобразованиями Фурье является временное разрешение: оно захватывает как частотную, так и локационную информацию (локация во времени).

Примеры

Вейвлеты Хаара

Первый DWT был изобретен венгерским математиком Альфредом Хааром . Для входных данных, представленных списком чисел , можно считать, что вейвлет-преобразование Хаара объединяет входные значения в пары, сохраняет разницу и передает сумму. Этот процесс повторяется рекурсивно, объединяя суммы в пары для доказательства следующего масштаба, что приводит к разностям и окончательной сумме. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

Вейвлеты Добеши

Наиболее часто используемый набор дискретных вейвлет-преобразований был сформулирован бельгийским математиком Ингрид Добеши в 1988 году. Эта формулировка основана на использовании рекуррентных соотношений для генерации все более тонких дискретных выборок неявной материнской вейвлет-функции; каждое разрешение вдвое больше предыдущего масштаба. В своей основополагающей статье Добеши выводит семейство вейвлетов , первым из которых является вейвлет Хаара. С тех пор интерес к этой области резко возрос, и было разработано множество вариаций исходных вейвлетов Добеши. ^{[1] [2] [3]}

Двойственное комплексное вейвлет-преобразование (DCWT)

Комплексное вейвлет-преобразование с двойным деревом ( WT) является относительно недавним усовершенствованием дискретного вейвлет-преобразования (DWT) с важными дополнительными свойствами: оно почти инвариантно к сдвигу и избирательно по направлению в двух и более измерениях. Оно достигает этого с коэффициентом избыточности всего лишь , что существенно ниже, чем недецимированное DWT. Многомерное (MD) комплексное вейвлет-преобразование с двойным деревом неразделимо, но основано на вычислительно эффективном, разделимом банке фильтров (FB). ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 2^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Другие

Другие формы дискретного вейвлет-преобразования включают вейвлет Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3, разработанный Didier Le Gall и Ali J. Tabatabai в 1988 году (используется в JPEG 2000 или JPEG XS ), ^{[5] [6] [7]} биномиальный QMF , разработанный Ali Naci Akansu в 1990 году, ^[8] алгоритм разбиения множеств в иерархических деревьях (SPIHT), разработанный Amir Said и William A. Pearlman в 1996 году, ^[9] не- или недецимированное вейвлет-преобразование (где опущена понижающая дискретизация) и преобразование Ньюланда (где ортонормированный базис вейвлетов формируется из соответствующим образом построенных фильтров top-hat в частотном пространстве ). Пакетные вейвлет-преобразования также связаны с дискретным вейвлет-преобразованием. Комплексное вейвлет-преобразование является другой формой.

Характеристики

Хаар DWT иллюстрирует желаемые свойства вейвлетов в целом. Во-первых, его можно выполнять в операциях; во-вторых, он захватывает не только понятие частотного содержимого входных данных, исследуя его в разных масштабах, но и временное содержимое, т. е. время, в которое эти частоты возникают. В совокупности эти два свойства делают быстрое вейвлет-преобразование (FWT) альтернативой обычному быстрому преобразованию Фурье (FFT). ${\displaystyle O(n)}$

Проблемы со временем

Из-за операторов изменения скорости в банке фильтров дискретный WT не является инвариантным по времени, но на самом деле очень чувствителен к выравниванию сигнала во времени. Чтобы решить проблему изменяющихся во времени вейвлет-преобразований, Маллат и Чжун предложили новый алгоритм для вейвлет-представления сигнала, который инвариантен к временным сдвигам. ^[10] Согласно этому алгоритму, который называется TI-DWT, только параметр масштаба выбирается вдоль диадической последовательности 2^j (j∈Z), а вейвлет-преобразование вычисляется для каждой точки во времени. ^{[11] [12]}

Приложения

Дискретное вейвлет-преобразование имеет огромное количество приложений в науке, технике, математике и информатике. В частности, оно используется для кодирования сигналов, для представления дискретного сигнала в более избыточной форме, часто в качестве предварительной подготовки для сжатия данных . Практические приложения можно также найти в обработке сигналов ускорений для анализа походки, ^{[13] [14]} обработке изображений, ^{[15] [16]} в цифровой связи и во многих других областях. ^{[17] [18] [19]}

Показано, что дискретное вейвлет-преобразование (дискретное по масштабу и сдвигу и непрерывное по времени) успешно применяется в качестве банка аналоговых фильтров при обработке биомедицинских сигналов для проектирования маломощных кардиостимуляторов, а также в сверхширокополосной (UWB) беспроводной связи. ^[20]

Пример обработки изображений

Изображение с гауссовым шумом

Изображение с удаленным гауссовым шумом

Вейвлеты часто используются для шумоподавления двумерных сигналов, таких как изображения. Следующий пример показывает три шага для удаления нежелательного белого гауссовского шума из показанного шумного изображения. Matlab использовался для импорта и фильтрации изображения.

Первый шаг — выбрать тип вейвлета и уровень разложения N. В этом случае были выбраны биортогональные вейвлеты 3,5 с уровнем N, равным 10. Биортогональные вейвлеты обычно используются при обработке изображений для обнаружения и фильтрации белого гауссовского шума ^[21] из-за их высокой контрастности значений интенсивности соседних пикселей. С помощью этих вейвлетов выполняется вейвлет-преобразование на двумерном изображении.

После разложения файла изображения следующим шагом является определение пороговых значений для каждого уровня от 1 до N. Стратегия Бирже-Массара ^[22] является довольно распространенным методом выбора этих порогов. Используя этот процесс, индивидуальные пороги создаются для N = 10 уровней. Применение этих порогов является основной частью фактической фильтрации сигнала.

Последний шаг — реконструкция изображения из измененных уровней. Это достигается с помощью обратного вейвлет-преобразования. Полученное изображение с удаленным белым гауссовым шумом показано под исходным изображением. При фильтрации любой формы данных важно количественно оценить отношение сигнал/шум результата. ^{[ необходима цитата ]} В этом случае SNR зашумленного изображения по сравнению с оригиналом составил 30,4958%, а SNR изображения без шума — 32,5525%. Результирующее улучшение вейвлет-фильтрации — это прирост SNR в 2,0567%. ^[23]

Выбор других вейвлетов, уровней и стратегий пороговой обработки может привести к различным типам фильтрации. В этом примере для удаления был выбран белый гауссовский шум. Хотя с другим пороговым управлением его можно было бы так же легко усилить.

Чтобы проиллюстрировать различия и сходства между дискретным вейвлет-преобразованием и дискретным преобразованием Фурье , рассмотрим ДВП и ДПФ следующей последовательности: (1,0,0,0), единичный импульс .

ДПФ имеет ортогональный базис ( матрицу ДПФ ):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\end{bmatrix}}}$

в то время как DWT с вейвлетами Хаара для данных длины 4 имеет ортогональный базис в строках:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}}}$

(Для упрощения записи используются целые числа, поэтому основания ортогональны , но не ортонормальны .)

Предварительные наблюдения включают в себя:

• Синусоидальные волны отличаются только своей частотой. Первая не завершает ни одного цикла, вторая завершает один полный цикл, третья завершает два цикла, а четвертая завершает три цикла (что эквивалентно завершению одного цикла в противоположном направлении). Различия в фазе могут быть представлены путем умножения заданного базисного вектора на комплексную константу.
• Вейвлеты, напротив, имеют как частоту, так и местоположение. Как и прежде, первый завершает ноль циклов, а второй завершает один цикл. Однако третий и четвертый оба имеют одинаковую частоту, вдвое большую, чем первый. Вместо того, чтобы различаться по частоте, они различаются по местоположению — третий не равен нулю по первым двум элементам, а четвертый не равен нулю по вторым двум элементам.

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,1,-1,-1)+{\frac {1}{2}}(1,-1,0,0)\qquad {\text{Haar DWT}}\\(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,i,-1,-i)+{\frac {1}{4}}(1,-1,1,-1)+{\frac {1}{4}}(1,-i,-1,i)\qquad {\text{DFT}}\end{aligned}}}$

DWT демонстрирует локализацию: член (1,1,1,1) дает среднее значение сигнала, (1,1,–1,–1) помещает сигнал в левую часть домена, а (1,–1,0,0) помещает его в левую часть левой части, а усечение на любом этапе дает версию сигнала с пониженной дискретизацией:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0,0\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

Функция sinc , показывающая артефакты временной области ( недобор и звон ) при усечении ряда Фурье.

ДПФ, напротив, выражает последовательность посредством интерференции волн различных частот — таким образом, усечение ряда дает его отфильтрованную низкими частотами версию:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

Примечательно, что среднее приближение (2-членное) отличается. С точки зрения частотной области это лучшее приближение, но с точки зрения временной области у него есть недостатки – оно демонстрирует недобор – одно из значений отрицательно, хотя исходный ряд везде неотрицателен – и звон , где правая часть не равна нулю, в отличие от вейвлет-преобразования. С другой стороны, приближение Фурье правильно показывает пик, и все точки находятся в пределах своего правильного значения, хотя все точки имеют ошибку. Вейвлет-приближение, напротив, помещает пик в левую половину, но не имеет пика в первой точке, и хотя оно точно верно для половины значений (отражая местоположение), оно имеет ошибку для других значений. ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle 1/2}$

Это иллюстрирует виды компромиссов между этими преобразованиями и то, как в некоторых отношениях DWT обеспечивает предпочтительное поведение, особенно для моделирования переходных процессов.

Пример вВодяные знаки

Водяной знак с использованием DCT-DWT изменяет вейвлет-коэффициенты наборов коэффициентов средней частоты 5-уровневого DWT-преобразованного изображения-хоста, после чего преобразования DCT применяются к выбранным наборам коэффициентов. Прасаналакшми Б предложил метод ^[24] , который использует поддиапазон частот HL в наборах коэффициентов средней частоты LHx и HLx в 5-уровневом дискретном вейвлет-преобразовании (DWT)-преобразованном изображении.

5-уровневое дискретное вейвлет-преобразование

Этот алгоритм выбирает более грубый уровень DWT с точки зрения незаметности и надежности, чтобы применить к ним 4×4-блочное DCT. Следовательно, можно достичь более высокой незаметности и надежности . Кроме того, операция предварительной фильтрации используется перед извлечением водяного знака, повышением резкости и фильтрацией Лапласа Гаусса (LoG) , что увеличивает разницу между информацией водяного знака и размещенным изображением.

Алгоритм встраивания

Основная идея DWT для двумерного изображения описывается следующим образом: изображение сначала разлагается на четыре части высокочастотных, среднечастотных и низкочастотных подкомпонентов (т. е. LL1, HL1, LH1, HH1) путем критической субдискретизации горизонтальных и вертикальных каналов с использованием фильтров подкомпонентов.

Подкомпоненты HL1, LH1 и HH1 представляют собой коэффициенты вейвлета самого мелкого масштаба. Подкомпонент LL1 разлагается и критически подвыбирается для получения следующих компонентов вейвлета более грубого масштаба. Этот процесс повторяется несколько раз, что определяется текущим приложением.

Высокочастотные компоненты считаются встроенными в водяной знак, поскольку они содержат информацию о краях, а человеческий глаз менее чувствителен к изменениям краев. В алгоритмах создания водяных знаков, помимо невидимости водяного знака, основной проблемой является выбор частотных компонентов для внедрения водяного знака, чтобы выдержать возможные атаки, которым может подвергнуться передаваемое изображение. Методы преобразования доменов имеют преимущество уникальных свойств альтернативных доменов для решения проблем пространственных ограничений домена и имеют дополнительные функции.

Изображение хоста подвергается 5-уровневому водяному знаку DWT. Внедрение водяного знака в поддиапазоны частот среднего уровня LLx обеспечивает высокую степень незаметности и надежности. Следовательно, наборы коэффициентов LLx на пятом уровне выбираются для повышения надежности водяного знака против распространенных атак водяных знаков, особенно атак с добавлением шума и размытия, при незначительном или нулевом дополнительном влиянии на качество изображения. Затем выполняется блочное базовое DCT для этих выбранных наборов коэффициентов DWT и внедряет псевдослучайные последовательности в средние частоты. Процедура внедрения водяного знака поясняется ниже:1. Прочитайте изображение обложки I размером N×N.

2. Первоначально получают четыре неперекрывающихся набора коэффициентов множественного разрешения LL1, HL1, LH1 и HH1.

3. Разложение выполняется до 5 уровней, и частотные подкомпоненты {HH1, HL1, LH1,{{HH2, HL2, LH2, {HH3, HL3, LH3, {HH4, HL4, LH4, {HH5, HL5, LH5, LL5}}}}}} получаются путем вычисления DWT пятого уровня изображения I.

4. Разделите четыре последних набора коэффициентов: HH5, HL5, LH5 и LL5 на блоки 4 x 4.

5. DCT выполняется для каждого блока в выбранных наборах коэффициентов. Эти наборы коэффициентов выбираются для того, чтобы в равной степени исследовать незаметность и надежность алгоритмов.

6. Зашифруйте изображение отпечатка пальца, чтобы получить зашифрованный водяной знак WS (i, j).

7. Переформулируйте зашифрованное изображение водяного знака в вектор из нулей и единиц.

8. Из ключа, полученного из вены ладони, генерируются две некоррелированные псевдослучайные последовательности. Количество элементов в двух псевдослучайных последовательностях должно быть равно количеству элементов средней полосы DCT-преобразованных наборов коэффициентов DWT.

9. Внедрите две псевдослучайные последовательности с коэффициентом усиления α в преобразованные DCT блоки 4x4 выбранных наборов коэффициентов DWT основного изображения. Вместо внедрения во все коэффициенты блока DCT, оно применяется только к коэффициентам DCT средней полосы. Если X обозначается как матрица коэффициентов средней полосы преобразованного блока DCT, то внедрение выполняется с водяным знаком бита 0, а X' обновляется как X+∝*PN ₀ ,watermarkbit=0 и выполняется с водяным знаком бита 1, а X' обновляется как X+∝*PN ₁ . Обратное DCT (IDCT) выполняется для каждого блока после того, как его коэффициенты средней полосы были изменены для внедрения битов водяного знака.

10. Чтобы создать основное изображение с водяными знаками, выполните обратное DWT (IDWT) для изображения, преобразованного с помощью DWT, включая измененные наборы коэффициентов.

Определение

Один уровень преобразования

DWT сигнала вычисляется путем пропускания его через ряд фильтров. Сначала образцы пропускаются через фильтр нижних частот с импульсной характеристикой, что приводит к свертке двух: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle y[n]=(x*g)[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[n-k]}}$

Сигнал также одновременно разлагается с помощью фильтра верхних частот . Выходы дают коэффициенты детализации (из фильтра верхних частот) и коэффициенты аппроксимации (из фильтра нижних частот). Важно, чтобы два фильтра были связаны друг с другом, и они известны как квадратурный зеркальный фильтр . ${\displaystyle h}$

Блок-схема анализа фильтра

Однако, поскольку половина частот сигнала теперь удалена, половина выборок может быть отброшена в соответствии с правилом Найквиста. Выходной сигнал фильтра нижних частот на диаграмме выше затем подвыборяется на 2 и далее обрабатывается путем пропускания его снова через новый фильтр нижних частот и фильтр верхних частот с половиной частоты среза предыдущего, т.е.: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[2n-k]}}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]h[2n-k]}}$

Это разложение уменьшило вдвое временное разрешение, поскольку только половина каждого выхода фильтра характеризует сигнал. Однако каждый выход имеет половину частотного диапазона входа, поэтому частотное разрешение удвоилось.

С оператором подвыборки ${\displaystyle \downarrow }$

${\displaystyle (y\downarrow k)[n]=y[kn]}$

Приведенное выше обобщение можно записать более кратко.

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }=(x*g)\downarrow 2}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }=(x*h)\downarrow 2}$

Однако вычисление полной свертки с последующей субдискретизацией приведет к пустой трате времени на вычисления. ${\displaystyle x*g}$

Схема Lifting представляет собой оптимизацию, в которой эти два вычисления чередуются.

Каскадирование и банки фильтров

Это разложение повторяется для дальнейшего увеличения разрешения по частоте, а коэффициенты аппроксимации разлагаются с помощью фильтров верхних и нижних частот, а затем подвергаются понижению частоты. Это представлено в виде бинарного дерева с узлами, представляющими подпространство с различной локализацией по времени и частоте. Дерево известно как банк фильтров .

Трехуровневый банк фильтров

На каждом уровне в приведенной выше схеме сигнал разлагается на низкие и высокие частоты. Вследствие процесса разложения входной сигнал должен быть кратен , где - количество уровней. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Например, сигнал с 32 выборками, диапазоном частот от 0 до 3 и 3 уровнями разложения, формируется 4 выходных шкалы: ${\displaystyle f_{n}}$

Представление DWT в частотной области

Связь с материнским вейвлетом

Реализацию вейвлетов с помощью банка фильтров можно интерпретировать как вычисление коэффициентов вейвлета дискретного набора дочерних вейвлетов для заданного материнского вейвлета . В случае дискретного вейвлет-преобразования материнский вейвлет сдвигается и масштабируется по степеням двойки ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle \psi _{j,k}(t)={\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {t-k2^{j}}{2^{j}}}\right)}$

где — параметр масштаба, а — параметр сдвига, оба являются целыми числами. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$

Напомним, что вейвлет-коэффициент сигнала — это проекция на вейвлет, и пусть будет сигналом длины . В случае дочернего вейвлета в дискретном семействе выше, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle 2^{N}}$

${\displaystyle \gamma _{jk}=\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {t-k2^{j}}{2^{j}}}\right)dt}$

Теперь зафиксируем в определенном масштабе, так что это функция только от . В свете приведенного выше уравнения, можно рассматривать как свертку с расширенной, отраженной и нормализованной версией материнского вейвлета, , отобранной в точках . Но это именно то, что дают коэффициенты детализации на уровне дискретного вейвлет-преобразования. Следовательно, для соответствующего выбора и коэффициенты детализации банка фильтров точно соответствуют коэффициенту вейвлета дискретного набора дочерних вейвлетов для данного материнского вейвлета . ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \gamma _{jk}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma _{jk}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {-t}{2^{j}}}\right)}$ ${\displaystyle 1,2^{j},2\cdot {2^{j}},...,2^{N}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle g[n]}$ ${\displaystyle \psi (t)}$

В качестве примера рассмотрим дискретный вейвлет Хаара , материнский вейвлет которого — . Тогда расширенная, отраженная и нормализованная версия этого вейвлета — , которая, по сути, является фильтром разложения верхних частот для дискретного вейвлет-преобразования Хаара. ${\displaystyle \psi =[1,-1]}$ ${\displaystyle h[n]={\frac {1}{\sqrt {2}}}[-1,1]}$

Сложность времени

Реализация дискретного вейвлет-преобразования с помощью банка фильтров в некоторых случаях занимает всего O( N ) по сравнению с O( N  log  N ) для быстрого преобразования Фурье .

Обратите внимание, что если и оба имеют постоянную длину (т.е. их длина не зависит от N), то и каждый из них занимает O( N ) времени. Вейвлет-фильтр выполняет каждую из этих двух сверток O( N ) , затем разделяет сигнал на две ветви размером N/2. Но он рекурсивно разделяет только верхнюю ветвь, свёрнутую с (в отличие от БПФ, которое рекурсивно разделяет как верхнюю, так и нижнюю ветви). Это приводит к следующему рекуррентному соотношению ${\displaystyle g[n]}$ ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle x*h}$ ${\displaystyle x*g}$ ${\displaystyle g[n]}$

${\displaystyle T(N)=2N+T\left({\frac {N}{2}}\right)}$

что приводит к времени O( N ) для всей операции, как можно показать с помощью разложения приведенного выше соотношения в геометрическую прогрессию .

Например, дискретное вейвлет-преобразование Хаара является линейным, поскольку в этом случае и имеют постоянную длину 2. ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle g[n]}$

${\displaystyle h[n]=\left[{\frac {-{\sqrt {2}}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]g[n]=\left[{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]}$

Локальность вейвлетов в сочетании со сложностью O( N ) гарантирует, что преобразование может быть вычислено онлайн (на потоковой основе). Это свойство резко контрастирует с FFT, которое требует доступа ко всему сигналу сразу. Это также применимо к многомасштабному преобразованию и многомерным преобразованиям (например, 2-D DWT). ^[25]

Другие преобразования

• Алгоритм Adam7 , используемый для чересстрочной развертки в формате Portable Network Graphics (PNG), представляет собой многомасштабную модель данных, которая похожа на DWT с вейвлетами Хаара . В отличие от DWT, он имеет определенный масштаб — он начинается с блока 8×8 и понижает разрешение изображения, а не прореживает ( фильтрация нижних частот , затем понижающая дискретизация). Таким образом, он предлагает худшее поведение частоты, показывая артефакты ( пикселизацию ) на ранних стадиях, в обмен на более простую реализацию.
• Мультипликативное (или геометрическое) дискретное вейвлет-преобразование ^[26] — это вариант, который применяется к модели наблюдения, включающей взаимодействия положительной регулярной функции и мультипликативного независимого положительного шума , с . Обозначим , вейвлет-преобразование. Поскольку , то стандартное (аддитивное) дискретное вейвлет-преобразование таково, что где детальные коэффициенты не могут считаться разреженными в общем случае из-за вклада в последнем выражении. В мультипликативной структуре вейвлет-преобразование таково, что Это «вложение» вейвлетов в мультипликативную алгебру включает обобщенные мультипликативные приближения и детальные операторы: Например, в случае вейвлетов Хаара, то с точностью до коэффициента нормализации , стандартные приближения ( среднее арифметическое ) и детали ( арифметические разности ) становятся соответственно геометрическими средними приближениями и геометрическими разностями (подробностями) при использовании . ${\displaystyle {\bf {y}}=f{\bf {X}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {E} X=1}$ ${\displaystyle {\cal {W}}}$ ${\displaystyle f{\bf {X}}=f+{f({\bf {X}}-1)}}$ ${\displaystyle {\cal {W^{+}}}}$ ${\displaystyle {\cal {W^{+}}}{\bf {y}}={\cal {W^{+}}}f+{\cal {W^{+}}}{f({\bf {X}}-1)},}$ ${\displaystyle {\cal {W^{+}}}{f({\bf {X}}-1)}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\cal {W^{\times }}}{\bf {y}}=\left({\cal {W^{\times }}}f\right)\times \left({\cal {W^{\times }}}{\bf {X}}\right).}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\cal {W^{+}}}}$ ${\displaystyle c_{k}=\alpha (y_{k}+y_{k-1})}$ ${\displaystyle d_{k}=\alpha (y_{k}-y_{k-1})}$ ${\displaystyle c_{k}^{\ast }=(y_{k}\times y_{k-1})^{\alpha }}$ ${\displaystyle d_{k}^{\ast }=\left({\frac {y_{k}}{y_{k-1}}}\right)^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\cal {W^{\times }}}}$

Пример кода

В своей простейшей форме DWT вычислить чрезвычайно легко.

Вейвлет Хаара на Java :

public static int [] discretHaarWaveletTransform ( int [] input ) { // Эта функция предполагает, что input.length=2^n, n>1 int [] output = new int [ input . length ] ;            for ( int length = input . length / 2 ; ; length = length / 2 ) { // length - текущая длина рабочей области выходного массива. // length начинается с половины размера массива и с каждой итерацией уменьшается вдвое, пока не станет равным 1. for ( int i = 0 ; i < length ; ++ i ) { int sum = input [ i * 2 ] + input [ i * 2 + 1 ] ; int difference = input [ i * 2 ] - input [ i * 2 + 1 ] ; output [ i ] = sum ; output [ length + i ] = difference ; } if ( length == 1 ) { return output ; }                                                                   // Поменять местами массивы для выполнения следующей итерации System.arraycopy ( output , 0 , input , 0 , length ) ; } }      

Полный код Java для 1-D и 2-D DWT с использованием вейвлетов Хаара , Добеши , Койфлета и Лежандра доступен в проекте с открытым исходным кодом: JWave. Кроме того, быстрая реализация подъема дискретного биортогонального вейвлет-преобразования CDF 9/7 на языке C , используемого в стандарте сжатия изображений JPEG 2000 , может быть найдена здесь (архивировано 5 марта 2012 г.).

Пример кода выше

Пример вычисления дискретных коэффициентов вейвлета Хаара для звукового сигнала, когда кто-то говорит "I Love Wavelets". Исходная форма волны показана синим цветом в верхнем левом углу, а коэффициенты вейвлета показаны черным цветом в верхнем правом углу. Внизу показаны три увеличенных области коэффициентов вейвлета для разных диапазонов.

На этом рисунке показан пример применения приведенного выше кода для вычисления коэффициентов вейвлета Хаара на звуковой волне. Этот пример подчеркивает два ключевых свойства вейвлет-преобразования:

• Естественные сигналы часто имеют некоторую степень гладкости, что делает их разреженными в вейвлет-домене. В этом примере в вейвлет-домене гораздо меньше значимых компонентов, чем во временной области, и большинство значимых компонентов находятся в направлении более грубых коэффициентов слева. Следовательно, естественные сигналы сжимаемы в вейвлет-домене.
• Вейвлет-преобразование — это многоразрешающее, полосовое представление сигнала. Это можно увидеть непосредственно из определения банка фильтров дискретного вейвлет-преобразования, приведенного в этой статье. Для сигнала длиной коэффициенты в диапазоне представляют версию исходного сигнала, которая находится в полосе пропускания . Вот почему увеличение этих диапазонов вейвлет-коэффициентов выглядит столь похожим по структуре на исходный сигнал. Диапазоны, которые находятся ближе к левому краю (больше в приведенной выше нотации), являются более грубыми представлениями сигнала, в то время как диапазоны справа представляют более тонкие детали. ${\displaystyle 2^{N}}$ ${\displaystyle [2^{N-j},2^{N-j+1}]}$ ${\displaystyle \left[{\frac {\pi }{2^{j}}},{\frac {\pi }{2^{j-1}}}\right]}$ ${\displaystyle j}$

Смотрите также

• Дискретное косинусное преобразование (ДКП)
• Вейвлет
• Вейвлет-преобразование
• Вейвлет-сжатие
• Список преобразований, связанных с вейвлетами

Ссылки

1. AN Akansu, RA Haddad и H. Caglar, Идеальная реконструкция биномиального QMF-вейвлет-преобразования, Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing, стр. 609–618, т. 1360, Лозанна, сентябрь 1990 г.
2. Акансу, Али Н.; Хаддад, Ричард А. (1992), Разложение сигнала с множественным разрешением: преобразования, поддиапазоны и вейвлеты, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN  978-0-12-047141-6
3. AN Akansu, Фильтры банков и вейвлеты в обработке сигналов: критический обзор, Proc. SPIE Video Communications and PACS for Medical Applications (приглашенный доклад), стр. 330-341, том 1977, Берлин, октябрь 1993 г.
4. Селесник, И.В.; Баранюк, Р.Г.; Кингсбери, Н.К., 2005, Комплексное вейвлет-преобразование с двойным деревом
5. Салливан, Гэри (8–12 декабря 2003 г.). «Общие характеристики и соображения по проектированию для временного поддиапазонного видеокодирования». ITU-T . Группа экспертов по кодированию видео . Получено 13 сентября 2019 г. .
6. Бовик, Алан С. (2009). Основное руководство по обработке видео. Academic Press . стр. 355. ISBN 9780080922508.
7. Галль, Дидье Ле; Табатабай, Али Дж. (1988). «Кодирование поддиапазонов цифровых изображений с использованием симметричных фильтров с коротким ядром и методов арифметического кодирования». ICASSP-88., Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов . стр. 761–764 т.2. doi :10.1109/ICASSP.1988.196696. S2CID  109186495.
8. Али Начи Акансу , Эффективная структура QMF-вейвлетов (биномиальные QMF-вейвлеты Добеши), Труды 1-го симпозиума NJIT по вейвлетам, апрель 1990 г.
9. Саид, А.; Перлман, ВА (1996). «Новый, быстрый и эффективный кодек изображения на основе разбиения наборов в иерархических деревьях». Труды IEEE по схемам и системам для видеотехнологий . 6 (3): 243–250. doi :10.1109/76.499834. ISSN  1051-8215 . Получено 18 октября 2019 г.
10. С. Маллат, Вейвлет-тур по обработке сигналов, 2-е изд. Сан-Диего, Калифорния: Academic, 1999.
11. SG Mallat и S. Zhong, «Характеристика сигналов от многомасштабных краев», IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., т. 14, № 7, стр. 710–732, июль 1992 г.
12. Инс, Кираньяз, Габбудж, 2009, Общая и надежная система для автоматизированной классификации сигналов ЭКГ, специфичных для пациента.
13. «Новый метод оценки длины шага с помощью сетевых акселерометров области тела», IEEE BioWireless 2011 , стр. 79–82
14. Насир, В.; Кул, Дж.; Сассани, Ф. (октябрь 2019 г.). «Интеллектуальный мониторинг обработки с использованием звукового сигнала, обработанного с помощью метода вейвлетов и самоорганизующейся нейронной сети». IEEE Robotics and Automation Letters . 4 (4): 3449–3456. doi :10.1109/LRA.2019.2926666. ISSN  2377-3766. S2CID  198474004.
15. Бротон, С. Аллен. «Вейвлет-ориентированные методы обработки изображений». www.rose-hulman.edu . Получено 2017-05-02 .
16. Червяков, НИ; Ляхов, ПА; Нагорнов, НН (2018-11-01). «Шум квантования многоуровневых дискретных фильтров вейвлет-преобразования при обработке изображений». Оптоэлектроника, приборостроение и обработка данных . 54 (6): 608–616. Bibcode :2018OIDP...54..608C. doi :10.3103/S8756699018060092. ISSN  1934-7944. S2CID  128173262.
17. Акансу, Али Н.; Смит, Марк Дж. Т. (31 октября 1995 г.). Субполосные и вейвлет-преобразования: разработка и применение . Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792396456.
18. Акансу, Али Н.; Медли, Майкл Дж. (6 декабря 2010 г.). Вейвлет-преобразования, субполосные и блочные преобразования в коммуникациях и мультимедиа . Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1441950864.
19. AN Akansu, P. Duhamel, X. Lin и M. de Courville Ортогональные трансмультиплексоры в связи: обзор, IEEE Trans. On Signal Processing, Специальный выпуск по теории и применению банков фильтров и вейвлетов. Том 46, № 4, стр. 979–995, апрель 1998 г.
20. AN Akansu, WA Serdijn и IW Selesnick, Вейвлет-преобразования в обработке сигналов: обзор новых приложений, Физическая связь, Elsevier, т. 3, выпуск 1, стр. 1–18, март 2010 г.
21. Pragada, S.; Sivaswamy, J. (2008-12-01). «Устранение шума на изображениях с помощью согласованных биортогональных вейвлетов». Шестая индийская конференция по компьютерному зрению, графической обработке изображений 2008 г .: 25–32. doi :10.1109/ICVGIP.2008.95. S2CID  15516486.
22. "Пороги для вейвлета 1-D с использованием стратегии Бирже-Массара - MATLAB wdcbm". www.mathworks.com . Получено 2017-05-03 .
23. "как получить SNR для 2 изображений - MATLAB Answers - MATLAB Central". www.mathworks.com . Получено 2017-05-10 .
24. Prasanalakshmi, B., et.al., (2011). Frequency Domain Combination for Preserving Data in Space Specified Token with High Security. В: Informatics Engineering and Information Science. ICIEIS 2011. Communications in Computer and Information Science, vol 251. Springer, Berlin, Heidelberg.https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-25327-0_28
25. Барина, Дэвид (2020). «Вейвлет-преобразование в реальном времени для бесконечных полос изображений». Журнал обработки изображений в реальном времени . 18 (3). Springer: 585–591. doi :10.1007/s11554-020-00995-8. S2CID  220396648. Получено 09.07.2020 .
26. Атто, Абдуррахман М.; Труве, Эммануэль; Николя, Жан-Мари; Ле, Ту Транг (2016). «Операторы вейвлетов и модели мультипликативных наблюдений — применение к анализу временных рядов изображений SAR» (PDF) . Труды IEEE по геонауке и дистанционному зондированию . 54 (11): 6606–6624. Bibcode :2016ITGRS..54.6606A. doi :10.1109/TGRS.2016.2587626. S2CID  1860049.

^[1]

Внешние ссылки

• WaveLab Стэнфорда в Matlab
• libdwt, кроссплатформенная библиотека DWT, написанная на языке C
• Краткое введение в вейвлеты Рене Пушингера

1. Прасад, Акхилеш; Маан, Джитендрасингх; Верма, Сандип Кумар (2021). «Вейвлет-преобразования, связанные с индексным преобразованием Уиттекера». Математические методы в прикладных науках . 44 (13): 10734–10752. Bibcode : 2021MMAS...4410734P. doi : 10.1002/mma.7440. ISSN  1099-1476. S2CID  235556542.